2024-2025學年山西省晉城市高二上冊12月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年山西省晉城市高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點在雙曲線的一條漸近線上，則該雙曲線的離心率為（）A．B．2C．D．2．已知數(shù)列的前項積,則的值為（）A．9B．5CD．3．在中，內角,所對的邊分別為,若.則角的大小為（）A．B．C．或D．4．已知圓柱的底面半徑為，高為，如圖，矩形是圓柱的軸截面，點是圓柱下底面圓上一點，且滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知直線經過橢圓的左焦點,且與軸的正半軸交于點,若滿足的點恰好在構圓上，則圖的長軸長為（）A．B．C．D．6．定義行列式，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，則（）A． B．0 C．1 D．27．設拋物線的焦點為,過的直線與拋物線交于兩點，且是坐標原點，則的面積為（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)若不等式對恒成立，則的取值范圖是（）A．B．C．D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線：，圓：的半徑為2，點在圓上，則下列說法正確的是（）A．B．直線與圓相離C．過圓心且與直線垂直的直線方程為D．到直線的距離等于的點只有1個10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值為B．函數(shù)的圖象關于點中心對稱C．函數(shù)在區(qū)間內單調遞增D．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度，得到的圖象11．如圖，已知正方體的棱長為2，點為棱AB的中點，點在平面內及其邊界上運動，則下列選項中正確的是（）A．若點是的中點，則B．滿足的點的軌跡長度為C．若動點滿足，則PM的最小值為D．若點到點的距離等于點到直線的距離，且，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知首項為2的數(shù)列，其前項和為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項和為.13．已知雙曲線的左、右焦點分別為若雙曲線的左支上一點滿足.以為圓心的圓與的延長線相切于點,且,則雙曲線的漸近線方程為_________.14．已知在平面內，點Px0,y0到直線的距離.此公式可推廣到空間內，為求解點到平面的距離多添了一種方法.現(xiàn)在空間直角坐標系中，定義：平面的一般方程為，則點到平面的距離.如圖，底面邊長與高都為2的正四棱錐中，點到側面的距離等于.（備注：不在同一條直線上的任意三點可以確定一個平面）四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線：的焦點為，準線交軸于點，點在上.(1)求拋物線的方程；(2)若是拋物線上第一象限內的一點，過線段AF的中點向軸引垂線，垂足為點，且，求四邊形的面積.16．如圖，三棱柱中，，，，，.(1)求證：平面；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知橢圓的左、右焦點分別為離心率,如圖，橢圓的四個頂點與左右焦點國成的陰影部分的面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與圓交于兩點，以為直徑的圓經過坐標原點.求面積的最大值，18．已知數(shù)列與數(shù)列的通項公式分別是點的橫、縱坐標，即點，且滿足.(1)若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且是和的等比中項，求數(shù)列的前10項和；(2)若，設過兩點，的直線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和.19．幾何學伴隨著人類文明而產生，對人類文明進步作出了不可磨滅的貢獻.在現(xiàn)代數(shù)學里，幾何學與代數(shù)、分析、數(shù)論等多個方向關系極為密切，幾何的思想成為了數(shù)學最重要的思想之一，幾何對物理、化學、生物、工程等各個領域也有著極其重要的作用.目前，幾何學大致包含了歐式幾何、射影幾何、解析幾何等幾類不同思路的研究方法.其中，射影幾何學中的極點與極線理論對于研究圓錐曲線提供了新的思考方式.對于橢圓，極點（不是坐標原點）對應的極線為.已知橢圓：的長軸長為，左焦點與拋物線的焦點重合，對于橢圓，極點對應的極線為，過點的直線與橢圓交于，兩點，在極線上任取一點，設直線MQ，NQ，PQ的斜率分別為，，（，，均存在）.(1)求極線的方程；(2)求證.

