2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．設(shè)集合，則（）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，且，則的值為（）A． B． C． D．3．在中，，為的中點，，為上一點，且，則（）A． B． C． D．4．已知甲植物生長了一天，長度為，乙植物生長了一天，長度為.從第二天起，甲每天的生長速度是前一天的倍，乙每天的生長速度是前一天的，則甲的長度第一次超過乙的長度的時期是（）（參考數(shù)據(jù)：取）A．第天 B．第天 C．第天 D．第天5．已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，為四棱錐內(nèi)切球表面上一點，則點到直線距離的最小值為（）A． B． C． D．6．已知是定義在上單調(diào)遞增且圖像連續(xù)不斷的函數(shù)，且有，設(shè)，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．7．已知拋物線的焦點為，過作不與軸垂直的直線交于兩點，設(shè)的外心和重心的縱坐標(biāo)分別為（是坐標(biāo)原點），則的值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9．記函數(shù)的最小正周期為，若，且在上的最大值與最小值的差為，則（）A． B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．直線是曲線的切線10．已知數(shù)列各項均為負(fù)數(shù)，其前項和滿足，則（）A．?dāng)?shù)列的第項小于 B．?dāng)?shù)列不可能是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列中存在大于的項11．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球的半徑為，，，為球面上三點，劣弧的弧長記為，設(shè)表示以為圓心，且過，的圓，同理，圓，的劣弧，的弧長分別記為，，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，若，則稱其為曲面等邊三角形，線段，，與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面.設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．若平面是面積為的等邊三角形，則B．若，則C．若，則球面的體積D．若平面為直角三角形，且，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．甲乙兩個盒子中裝有大小、形狀相同的紅球和白球，甲盒中有個紅球，個白球；乙盒中有個紅球，個白球.先從甲盒中隨機(jī)取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個球，則從乙盒中取出的是紅球的概率為.13．展開式中的常數(shù)項是，則實數(shù)．14．若，則的最小值為.四、解答題（本題共5小題，共77分）15．（13分）若銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．(1)求角的大?。?2)求的取值范圍.16．（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點在上，且．(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）年月日，由科技日報社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評選出的年國內(nèi)十大科技新聞揭曉.某高校一學(xué)生社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了本校名學(xué)生對這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表：(1)判斷是否有的把握認(rèn)為對這十大科技的了解存在性別差異；(2)若把這名學(xué)生按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，記抽取的人中女生數(shù)為，求的分布列及.附：①，其中；②當(dāng)時有的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián).18．（17分）拋物線具有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知點為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，且其縱坐標(biāo)為，滿足.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)過拋物線上另一點，最后沿方向射出，若射線平分，求實數(shù)的值.19．（17分）已知函數(shù).(1)證明：；(2)設(shè)，求證：對任意的，都有成立.數(shù)學(xué)答案一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.【正確答案】D【分析】先求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【詳解】因為，所以，解得，因為，所以，解得，所以，，故．故選：D．2.【正確答案】D首先設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)和得出方程組，求解可得：，通過計算可得：，代入即可得解.【詳解】設(shè)，由且，得，解得，.∴，而，.∴.故選：D.3.【正確答案】D【分析】由中點可知，根據(jù)模長關(guān)系可得，設(shè)，結(jié)合平面向量的線性運算以及基本定理可得，用表示，結(jié)合模長運算求解.【詳解】因為為的中點，則，可得，即，解得，又因為為上一點，設(shè)，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.4.【正確答案】C【分析】設(shè)甲植物每天生長的長度構(gòu)成等比數(shù)列，甲植物每天生長的長度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)其前項和分別為、，依題意得到、的通項公式，即可求出、，再由得到，最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得.【詳解】設(shè)甲植物每天生長的長度構(gòu)成等比數(shù)列，甲植物每天生長的長度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)其前項和分別為、（即天后樹的總長度），則，，所以，，由，可得，即，即，解得或（舍去），由則，因為，即，又，所以的最小值為.故選：C.5.【正確答案】B【分析】分別為和的中點，平面截四棱錐的內(nèi)切球所得的截面為大圓，求出圓的半徑，利用圓心到直線距離求點到直線距離的最小值.【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，取的中點為，的中點為，連接，，.

