2024-2025學(xué)年福建省莆田市高三上冊第四次月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省莆田市高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為（

）A．1 B． C． D．23．已知等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．150 B．160 C．170 D．與和公差有關(guān)4．若，則（

）A． B． C． D．5．要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內(nèi)都含有微量的放射性．動植物死亡后，停止了新陳代謝，不再產(chǎn)生，且原來的會自動衰變．經(jīng)過5730年，它的殘余量只有原始量的一半．現(xiàn)用放射性碳法測得某古物中含量占原來的，推算該古物約是年前的遺物（參考數(shù)據(jù)：），則實數(shù)的值為（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．240346．如圖，在中，為邊上的高，，，，，則的值為A． B． C．-2 D．7．已知，為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是A．2 B． C．4 D．8．已知且且且，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．10．正項等比數(shù)列的前n項積為，且滿足，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C．的最大值為 D．11．電子通訊和互聯(lián)網(wǎng)中，信號的傳輸?處理和傅里葉變換有關(guān).傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和或余弦函數(shù)）的線性組合.例如函數(shù)的圖象就可以近似地模擬某種信號的波形，則（

）A．為周期函數(shù)，且最小正周期為B．為奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的導(dǎo)函數(shù)的最大值為712．在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點M在線段PC上運(yùn)動（不含端點），則（

）A．存在點M使得B．四棱錐外接球的表面積為C．直線PC與直線AD所成角為D．當(dāng)動點M到直線BD的距離最小時，過點A，D，M作截面交PB于點N，則四棱錐的體積是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，，，則.14．若平面向量與的夾角為，，，則.15．已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．16．設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且函數(shù)，均為偶函數(shù)．若當(dāng)時，，則的值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．的內(nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知．(1)求B；(2)若，，求的面積．18．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且，，成等差數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．19．現(xiàn)有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，每加工一個零件耗時35分鐘，第2，3臺加工的次品率均為，每加工一個零件分別耗時32分鐘和30分鐘，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，．(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計算加工這個零件耗時（分鐘）的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，E是CD的中點，AE與BD交于點F，G是的重心．

(1)求證：平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，為等腰直角三角形，且，求直線AG與平面PBD所成角的正弦值．21．已知數(shù)列的前項和為，，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：．22．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的零點的個數(shù)﹔(2)當(dāng)時，若對任意，恒有，求實數(shù)a的取值范圍．1．D【分析】分別求出集合，求出交集即可.【詳解】，，故，.故選：D.2．C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再利用求模公式計算即可.【詳解】由，得，即，所以，故選：C．3．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，代入等差數(shù)列的前項和公式計算結(jié)果即可.【詳解】解：因為是等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：B4．B【分析】利用湊角，同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的余弦公式轉(zhuǎn)化計算.【詳解】，故選：B5．B【分析】設(shè)每年的衰變率為，古物中原的含量為，然后根據(jù)半衰期，建立方程，將已知條件帶入取對數(shù)，利用對數(shù)性質(zhì)運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)每年的衰變率為，古物中原的含量為，由半衰期，得．所以，即．由題意，知，即．于是．所以．故選：B．6．A【分析】根據(jù)向量垂直及向量數(shù)量關(guān)系，可得，利用余弦定理及面積公式，可求得的值，進(jìn)而求得的值。【詳解】因為為邊上的高所以因為所以則由向量的加法運(yùn)算可得在中，，，由余弦定理可得所以由三角形面積公式可得可知，且解得所以所以選A本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題。7．C【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切線的坐標(biāo)，可得，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，由切線的方程可得切線的斜率為1，可得切點的橫坐標(biāo)為，所以切點為，代入，得，、為正實數(shù)，則．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值．故選：C本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．8．D令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得的大小.【詳解】因為，故，同理，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因為，故，即，而，故，同理，，，因為，故，所以.故選：D．思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的大小比較問題，應(yīng)根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，此類問題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵．9．ABD【分析】先根據(jù)奇偶性定義分析函數(shù)的奇偶性，然后再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此作出判斷即可.【詳解】對于選項A，定義域為關(guān)于原點對稱，且，故為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，故滿足；對于選項B，定義域為關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)，又，且不恒為0，所以在上單調(diào)遞增，故滿足；對于選項C，定義域為關(guān)于原點對稱，，故為偶函數(shù)，不滿足；對于選項D，定義域為關(guān)于原點對稱，，為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，故滿足．故選：ABD．10．ABC【分析】先根據(jù)題干條件判斷出，然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一分析每個選項．【詳解】由得或，若，則，結(jié)合得，矛盾；所以，所以，故A正確；由上述分析得，故B正確；由上述分析得，故最大，C正確；，故D錯誤；故選：ABC.11．BCD【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷即可.【詳解】.對于A，，不是的周期，故A錯誤；對于B，的定義域為，為奇函數(shù)，故B正確；對于C，，且為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D，，當(dāng)時，，取最大值7，故D正確.故選：BCD.12．BCD【分析】取AD的中點G，證明平面PGC，然后由線面垂直的性質(zhì)定理判斷A，把四棱錐補(bǔ)形成一個如圖2的正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷BC，由平面PGC，當(dāng)動點M到直線BD的距離最小時，從而得為PC的中點，N為QA的中點，再由體積公式計算后判斷D．【詳解】如圖1，取AD的中點G，連接GC，PG，BD，,則，因為平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，則．又因為，所以，又，平面，所以平面PGC．因為平面PGC，平面PGC，所以不成立，A錯誤．因為△APD為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面APD作為底面一部分，補(bǔ)成棱長為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．如圖2，直線PC與直線AD所成角即為直線PC與直線BC所成角，為，C正確．如圖1，因為平面PGC，當(dāng)動點M到直線BD的距離最小時，由上推導(dǎo)知，，，，，，，因此M為PC的中點．如圖3，由M為PC的中點，即為中點,平面即平面與的交點也即為與的交點,可知N為QA的中點，故，D正確．故選：BCD．方法點睛：空間幾何體的外接球問題，（1）直接尋找球心位置，球心都在過各面外心用與該面垂直的直線上，（2）對特殊的幾何體，常常通過補(bǔ)形（例如把棱錐）補(bǔ)成一個長方體或正方體，它們的外接球相同，而長方體（或正方體）的對角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置．13．##0.875【分析】設(shè)公比為，由可解得，代入求和公式即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，由等比數(shù)列求和公式可知．故．14．2【分析】先求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故2.15．##【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.