答案1．【正確答案】D由題意得，雙曲線的漸近線方程為.由點在一條漸近線上，得,所以,所以該雙曲線的離心率故選：D.2．【正確答案】C因為前項積,所以,當時，,所以,兩式相除，得,所以.故選.3．【正確答案】B由余弦定理，可得,所以.由正弦定理，可得,則,又,故.故選：B.4．【正確答案】A【詳解】連接，∵為底面圓的直徑，∴，∵，∴，∴點為中點，即如圖：在圓柱中可得，，∴以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，∴，，，，∴，，設直線與的夾角為，則.故選：A.5．【正確答案】D由可知，點是的中點，所以的坐標為取橢圓的右焦點為,則,連接,由橢圓定義可知又所以橢圓的長軸長為.故選：D.6．【正確答案】A【詳解】由題意可得，.由等比數(shù)列的性質，可得，所以原式.故選：A.7．【正確答案】A由題意得,直線的斜率一定存在，所以設直線的方程為,聯(lián)立得,設則,由,可得,所以,所以,所以.所以的面積為8．【正確答案】C,令,顯然且是上的增函數(shù).由題可得對恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立令,所以當且僅當,即時，等號成立，所以當時,所以.故選.9．【正確答案】BD【詳解】對于A，圓：的標準方程為，所以圓心，半徑，由圓的半徑為2，則，解得，故A錯誤；對于B，因為直線方程為，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故B正確；對于C，因為直線垂直的直線斜率為，則過圓心且與直線垂直的直線方程為，即，故C錯誤；對于D，因為圓心到直線的距離，由，所以到直線的距離等于的點只有1個，故D正確.故選：BD.10．【正確答案】ABD【詳解】A，因為，所以函數(shù)的最大值為，故A正確；B，因為，所以函數(shù)的圖象關于點中心對稱，故B正確；C，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間內是先減后增，故C錯誤；D，將函數(shù)圖象橫坐標伸長到原來的2倍，得到的圖象，再向左平移個單位長度，得到的圖象，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，由題意得，，，四邊形是矩形，則，在中，，若點是的中點，則，在中，，，由余弦定理可得，故A正確；對于B，因為，所以點的軌跡是以AB為直徑的半圓，半徑長為1，則軌跡長度為，故B錯誤；對于C，若點滿足，則點的軌跡是以，分別為左、右焦點，長軸長為，焦距為的橢圓，是橢圓的中心，則橢圓上的點到橢圓中心的距離的最小值為短半軸長，由，，得短半軸長為，則PM的最小值為，故C正確；對于D，因為點到點的距離等于點到直線的距離，過點作于點，過點作于點，則，又，則，則，所以，解得，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】70【詳解】因為，所以數(shù)列的首項為，故，所以，故數(shù)列的前5項和為.故7013．【正確答案】由正弦定理，可知又由雙曲線定義，可知解得又,所以為的靠近的一個三等分點，所以因為以為圓心的圓與的延長線相切于點,所以,所以又在中，所以,.所以得,則,故雙曲線的漸近線方程為14．【正確答案】/【詳解】如圖，以底面的中心為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，設平面PAB的一般方程為，因為不在同一條直線上的任意三點可以確定一個平面，所以將坐標代入，得解得，，，由題知不全為0，所以，所以，即，所以點到側面PAB的距離.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為拋物線：過點，所以，，則拋物線方程為.（2）由題可得，設Ax0,y0，則，，所以，.因為，所以，解得或（舍），故，，，.又點，，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，設為坐標原點，所以四邊形的面積為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，由余弦定理，可得，則，化簡得，解得，則有，所以，又，平面ABC，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）易知，AC，BC兩兩相互垂直，以為坐標原點，分別以CA，CB，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，則，，，，設平面的法向量為n1=則，可得，所以，令，則，，設平面的法向量為，則,可得,令，則，，故，設平面與平面的夾角為，則，解得，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】見詳解【詳解】解：(1)由題意，得,則.又陰影部分的面積為得,即,所以,所以橢圓的標準方程為.(2)設則①當直線的斜率不存在時，即,因為以為直徑的圓過坐標原點,所以,則,即,得,又在橢圓上，所以,解得所以②當直線的斜率存在時，設其方程為.由消得則,因為以為直徑的圓過坐標原點,所以,則,即,故x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)4m2-124k2+3+km(-43)+m,即,整理得又故又到直線的距離,所以當且僅當,即,即時，等號成立，即.又,所以面積的最大值為.15分18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，，則，①又因為是和的等比中項，所以，即，整理得，②由①②解得，所以，又因為，所以，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列的前10項和為.（2）由，得，則點，點.