球為四棱錐的內(nèi)切球，底面為矩形，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，則平面截四棱錐的內(nèi)切球所得的截面為大圓，此圓為的內(nèi)切圓，半徑為，與，分別相切于點，平面平面，交線為，平面，為正三角形，有，∴平面，平面，∴，，，則有，，，則中，，解得.所以，四棱錐內(nèi)切球半徑為，連接.∵平面，平面，∴，又，平面，，∴平面，∵平面，可得，所以內(nèi)切球表面上一點到直線的距離的最小值即為線段的長減去球的半徑，又.所以四棱錐內(nèi)切球表面上的一點到直線的距離的最小值為.故選：B.6.【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)以及利用反證法證明不等式，結(jié)合選項先證明，再根據(jù)，可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】得到，因為單調(diào)遞增，所以不恒等于，故，因為在上單調(diào)遞增，故，若存在使得，則，則恒等于，與單調(diào)遞增矛盾，故，，若存在，使得因為連續(xù)，，故存在，使得，與上述矛盾，故，,對于本題，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，因為單調(diào)遞增，故不取等號，即當(dāng)時，有，即，當(dāng)時，令，,因為單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，因為，所以，，單調(diào)遞增，因為，，所以，所以.綜上所述.故選：D.7.【正確答案】D【分析】設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，的重心的縱坐標(biāo)，再表示出、的垂直平分線方程，從而求出，即可得解.【詳解】設(shè)，，顯然，直線的方程為，由整理得，顯然，所以，，所以，所以的重心的縱坐標(biāo)，又的外心既在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，又的垂直平分線方程為整理得，同理可得的垂直平分線方程為，則，解得，即外心的縱坐標(biāo)，所以.故選：D.8.【正確答案】A【分析】令，得到，關(guān)于的函數(shù)式，進(jìn)而可得關(guān)于的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定最值，即可求的最小值.【詳解】令，則，，∴，，所以，若，則，∴，有，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，即的最小值為.故選：A.9.【正確答案】B、D【分析】根據(jù)題意，先由函數(shù)周期以及可得，再由條件可得的值，即可得到，然后對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由，又，可得，又，則，即，若在上單調(diào)，則，即，令，則，即在上單調(diào)遞減，即，即，此時，此時，不符合題意，所以在上不單調(diào)，即在上不單調(diào)，又，即，即，即，，若，此時，符合題意；若，此時，不符合題意；綜上可得，，即，對于A，，故錯誤；對于B，，，故B正確；對于C，當(dāng)，則，且在上先遞減后遞增，故C錯誤；對于D，因為，所以，，可得是在處的切線，故D正確；故選：BD.10.【正確答案】B、C、D【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列前項和與通項的關(guān)系求出和的值，可判斷選項A，利用反證法判斷選項B和D，分析的符號，即可判斷選項C.【詳解】由題知，因為，所以當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，可得，又，且，所以，A錯誤；對于B，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由于，即，變形可得，必有，與等比數(shù)列定義矛盾，B正確；對于C，當(dāng)時，可得，必有即，則是遞增數(shù)列，C正確；對于D，假設(shè)數(shù)列中不存在大于的項，即對于，有，則，所以有，變形得，與假設(shè)矛盾，故D正確.故選：BCD.11.【正確答案】B、C【分析】根據(jù)弧長公式即可求解A，根據(jù)勾股定理以及弧長公式即可求解B，根據(jù)球的截面性質(zhì)可得求解C，根據(jù)余弦定理，取反例即可求解D.【詳解】若平面是面積為的等邊三角形，則，則，.A不正確.若，則，則.B正確.若，則，，則平面的外接圓半徑為，則到平面的距離，則三棱錐的體積，則球面的體積.C正確.由余弦定理可知因為，所以，則.取，，則，，則.D不正確.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.【正確答案】【分析】記從乙盒中取出的是紅球為事件，從甲盒中取出的球為紅球為事件，取出白球為事件，由已知可得出的值，然后根據(jù)全概率公式，即可得出答案.【詳解】記從乙盒中取出的是紅球為事件，從甲盒中取出的球為紅球為事件，取出白球為事件，由已知可得，，，，，根據(jù)全概率公式可得，.故答案為.13.【正確答案】【分析】求出的通項公式，得到與，從而得到展開式常數(shù)項，得到方程，求出.【詳解】∵展開式的通項公式為，令得，即．令得，即，∴展開式中的常數(shù)項為，故，解得．故答案為.14.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【詳解】由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.【正確答案】見解析【分析】（1）利用正弦定理可將化簡為，再次化簡得，從而求得，從而可求解.（2）由的外接圓半徑為，從而得，從而可得，由為銳角三角形可得，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)從而可求解.【詳解】（1）因為，所以，即，由正弦定理得，顯然，，所以，所以，因為，所以．（2）因為外接圓的半徑為，所以，所以，，所以，因為為銳角三角形，所以，即，即．令，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，所以，即，所以，即的取值范圍為.16.【正確答案】見解析【分析】（1）由余弦定理結(jié)合勾股定理逆定理可得，后結(jié)合平面平面，可得，后結(jié)合可得結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，即可得答案.【詳解】（1）不妨設(shè)，∴，由余弦定理得，在中，，∵平面平面，平面平面平面，∴平面．∵平面，∵四邊形是菱形，∴，又∵，且平面平面平面．（2）在平面內(nèi)，過點作的垂線，垂足為，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵四邊形是菱形，，∴均為等邊三角形，以點為坐標(biāo)原點，及過點平行于的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，由（1）平面，∴為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則即．令，可得，∵，∴平面與平面的夾角的余弦值為．17.【正確答案】見解析【分析】（1）根據(jù)題意和公式求出，然后根據(jù)附②即可得出結(jié)論；（2）由題得出的取值依次為，依次求出各種取值的概率，然后寫出分布列求出期望.【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，所以沒有的把握認(rèn)為對這十大科技的了解存在性別差異.（2）這名學(xué)生中男生人，女生人，按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取人，則抽取的男生有人，女生在人，所以的取值依次為，，，，所以的分布列為.18.【正確答案】見解析【分析】（1）求出點的坐標(biāo)，根據(jù)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值，由此可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出點的坐標(biāo)，可得出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，設(shè)直線的傾斜角為，分析可得出，，由結(jié)合二倍角的正切公式求出的值，結(jié)合可得出實數(shù)的值.【詳解】（1）由題意可知，拋物線的焦點為，將代入拋物線方程可得，即點，由可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，直線的方程為，