2024-2025學年甘肅省武威市高二上冊期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年甘肅省武威市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷注意事項：1．答題前在答題卡上填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.(多選)下列問題屬于組合問題的是（）A.從4名志愿者中選出2人分別參加志愿服務(wù)工作B.從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字，組成一個三位數(shù)C.從全班同學中選出3名同學出席大學生運動會開幕式D.從全班同學中選出3名同學分別擔任班長?副班長和學習委員【正確答案】AC【分析】根據(jù)組合問題只需選出元素即可，而排列問題是對選出的元素還需進行排序，對每一選項進行判斷，即可得出答案.選項A.從4名志愿者中選出2人分別參加志愿服務(wù)工作，只需選出2人即可，無排序要求，故是組合問題.選項B.從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字，組成一個三位數(shù),選出3個不同數(shù)字，還需對3個數(shù)字進行排序成三位數(shù)，故是排列.選項C.從全班同學中選出3名同學出席大學生運動會開幕式,只需選出3人即可，無排序要求，故是組合問題.選項D.從全班同學中選出3名同學分別擔任班長?副班長和學習委員先從全班選出3人，再安排其職務(wù)，即需排序，故是排列問題.所以B，D項均為排列問題，A，C項是組合問題.故選：AC2.已知點到拋物線的焦點的距離為，則該拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出拋物線的焦點的坐標，利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出的值，即可得出該拋物線的準線的方程.拋物線的焦點為，則，且，解得，故該拋物線的準線方程為.故選：C.3.圓與雙曲線的漸近線相切，則的值為A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件求得圓心和漸近線方程，再由點到直線的距離公式求得半徑.由已知得圓心為（2,0），雙曲線漸近線方程為，故圓心到漸近線的距離為，所以，故選C.本小題主要考查圓的標準方程，考查雙曲線漸近線的求法，考查點到直線距離公式和直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.可表示為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義可得出答案．，故選：B5.某學習小組有男、女生共8人，現(xiàn)從男生中選2人，女生中選1人分別去做3種不同的工作，共有90種不同的選法，則男、女生人數(shù)分別為（）A.3，5 B.2，5 C.5，3 D.6，2【正確答案】A【分析】先設(shè)男生女生人數(shù)，再根據(jù)已知列式，結(jié)合排列數(shù)及組合數(shù)的計算即可解.設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，由題意可知，即，即，解得，所以男、女生人數(shù)為.故選:A.6.已知點和點，若直線上存在點，可使，則稱該直線為“D型直線”．下列四條直線中：①；②；③；④．“D型直線”的條數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由題意點在橢圓上，再逐項分析直線是否與橢圓相交即可得解.由可知，點軌跡為橢圓，由，可得，又焦點在軸上，故橢圓的方程為，由題意，直線與橢圓相交即為“D型直線”，由過點，知直線過橢圓內(nèi)的點，故相交，是“D型直線”，由可知，與橢圓相交，是“D型直線”，不與橢圓相交，不是“D型直線”，由知不與橢圓相交，不是“D型直線”.故選：B7.年月我校組織年校慶活動，有甲、乙、丙名志愿者負責、、、等個任務(wù)．每人至少負責一個任務(wù)，每個任務(wù)都有人負責，且甲不負責任務(wù)的分配方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【正確答案】C【分析】分別考慮甲負責個任務(wù)和甲負責個任務(wù)的情況，結(jié)合甲不負責，可得答案.因任務(wù)有個，人只有三個，結(jié)合題意可知有人負責兩個任務(wù).若甲負責兩個任務(wù)，因甲不負責任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時的分配方法共有種；若甲負責個任務(wù)，因甲不負責任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時的分配方法共有種；綜上，滿足題意的分配方法共有種.故選：C8.已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，設(shè)橢圓M的離心率為，雙曲線N的離心率為，則為A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意畫出橢圓與雙曲線的圖像，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，即可找到橢圓中與雙曲線中的關(guān)系式，即可求出其離心率.如圖所示：因為.所以雙曲線的漸近線為，即.因為、、、所以.所以.故選B.本題考查橢圓與雙曲線的離心率,屬于基礎(chǔ)題.