16．【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性分析即可求解.【詳解】因為函數(shù)，的定義域均為R，且函數(shù)為偶函數(shù)，則，求導(dǎo)得，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱．因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，由函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且關(guān)于直線對稱．所以函數(shù)的周期為，．由，，，所以，即，即，所以當(dāng)時，于是．故17．(1)；(2)﹒【分析】(1)已知條件結(jié)合正弦定理邊化角即可求B；(2)結(jié)合正弦定理、余弦定理和三角形面積公式即可求解﹒【詳解】（1）由正弦定理，得，即，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵B為三角形內(nèi)角，∴；（2）∵，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，即，∴，，∴的面積為．18．(1)(2)【分析】（1）利用，，成等差數(shù)列以及求出首項和公比，再利用等比數(shù)列的通項公式寫出即可；（2）由（1）將數(shù)列的通項公式代入中化簡，再利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，即，解得或，因為各項均為正數(shù)，所以，所以，由，得，解得，所以.（2）由（1）知，，則，所以，兩式相減可得，整理可得．19．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合全概率公式求解即可；（2）求出的取值和相應(yīng)的概率可得分布列及期望.【詳解】（1）設(shè)“任取一個零件為次品”，“零件為第臺車床加工”（），則，且兩兩互斥，，，，，，，由全概率公式得；（2）可取，，，，的分布列為353230所以.20．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）連接AG并延長交PD于H，根據(jù)重心的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可證，從而利用線面平行的判斷定理即可證明；（2）連接PG并延長交AD于O，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角的向量求法即可求解.【詳解】（1）證明：連接AG并延長交PD于H，∵G為的重心，∴．又，∴，∴，∴．又平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．（2）連接PG并延長交AD于O，顯然O為AD的中點，因為平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，又PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．

取BC中點M，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OM，OP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則PO=2，于是，，，，，，于是，，．設(shè)平面PBD的法向量為，則，∴，∴，不妨取z=1，則，∴，∴AG與平面PBD所成角的正弦值為．21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)公式得到是常數(shù)列，確定，計算得到通項公式.（2）放縮，根據(jù)裂項相消法計算得到證明.【詳解】（1），則，整理得到，故，故是常數(shù)列，故，即，當(dāng)時，，驗證時滿足，故（2），故.22．(1)當(dāng)時，無零點，當(dāng)或有一個零點，當(dāng)，有2個零點，(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合函數(shù)圖象求解，（2）將不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函求解單調(diào)性，即可將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為恒成立，取對數(shù)即可求解.【詳解】（1）令則，記，則，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極大值也是最大值，又，而當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出的圖象如下：

因此當(dāng)時，即，無交點，此時無零點，當(dāng)或時，即或，有一個交點，此時有一個零點，當(dāng)時，即，有兩個交點，此時有2個零點，綜上可知：當(dāng)時，無零點，當(dāng)或有一個零點，當(dāng)，有2個零點，（2）當(dāng)時，若對任意，恒有等價于：對任意，恒有，令，則不