2024-2025學(xué)年四川省成都市蓉城聯(lián)盟高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省成都市蓉城聯(lián)盟高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(?2,1,5)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為(

)A.(2,1,5) B.(2,?1,?5) C.(?2,?1,?5) D.(?2,?1,5)2.若直線l的方向向量為(?1,3)，且過點(0,2)，則直線l的方程為A.3x+y?2=0 B.x+3y?23.成都市某高中為鼓勵全校師生增強身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機調(diào)查了10名同學(xué)在某天校園跑的時長(單位：分鐘)，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是(

)A.56 B.59 C.62 D.64.54.設(shè)F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)為定點，動點P(x,y)滿足||PF1A.x29+y216=1 B.5.不透明的口袋里有4個白球，2個紅球，這6個球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個球，則抽出的2個球均為白球的概率為(

)A.49 B.715 C.256.已知圓C:x2+y2=16，直線l:y=3x+b，若圓C上至少有3個點到直線A.?6≤b≤6 B.?2≤b≤2 C.b<?6或b>6 D.b<?2或b>27.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2A.12 B.23 C.28.設(shè)A，B為雙曲線x2?y22=1上的兩點，線段AB的中點為A.5 B.25 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(2,1,?2)，C(4,3,2)，則(

)A.AB?BC=4

B.點A到直線BC的距離為433

C.|AB|=10.已知事件A，事件B發(fā)生的概率分別為P(A)=35，P(B)=13A.若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=1415

B.若事件A與事件B相互獨立，則P(A∪B)=1115

C.若事件B發(fā)生時事件A一定發(fā)生，則P(AB)=715

D.若11.已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線C2:x2A.b2=33b1 B.當(dāng)e2=3時，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，?，x8的平均數(shù)為11，則8x1+2，8x2+213.過A(0,0)，B(6,8)，C(3,?1)三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，過點F1作線段BF2的垂線l，垂線l與橢圓C交于M四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)“世界圖書與版權(quán)日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個“世界讀書日”.自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會舉辦讀書知識競賽活動來鼓勵該校學(xué)生閱讀，現(xiàn)從參加競賽的學(xué)生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組[40,50)，第2組[50,60)，第3組[60,70)，第4組[70,80)，第5組[80,90)，第6組[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這100名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)(取各組區(qū)間中間值計算);(2)已知成績落在[60,70)的學(xué)生平均成績?yōu)?2，方差為9，落在[70,80)的學(xué)生平均成績?yōu)?7，方差為4，求這兩組成績的總體平均數(shù)ω和總體方差s2．16.(本小題12分)已知圓C:(x?4)2+(y+3)2=4，P是直線l:x?y+1=0上的一動點，過點P作圓(1)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時，求切線的方程;(2)當(dāng)點P在直線l上運動時，求四邊形PACB面積的最小值．17.(本小題12分)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃一次，若未命中，則換對方投籃一次.已知甲每次投籃的命中率均為35，乙每次投籃的命中率均為7(1)求第3次投籃者為乙的概率;(2)求前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次的概率．18.(本小題12分)在平行四邊形ABCD中(如圖1)，AB=2BC=2，M為AB的中點，將等邊△ADM沿DM折起，連接AB，AC，且AC=2(如圖2)(1)求證：CM⊥平面ADM;(2)求直線AD與平面ABM所成角的正弦值;(3)點P在線段AC上，若點P到平面ABM的距離為21515，求平面PDM與平面19.(本小題12分)一動圓C與圓C1:(x+1)(1)設(shè)動圓圓心C的軌跡為Γ，求曲線Γ的方程;(2)?①若點A(?2,0)，B(2,0)，P是直線x=4上的動點，直線PA，PB與曲線Γ分別交于M，N兩點，證明：直線MN過定點;?②設(shè)△AMN和△BMN的面積分別為S1和S2，求S1參考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.C

6.A

7.D

8.B

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.90

13.x?3214.26

15.解：(1)易知眾數(shù)為75，平均數(shù)為45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5；

(2)總體平均數(shù)ω=0.2×62+0.3×77=35.5，

總體方差s216.解：(1)圓C:(x?4)2+(y+3)2=4的圓心C為(4,?3)，半徑為2，

因為P是直線l:x?y+1=0上的一動點，

則當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時，P點坐標(biāo)為2,3，

當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x=2，符合題意；

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y?3=kx?2，即kx?y+3?2k=0，

由4k+3+3?2kk2+1=2，解得k=?43，

此時切線方程為?43x?y+3?2×?43=0，即4x+3y?17=0，

綜上，所求的切線方程為x=2或4x+3y?17=0；

(2)由題意知，

S四邊形PACB=2S△PAC=2×12|PA|·AC=2|PA|=2|PC|217.解：解：(1)設(shè)事件Ai=“甲第i次投籃投進”，事件Bi=乙第i次投籃投進”，

事件C=“第三次投籃者為乙”，

根據(jù)題意可知，C=(A1A2)∪(A1B2)，A1A2與A1B2互斥，

∴P(C)=P((A1A2)∪(A1B2))=P(18.證明：(1)連接CM，在△CBM中，

∵BC=BM=1，∠CBM=2π3，

∴CM=12+12?2×1×1×(?12)=3，

在△CMD中，∵DM2+CM2=CD2，∴DM⊥CM，

同理可得：CM⊥AM，

∵CM⊥DM,CM⊥AM,AM∩DM=M,AM,DM?平面ADM，

∴CM⊥平面ADM．

解：(2)設(shè)H為DM的中點，∴AH⊥DM，

∵CM⊥平面ADM，CM?平面BCDM，

∴平面ADM⊥平面BCDM，

又∵平面ADM∩平面BCDM=DM，AH?平面ADM，

∴AH⊥平面BCDM，

∴以點M為坐標(biāo)原點，MD為x軸，MC為y軸，過點M且平行于AH的直線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

∴M(0,0,0)，D(1,0,0)，C(0,3,0)，B(?12,32,0)，H(12,0,0)，A(12,0,32)，

∴AD=(12,0,?32).

設(shè)平面ABM的法向量為m=(x1,y1,z1)，

∵AB=(?1,32,?32)，AM=(?12,0,?32)，

∴m·AB=?x1+19.(1)解：設(shè)動圓C的半徑為R，圓心C的坐標(biāo)為(x,y)．

由題意可知：圓C1的圓心為C1(?1,0)，半徑為12，圓的C2圓心為C2(1,0)，半徑為72．

則圓C1內(nèi)含于圓C2，

∵動圓C與圓C2內(nèi)切，且與C1圓外切，

∴|PC2|=72?R|PC1|=12+R?|PC1+|PC2|=4>|C1C2|=2,

∴動圓C的圓心的軌跡Γ是以C1，C2為焦點的橢圓，

設(shè)其方程為：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中2a=4，2c=2，∴a=2，b2=3，