方差與標(biāo)準(zhǔn)差課件蘇教版必修

方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的數(shù)據(jù)分析指標(biāo)，用來(lái)衡量數(shù)據(jù)的分散程度。課程目標(biāo)11.理解方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計(jì)算方法。22.掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用能夠運(yùn)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)分析數(shù)據(jù)，并做出合理的判斷。33.了解方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義理解方差和標(biāo)準(zhǔn)差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要作用。什么是變量變量的定義變量是指在研究過(guò)程中能夠變化的因素。變量可以是任何可以測(cè)量或觀(guān)察到的東西，比如身高、體重、年齡、考試成績(jī)等等。變量的舉例例如，在研究學(xué)生成績(jī)與學(xué)習(xí)時(shí)間的關(guān)系時(shí)，學(xué)生成績(jī)就是一個(gè)變量，學(xué)習(xí)時(shí)間也是一個(gè)變量。我們可以觀(guān)察不同學(xué)生在不同學(xué)習(xí)時(shí)間下的成績(jī)，并分析它們之間的關(guān)系。變量的類(lèi)型離散型變量離散型變量是指取值只能是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)的值，并且這些值之間存在間斷。連續(xù)型變量連續(xù)型變量是指取值可以在一定范圍內(nèi)任意取值的變量，這些值之間沒(méi)有間斷，可以無(wú)限分割。描述數(shù)據(jù)集的集中趨勢(shì)集中趨勢(shì)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)是指尋找數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的位置，即反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的代表值。典型值用于代表數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的典型值，可以幫助我們快速了解數(shù)據(jù)的總體特征。分析工具集中趨勢(shì)可以作為我們分析數(shù)據(jù)的工具，幫助我們理解數(shù)據(jù)分布和變化規(guī)律。平均數(shù)平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的常用指標(biāo)之一。它反映了數(shù)據(jù)集中所有數(shù)據(jù)的平均值。計(jì)算公式x?=(x1+x2+...+xn)/n適用范圍適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)分布較為均勻。優(yōu)點(diǎn)易于計(jì)算，能反映數(shù)據(jù)的總體水平。缺點(diǎn)容易受到極端值的影響。中位數(shù)中位數(shù)是將數(shù)據(jù)集按從小到大排序后，位于中間位置的數(shù)值。如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，中位數(shù)就是中間那個(gè)數(shù)；如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，中位數(shù)就是中間兩個(gè)數(shù)的平均值。中位數(shù)不受極端值的影響，可以有效地反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)，適用于偏態(tài)分布數(shù)據(jù)或存在極端值的數(shù)據(jù)集。眾數(shù)眾數(shù)是指數(shù)據(jù)集中出現(xiàn)頻率最高的數(shù)值。它表示數(shù)據(jù)集中最常見(jiàn)的數(shù)值，可以用來(lái)反映數(shù)據(jù)集中最典型的數(shù)值。例如，在一個(gè)班級(jí)中，學(xué)生的成績(jī)分別是80、85、85、90、90、90、95，那么眾數(shù)就是90，因?yàn)?0在數(shù)據(jù)集中出現(xiàn)了3次，是所有數(shù)值中出現(xiàn)次數(shù)最多的。描述數(shù)據(jù)集的離散程度分散程度數(shù)據(jù)點(diǎn)與平均值的距離，即數(shù)據(jù)的集中程度。離散程度數(shù)據(jù)點(diǎn)離散程度的量化指標(biāo)，用于評(píng)估數(shù)據(jù)的波動(dòng)性。數(shù)據(jù)波動(dòng)性數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離平均值的程度，反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和一致性。什么是方差數(shù)據(jù)分散程度反映數(shù)據(jù)圍繞平均值的波動(dòng)程度。離散趨勢(shì)描述數(shù)據(jù)點(diǎn)相對(duì)于平均值的離散程度。數(shù)據(jù)分布衡量數(shù)據(jù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)集中擴(kuò)散的程度。如何計(jì)算方差11.計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差將每個(gè)數(shù)據(jù)減去平均數(shù)，得到每個(gè)數(shù)據(jù)的偏差。22.對(duì)每個(gè)偏差平方將每個(gè)偏差平方，消除正負(fù)影響。33.將所有平方偏差加起來(lái)將所有平方偏差相加，得到總的平方偏差和。44.除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)減一將總的平方偏差和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)減一，得到方差。方差的計(jì)算過(guò)程需要進(jìn)行四步操作，第一步是計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差，第二步是對(duì)每個(gè)偏差平方，第三步是將所有平方偏差加起來(lái)，最后一步是除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)減一。方差的幾何意義11.