2024-2025學年廣東省陽江市高二上冊1月期末測試數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年廣東省陽江市高二上學期1月期末測試數(shù)學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.2.已知，，，則的最小值為（）A. B.1 C.0 D.3.已知冪函數(shù)圖象過點，則的值為（）A.9 B.3 C. D.4.若關(guān)于一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5.已知，則＝（）A. B. C. D.6.已知向量，，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.7.某圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當截面面積最大時，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）A.4 B.2 C. D.8.已知是表面積為的球表面上的四點，球心為的內(nèi)心，且到平面的距離之比為，則四面體的體積為（）A.3 B.4 C.5 D.6二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在中，內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法中正確的有（）A.若，則面積的最大值為B.若，則面積的最大值為C.若角的內(nèi)角平分線交于點，且，則面積的最大值為3D.若為的中點，且，則面積的最大值為10.已知函數(shù)，則（）A.是上的奇函數(shù)B.當時，的解集為C.當時，在上單調(diào)遞減D.當時，值域為11.已知函數(shù)，則下列正確的有（）A.函數(shù)在上為增函數(shù) B.存在，使得C.函數(shù)的值域為 D.方程只有一個實數(shù)根12.正方體棱長為4，動點、分別滿足，其中，且，；在上，點在平面內(nèi)，則（）A.對于任意，且，都有平面平面B.當時，三棱錐的體積不為定值C.若直線到平面的距離為，則直線與直線所成角正弦值最小為．D.的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則的值為______.14.已知點在函數(shù)的圖像上，且有最小值，則常數(shù)的一個取值為_________．15.三棱錐的四個頂點都在表面積為的球O上，點A在平面的射影是線段的中點，，則平面被球O截得的截面面積為______．16.在四面體中，，，，且，，異面直線，所成的角為，則該四面體外接球的表面積為______.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角所對應的邊分別為，且，，．求：（1）a的值；（2）和的面積．18.某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組[45，55），第二組[55，65），第三組[65，75），第四組[75，85），第五組[85，95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a、b的值；（2）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第60百分位數(shù)（精確到0.1）；19.如圖，在所有棱長都等于1三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．（1）證明：A1C1⊥B1C；（2）求直線BC與平面ABB1A1所成角的大?。?0.已知直線，直線，設(shè)直線與的交點為A，點P的坐標為.（1）經(jīng)過點P且與直線垂直的直線方程；（2）求以為直徑的圓的方程.21已知直線和圓．（1）求與直線垂直且經(jīng)過圓心的直線的方程；（2）求與直線平行且與圓相切的直線的方程．22.已知函數(shù)（1）當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間（只需判定單調(diào)區(qū)間，不需要證明）；（2）設(shè)在區(qū)間上最大值為，求的解析式.2024-2025學年廣東省陽江市高二上學期1月期末測試數(shù)學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)集合的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】，，故選：B2.已知，，，則的最小值為（）A. B.1 C.0 D.【正確答案】B【分析】由題設(shè)，且，應用基本不等式“1”的代換求目標式最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，且，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為1.故選：B3.已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（）A.9 B.3 C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)求出，即可求出函數(shù)解析式，再代入計算可得.【詳解】設(shè)，則，所以，則，所以.故選：A4.若關(guān)于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合已知作出對應二次函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，作圖則有，解得.故選：C.5.已知，則＝（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由倍角公式和差角公式、平方關(guān)系求解即可.【詳解】.故選：D6.已知向量，，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標運算及數(shù)量積的運算性質(zhì)、夾角公式求解.【詳解】，，，，，.故選：A7.某圓錐母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當截面面積最大時，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）A.4 B.2 C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)該圓錐的頂點為S，底面圓心為O，連接SO，得到，得到的夾角為90°時，的面積最大，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)該圓錐的頂點為S，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，連接SO，由圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形可知圓錐的高，底面圓半徑為，設(shè)C為圓錐底面圓周上一點，連接BC，OC，則，所以當?shù)拿娣e最大時，即最大時，即的夾角為90°時，的面積最大，此時的面積為8，且，取中點，連接，則，在直角中，可得，所以的面積為，設(shè)圓錐底面圓的圓心O到截面SBC的距離為h，則由可得，即，解得，所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為．