解決本題的關(guān)鍵在于正確畫出其圖像，找到圖像中的關(guān)于等式.二．多選題（共3小題，滿分18分，每小題全部選對得6分，部分選對得2分）9.已知曲線，，則（）A.的長軸長為4 B.的漸近線方程為C.與的焦點坐標相同 D.與的離心率互為倒數(shù)【正確答案】BD【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標準方程，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項判斷即可得.由，即為：，故焦點在軸上，長軸長為，故A錯誤；焦點坐標為，離心率為，對，漸近線方程為，故B正確；焦點坐標為，與的焦點坐標不相同，故C錯誤；離心率為，與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.故選：BD.10.某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是（）A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)B.若物理和化學至少選一門，選法總數(shù)為C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為D.若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為【正確答案】ABD【分析】若任意選擇三門課程，由組合的概念可知選法總數(shù)為種，可判斷A錯誤；若物理和化學至少選一門，由分步乘法計數(shù)原理知選法總數(shù)為種，可判斷B錯誤；若物理和歷史不能同時選，利用間接法可知選法總數(shù)為種，可判斷C正確；若物理和化學至少選一門，有3種情況，分別討論計算，可判斷D錯誤．對于A，若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為種，故A錯誤對于B，若物理和化學選一門，有種方法，其余兩門從剩余的5門中選2門，有種選法若物理和化學選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的5門中選1門，有種選法由分步乘法計數(shù)原理知，總數(shù)為種選法，故B錯誤對于C，若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為種，故C正確對于D，若物理和化學至少選一門，有3種情況，只選物理不選歷史，有種選法選化學，不選物理，有種選法物理與化學都選，不選歷史，有種選法故總數(shù)為種，故D錯誤故選：ABD11.已知點F是拋物線的焦點，AB，CD是經(jīng)過點F的弦且，AB的斜率為k，且，C，B兩點在x軸上方，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.四邊形ACBD面積的最小值為C. D.若，則直線CD的斜率為【正確答案】ACD【分析】設(shè)直線CD的方程為，將該直線CD的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理可判斷A選項的正誤，求出、關(guān)于的表達式，利用基本不等式可判斷B選項的正誤，利用弦長公式可判斷C選項的正誤，利用弦長公式求出的值，可判斷D選項的正誤.對于A選項，設(shè)直線CD的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，所以，所以，，故A選項正確；對于B選項，，同理可得，，所以，四邊形的面積為，當且僅當時，等號成立，故B選項錯誤；對于C選項，，故C選項正確.對于D選項，設(shè)點、、，直線AB的方程為，聯(lián)立，可得，則，所以，，解得，∵，則，直線CD的斜率為，故D選項正確；故選：ACD.方法點睛：有關(guān)直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.三填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.經(jīng)過點，并且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的標準方程為_____________.【正確答案】【分析】設(shè)出方程，代入點A即可求出.雙曲線為等軸雙曲線，則可設(shè)方程為，將代入可得，即，故方程為，化為標準方程為.故答案為.13.從1，3，5中任取2個數(shù)，從0，2，4中任取2個數(shù)，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為_________.【正確答案】【分析】先分類討論從0，2，4中任取2個數(shù)時，其中含數(shù)字0時，和不含數(shù)字0時，結(jié)合排列組合即可得解．從1，3，5中任取兩個數(shù)，從0，2，4中任取2個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，分兩種情況：①當從0，2，4中任取2個數(shù)，其中含數(shù)字0時，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為;②當從0，2，4中任取2個數(shù)，其中不含數(shù)字0時，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為.綜合①②得：組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為.故．14.