2024-2025學(xué)年北京市高二上冊(cè)期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共10小題）1．如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體的棱AB，CD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．2．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面圓的半徑為3，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．45．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，l//m，則C．若，，則 D．若，α//β，則6．已知向量，，，若，，共面，則等于（

）A． B． C．5 D．97．在正方體中，直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．8．已知平面，，直線，如果，且，，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．如圖，在正方體中，點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為面內(nèi)一點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．10．如圖，水平地面上有一正六邊形地塊，設(shè)計(jì)師規(guī)劃在正六邊形的頂點(diǎn)處矗立六根與地面垂直的柱子，用以固定一塊平板式太陽(yáng)能電池板.若其中三根柱子，，的高度依次為，則另外三根柱子的高度之和為（

）A．47m B．48m C．49m D．50m二、填空題（本大題共5小題）11．已知，，則．12．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則．13．如圖，在三棱錐中，D是的中點(diǎn)，若，，，則等于.14．已知是直線l上一點(diǎn)，且是直線l的一個(gè)法向量，則直線l的方程為．15．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的面積的最大值為；②滿足使的面積為2的點(diǎn)有且只有4個(gè)；③點(diǎn)可以是的中點(diǎn)；④線段的最大值為3．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題）16．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，為邊的中點(diǎn).(1)求直線的斜率；(2)求中線的方程.17．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).求證：(1)∥平面；(2)平面.18．如圖，在四棱錐中，平面，，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面ADE⊥平面PCD；(2)求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn).

(1)求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)求二面角的大小(3)求點(diǎn)到平面的距離.20．在三棱錐中，平面平面，為等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.21．個(gè)有次序的實(shí)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)維向量，其中稱(chēng)為該向量的第個(gè)分量．特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，稱(chēng)為維信號(hào)向量．設(shè)，則和的內(nèi)積定義為，且．(1)直接寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量．(2)證明：不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量．(3)已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：．

答案1．【正確答案】D【詳解】解：=，所以D正確，A，B，C錯(cuò)誤.故選：D2．【正確答案】D【詳解】直線可化為.斜率為-1，所以?xún)A斜角為.故選:D.3．【正確答案】A【詳解】設(shè)圓錐的高為,母線長(zhǎng)為,底面半徑為畫(huà)出立體圖像,如圖:根據(jù)立體圖形可得:根據(jù)圓錐的體積計(jì)算公式:故選:A.4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),所以，故選：A.5．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A:若,則可能，A錯(cuò)誤；對(duì)于B:若,則可能,B錯(cuò)誤；對(duì)于C:若則可能不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D:若,則,D正確.故選：D.6．【正確答案】D【詳解】由于共面，所以存在，使得，即，所以，解得：，所以.故選：D.7．【正確答案】C【分析】作出輔助線，得到或其補(bǔ)角為直線與直線所成角，根據(jù)為等邊三角形，故，得到答案.【詳解】連接，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，則，故或其補(bǔ)角為直線與直線所成角，連接，則，即為等邊三角形，故，直線與直線所成角大小為.故選C.8．【正確答案】B【詳解】如圖，若，且，，，可得，但，若，且，，，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，所以是的必要不充分條件.故選：B.9．【正確答案】A【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，設(shè)，故，因?yàn)?，所以，即，所以，則點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，故，，所以.故選：A.10．【正確答案】A【詳解】依題意可知六點(diǎn)共面，設(shè)正六邊形的中心為，連接，平面且平面，依題意可知相交于，連接交于，連接交于，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知四邊形是菱形，所以相互平分，則相互平分，根據(jù)梯形中位線有，即，在梯形中，是的中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，所以，同理可得，所以.故選：A11．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以?xún)善矫娴姆ㄏ蛄抗簿€，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以，解得，所以.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由圖可得.故答案為.14．【正確答案】【詳解】因?yàn)槭侵本€的法向量，所以直線的斜率，又點(diǎn)是直線上點(diǎn)，所以直線的方程為，整理得.故答案為.15．【正確答案】①④【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，，所以，所以，又，所以，所以，又平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，所以的軌跡為線段，對(duì)于①，由圖可知，當(dāng)在上時(shí)，此時(shí)三角形面積最大，因?yàn)?，所以面積的最大值為，故①正確；對(duì)于②，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，的面積為2，所以滿足使的面積為2的點(diǎn)有且只有2個(gè)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由圖易知，點(diǎn)不可能在線段上，所以點(diǎn)不可能是的中點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④,由圖易知，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)長(zhǎng)度最大，最大值為，故④正確.故①④.16．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）直線的斜率.（2）依題意，邊的中點(diǎn)M1,1，則直線的斜率，所以直線的方程是，即.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，則且，可知四邊形為平行四邊形，則，且平面，平面，所以∥平面.（2）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，且，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則.且，則，且，平面，所以平面.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）平面，且平面，，在正方形中，易知，，且平面，平面，平面，平面平面.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

則，，，，，由分別為的中點(diǎn)，則，，取直線的方向向量為，在平面內(nèi)，取向量，，設(shè)平面的法向量，則，，令，則，故平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面的夾角為，則.19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)椋矫?，平面，所以平?因?yàn)橹本€交平面于點(diǎn).所以平面平面，平面，所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).（2）因?yàn)槠矫?，平?所以，.因?yàn)?，所以，，兩兩相互垂?如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，所以，.所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即令，于是，，所以.又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?所以.由題知，二面角是鈍角，所以二面角的大小為.（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，因?yàn)?，則.20．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，【詳解】（1）若為中點(diǎn)，連接、，又M為AB的中點(diǎn).∴，由，則，又△為等腰直角三角形，，易知：，由，則面，∵面，∴.（2）由（1）可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，即，若為面的一個(gè)法向量，則，令，即，∴，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為.（3）若存在N使得平面平面，且，，由（2）知：，，則，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，∴，可得.∴存在N使得平面平面，此時(shí).21．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：根據(jù)題意，結(jié)合維向量的定義，則兩兩垂直的4維信號(hào)向量可以為：．（2）解：假設(shè)存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量，因?yàn)閷⑦@14個(gè)