故選：D．8.已知是表面積為的球表面上的四點，球心為的內(nèi)心，且到平面的距離之比為，則四面體的體積為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)題意分析可知是邊長為等邊三角形，點在底面的投影在直線上，建系，設(shè)，，利用空間向量結(jié)合點到面的距離可得，進而可求體積.【詳解】由題意可知：球心既是的內(nèi)心，也是的外心，則為等邊三角形，設(shè)球的半徑為，則，解得，由正弦定理可得，即的邊長為，分別取的中點，連接，因為到平面的距離相等，由對稱可知：點在底面的投影在直線上，如圖，以O(shè)為坐標原點，為x軸所在直線，為y軸所在直線，過作底面的垂線為z軸所在直線，建立空間直角坐標系，則，可得，不妨設(shè)平面的法向量依次為，且，則O到平面的距離依次為，可得，整理得，因為，設(shè)，，則，則，解得，則，解得，則，即點到底面的距離為，所以四面體的體積為.故選：A.關(guān)鍵點睛：1.分析可知是邊長為2的等邊三角形，點在底面的投影在直線上；2.巧妙設(shè)點或向量，方便分析計算.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在中，內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法中正確的有（）A.若，則面積的最大值為B.若，則面積的最大值為C.若角內(nèi)角平分線交于點，且，則面積的最大值為3D.若為的中點，且，則面積的最大值為【正確答案】BCD【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面積公式可判斷AB；根據(jù)角平分線的性質(zhì)及余弦定理，結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷C，根據(jù)余弦定理結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷D.【詳解】對于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，所以，所以A錯誤；對于B，由余弦定理可得，所以，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即面積的最大值為，故B正確；對于C，設(shè)，，則，，在和中，分別運用正弦定理，得和.因為，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為3，所以C正確；對于D，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，解得，則，所以，所以當即時，，D正確.故選：BCD.方法點睛：本題以三角形中的邊角關(guān)系為背景設(shè)置了求三角形面積的最大值問題．求解時，先運用余弦定理求得邊角關(guān)系，再建立三角形的面積函數(shù)，進而借助基本不等式或二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析探求出其最大值使得問題獲解.10.已知函數(shù)，則（）A.是上的奇函數(shù)B.當時，的解集為C.當時，在上單調(diào)遞減D.當時，值域為【正確答案】ABD【分析】對于A，直接由奇函數(shù)的定義即可判斷；對于B，直接分類討論解絕對值不等式即可判斷；對于C，舉出反例，推翻C選項；對于D，通過令換元法，然后再分類討論求出的值域即可判斷.【詳解】對于A，首先的定義域是關(guān)于原點對稱，其次，即是上的奇函數(shù)，故A正確；對于B，當時，，所以或，解得或，即當時，的解集為，故B正確；對于C，不妨取，此時，對，有，故C錯誤；對于D，當時，令，此時，而，當時，，從而當時，即值域為.故選：ABD.關(guān)鍵點點睛：對于AC選項的判斷比較常規(guī)，直接由定義即可判斷，對于B，注意分類討論解決速度最快了，對于D，通過換元令，這樣就不要分或進行討論了.11.已知函數(shù)，則下列正確的有（）A.函數(shù)在上為增函數(shù) B.存在，使得C.函數(shù)的值域為 D.方程只有一個實數(shù)根【正確答案】ABD【分析】首先去絕對值，依次判斷函數(shù)的單調(diào)性和值域，再求解的方程，再利用數(shù)形結(jié)合判斷D.【詳解】A.當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，故A正確；B.當時，，若，則，即，其中，所以方程存在實數(shù)根，故B正確；C.當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時，當且時，，此時函數(shù)在和單調(diào)遞減，此時或，所以函數(shù)的值域是，故C錯誤；D.由以上求值域的過程可知，和時，，當時，，即，如圖畫出和，當?shù)膱D象，兩函數(shù)圖象在區(qū)間只有1個交點，所以方程只有一個實數(shù)根，故D正確.故選：ABD12.正方體棱長為4，動點、分別滿足，其中，且，；在上，點在平面內(nèi)，則（）A.對于任意的，且，都有平面平面B.當時，三棱錐的體積不為定值C.若直線到平面的距離為，則直線與直線所成角正弦值最小為．D.的取值范圍為【正確答案】ACD【分析】建空間直角坐標系，用向量知識求解四個選項.【詳解】對于A，以為坐標原點，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，又，所以，所以對于任意的，且，都有平面平面，故A正確；對于B，當時，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，，所以，又，點到平面的距離為又，又因為的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B錯誤；對于C，設(shè)，,則因為直線到平面的距離為，所以平面，，設(shè)面為，則，令，則，所以所以，即，又，則，解得或，若，所以，，又，設(shè)直線與直線所成角為，所以當最大時，最小，令，，在單調(diào)遞增，所以，，最大值為，所以最小為，所以直線與直線所成角正弦值最小為；若，所以，，根據(jù)對稱性可得最小為，故C正確；對于D，設(shè)因為，所以，，，所以，整理得，即所以點的運動軌跡為一個以為球心，半徑為2的球面上一點，所以，所以，當時，最小為，當時，最大為所以的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則的值為______.【正確答案】##【分析】化簡所求值的式子，再利用誘導公式及二倍角的余弦公式計算即得.【詳解】依題意，.故14.已知點在函數(shù)的圖像上，且有最小值，則常數(shù)的一個取值為_________．【正確答案】1（不唯一）【分析】分別畫出函數(shù)和的圖像，再根據(jù)條件求解.