已知橢圓，點M1，M2，…，M5為其長軸AB的6等分點，分別過這5點作斜率為k（k≠0）的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10，則直線AP1，AP2，…AP10這10條直線的斜率乘積為_____．【正確答案】【分析】設(shè)點，則，由橢圓的對稱性可知，所以，同理可得其它，即可求出．如圖所示：設(shè)點，則同理可得，．由橢圓的對稱性可得，∴，，同理可得，．∴直線AP1，AP2，…，AP10這10條直線的斜率乘積為：．故．本題主要考查橢圓的性質(zhì)運用，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題（本題共5個答題，共77分）15.（1）計算：；（2）若，則x的值為_____；（3）若，求正整數(shù)n．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用排列數(shù)、組合數(shù)公式計算即得.（2）利用組合數(shù)的性質(zhì)，排列數(shù)、組合數(shù)公式化簡方程求解.（3）利用組合數(shù)的性質(zhì)化簡求解.（1）.（2）依題意，，則，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.16.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點.（1）求雙曲線的方程；（2）求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程；（3）若直線與雙曲線交于、兩點，且、的中點坐標為，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）設(shè)過點的雙曲線為，利用點求得，從而求得該雙曲線的方程.（3）利用點差法求得直線的方程.【小問1詳解】橢圓，即，所以，所以，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】雙曲線，對應(yīng)，所以漸近線方程為，設(shè)過點的雙曲線的標準方程為，所以，所以.【小問3詳解】設(shè)，則，兩式相減并化簡得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.由，消去并化簡得，符合.所以直線的方程為.17.寒假有來自不同大學的3名男生和2名女生來母校開展大學宣講活動．（1）若要將這5名同學分配到三個班進行宣講，每班至少一名同學，有多少種不同的分配方案？（2）宣講完畢，這五位同學和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同學中間，有多少種不同的排法？（3）若這五位同學中甲、乙、丙三位同學身高互不相等，則這五位同學和班主任合影留念時甲、乙、丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（4）隨后這五位同學合影留念時，同學甲不站在最左端，同學乙不站在最右端，有多少種不同的排法？（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）【正確答案】（1）150（2）48（3）120（4）【分析】（1）將5名同學分為3，1，1或2，2，1三組，然后分配到三個班；（2）先甲乙同學之間排列，再把班主任和甲乙同學看作一個整體，與其他3名同學排列；（3）先將6人全排列，考慮到甲、乙、丙三人排列有種，進而可得所求排法；（4）先將五位同學全排列，去掉同學甲站在最左端的情形，再去掉同學乙站在最右端的情形，再加上重復(fù)去掉的同學甲站在最左端且同學乙站在最右端的情形.【小問1詳解】將5名同學分為3，1，1或2，2，1三組，然后分配到三個班，所以分配方案有種．【小問2詳解】先甲乙同學之間排列，再把班主任和甲乙同學看作一個整體，與其他3名同學排列，則不同的排法種．【小問3詳解】先將6人全排列有種，考慮到甲、乙、丙三人排列有種，所以甲、乙、丙三人按高低從左到右排列時，不同的排法有種．【小問4詳解】先將五位同學全排列，去掉同學甲站在最左端的情形，再去掉同學乙站在最右端的情形，再加上重復(fù)去掉的同學甲站在最左端且同學乙站在最右端的情形，所以不同的排法種數(shù)有．18.已知橢圓的中心在坐標原點，離心率等于，它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知、（）是橢圓上的兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為.①求四邊形APBQ的面積的最大值；②求證.【正確答案】（1）；（2）①；②證明見解析.【分析】（1）設(shè)橢圓C的方程，再根據(jù)拋物線的焦點坐標，和橢圓離心率，則可求出橢圓C的方程的解析式.（2）①先求出m的值，設(shè)，和直線AB的方程，再聯(lián)立直線AB的方程和由（1）求得的橢圓方程，得到，可求出t的范圍，再根據(jù)韋達定理可得，則四邊形APBQ的面積的最大值可求，②由①得P點坐標，再根據(jù)斜率公式寫出,,再將化簡即可得則可證.（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，因為拋物線的焦點坐標為，則，由，∴橢圓C的方程為.（2）①當時，解得，，設(shè)，直線AB的方程為，，，由，解得，由韋達定理得.，由此可得：四邊形APBQ的面積，∴當時，.②，，，即，.考查橢圓的標準方程，橢圓中的最值問題以及橢圓的應(yīng)用.題目較難.需多加理解.19.已知拋物線的焦點為，準線的方程為.若三角形的三個頂點都在拋物