【詳解】設(shè)，分別繪制函數(shù)的大致圖像如下圖：其中有最小值，，沒有最小值，是它的漸近線，點在上，，，如上圖，當時，不存在最小值，；故（不唯一）.15.三棱錐的四個頂點都在表面積為的球O上，點A在平面的射影是線段的中點，，則平面被球O截得的截面面積為______．【正確答案】【分析】求出球的半徑，由題目條件得到為等邊三角形，作出輔助線，找到球心的位置，并得到，求出截面面積，【詳解】設(shè)球O的半徑為，則，解得，因為點A在平面的射影是線段的中點，即⊥平面，因為平面，所以⊥，由三線合一可知，，因為，所以為等邊三角形，故，，且球心O在平面上的投影為的中心，即，過點O作⊥平面于點，連接，故，則與平行，故，由勾股定理得，平面被球O截得的截面為圓，半徑為2，故面積為.故16.在四面體中，，，，且，，異面直線，所成的角為，則該四面體外接球的表面積為______.【正確答案】或【分析】將四面體放到長方體中，則在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，由異面直線，所成的角為，即可大致確定的位置，利用對稱性以點在軸正方向時為例找出外接球球心位置并利用半徑得出等量關(guān)系，求得半徑大小后便可得出四面體外接球的表面積.【詳解】依題意，將四面體放到長方體中，則在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，因為異面直線，所成的角為，，所以可得或，所以應為圖中或，如下圖所示：由對稱性可知，當點在軸負方向時，解法與或位置相同；可設(shè)的中點為，四面體外接球的球心為，球的半徑為，由題意可知，球心在過點且垂直于平面的垂線上，且滿足，建立如上圖所示的空間直角坐標系，因為，，，設(shè)，又，由，所以，或，解得或,所以或，即可知四面體外接球的表面積為或.故或方法點睛：在考查幾何體外接球問題時，如果外接球球心的位置用幾何法不太容易確定，可采取分割補形法或坐標法來確定其位置，進而求得半徑.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角所對應的邊分別為，且，，．求：（1）a的值；（2）和的面積．【正確答案】（1）（2）故，的面積為【分析】（1）應用余弦定理列方程求值即可；（2）由同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，應用正弦定理求，三角形面積公式求的面積.【小問1詳解】因為，，，所以，由余弦定理得：，解得．故.【小問2詳解】由，則，由正弦定理得，又，得，．故，的面積為.18.某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組[45，55），第二組[55，65），第三組[65，75），第四組[75，85），第五組[85，95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a、b的值；（2）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第60百分位數(shù)（精確到0.1）；【正確答案】（1）（2）平均數(shù)為，第60百分位數(shù)【分析】（1）由三、四、五組的頻率之和為可求出值，再由所有頻率之和為求出值；（2）根據(jù)平均數(shù)等于每個小矩形面積乘上小矩形底邊中點的橫坐標之和求解，再根據(jù)百分位數(shù)的定義求解第60百分位數(shù)即可.【小問1詳解】∵第三、四、五組的頻率之和為0.7，∴，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；【小問2詳解】這100名候選者面試成績平均數(shù)為，前兩個分組頻率之和為0.3，前三個分組頻率之和為0.75，所以第60百分位數(shù)在第三組，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，故第60百分位數(shù)為.19.如圖，在所有棱長都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．（1）證明：A1C1⊥B1C；（2）求直線BC與平面ABB1A1所成角的大?。菊_答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用勾股定理得出AC⊥B1C，異面直線所成角定義即得.（2）首先根據(jù)題意連接AB1，A1B，交于點O，連接BC1，連接CO，進而證明CO⊥平面A1ABB1，再根據(jù)線面角的定義即得.【小問1詳解】證明：連接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝，AB＝BB1＝1，所以AB1＝，△BCB1中，∠B1BC＝，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1，所以在△ACB1中，AB1＝，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2，所以AC⊥B1C．又因為在三棱柱ABC－A1B1C1中，1，所以A1C1⊥B1C．【小問2詳解】方法1連接AB1，A1B，交于點O，連接BC1，連接CO．在邊長都為1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中點，又因為B1C＝AC＝1，所以CO⊥AB1．因為四邊形B1BCC1邊長都為1，所以B1C⊥BC1．由(1)知B1C⊥A1C1．又因為A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1平面A1BC1，所以B1C⊥平面A1BC1．因為A1B平面A1BC1，所以B1C⊥A1B．因為在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，A1B⊥AB1．又因為AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C．因為CO平面AB1C，所以CO⊥A1B．又因為A1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角．在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．因為BC＝1，所以，所以∠CBO＝，所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大小為．方法2取AB1中點O，連接BO，CO．在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1，在邊長都為1的正方形A1ABB1中，BO＝，A1B＝．又因為AC2＋B1C2＝A1B2，所以△ACB1為直角三角形，所以CO＝．在△ACB1中，CO2＋BO2＝BC2，所以CO⊥BO．又因為AB1∩BO＝O，AB1，BO平面A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角．在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．因為BC＝1，所以，所以∠CBO＝，所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大