平均值與數(shù)據(jù)的偏差方差反映數(shù)據(jù)點(diǎn)與平均值的平均距離，表示數(shù)據(jù)的離散程度。22.偏差平方和方差的計(jì)算公式涉及每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與平均值的差的平方和，體現(xiàn)了偏差的累積效應(yīng)。33.離散程度的度量方差越大，數(shù)據(jù)點(diǎn)越分散，反之越集中，為我們提供了一種衡量數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)。方差的性質(zhì)非負(fù)性方差永遠(yuǎn)是非負(fù)的，因?yàn)樗菙?shù)據(jù)點(diǎn)與其平均值之間平方差的平均值。單位一致方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，這通常是數(shù)據(jù)集的原始單位。標(biāo)準(zhǔn)差的定義表示離散程度標(biāo)準(zhǔn)差是衡量一組數(shù)據(jù)與其平均值之間偏差程度的指標(biāo)，它描述了數(shù)據(jù)的分散程度。根號(hào)方差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，用符號(hào)σ表示，其公式為：σ=√(∑(xi-μ)2/n)單位一致標(biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)的單位相同，這使得它更直觀(guān)地表示數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差的含義數(shù)據(jù)分布的離散程度標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)越分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)越集中。比較不同數(shù)據(jù)集的離散程度通過(guò)比較不同數(shù)據(jù)集的標(biāo)準(zhǔn)差，可以判斷哪個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度更大。例如，標(biāo)準(zhǔn)差更大的數(shù)據(jù)集，數(shù)據(jù)分布更廣泛。標(biāo)準(zhǔn)差與正態(tài)分布對(duì)于正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差與正態(tài)分布曲線(xiàn)的形狀密切相關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)差越大，曲線(xiàn)越扁平；標(biāo)準(zhǔn)差越小，曲線(xiàn)越尖銳。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式基于方差。首先計(jì)算樣本的方差，然后求平方根。這個(gè)公式可以用來(lái)計(jì)算任何數(shù)據(jù)集的標(biāo)準(zhǔn)差。1步驟1：計(jì)算樣本均值將所有數(shù)據(jù)值相加，然后除以數(shù)據(jù)值的總數(shù)。2步驟2：計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)值與樣本均值的差3步驟3：將每個(gè)差的平方相加4步驟4：將平方和除以數(shù)據(jù)值的總數(shù)減1這將得出樣本方差。5步驟5：對(duì)樣本方差求平方根這將得出樣本標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算步驟可以總結(jié)為：求樣本均值、計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)值與樣本均值的差、平方和、除以數(shù)據(jù)值總數(shù)減1、求平方根。標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)非負(fù)性標(biāo)準(zhǔn)差始終為非負(fù)值，即大于或等于0。無(wú)量綱性標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同，但沒(méi)有維度。穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)據(jù)的變化較為敏感，當(dāng)數(shù)據(jù)發(fā)生變化時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)相應(yīng)變化。加減性如果將數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)改變。標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)差可用于評(píng)估產(chǎn)品的質(zhì)量波動(dòng)，幫助企業(yè)制定合理的質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)。金融投資標(biāo)準(zhǔn)差可用于評(píng)估投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，幫助投資者做出更明智的投資決策。醫(yī)學(xué)研究標(biāo)準(zhǔn)差可用于評(píng)估實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性，幫助科學(xué)家得出更準(zhǔn)確的結(jié)論。如何選擇合適的測(cè)量集中趨勢(shì)的指標(biāo)數(shù)據(jù)類(lèi)型數(shù)據(jù)類(lèi)型決定了最適合的集中趨勢(shì)指標(biāo)。例如，對(duì)于數(shù)值數(shù)據(jù)，可以使用平均數(shù)；對(duì)于分類(lèi)數(shù)據(jù)，可以使用眾數(shù)。數(shù)據(jù)分布數(shù)據(jù)分布影響了集中趨勢(shì)指標(biāo)的代表性。例如，如果數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布，中位數(shù)可能比平均數(shù)更能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。研究目的研究目的決定了需要關(guān)注的指標(biāo)。例如，如果需要了解數(shù)據(jù)的典型值，可以使用平均數(shù)或中位數(shù)；如果需要了解數(shù)據(jù)集中程度，可以使用眾數(shù)。如何選擇合適的測(cè)量離散程度的指標(biāo)數(shù)據(jù)集中程度數(shù)據(jù)集中程度是指數(shù)據(jù)集中于平均數(shù)周?chē)某潭?。?shù)據(jù)離散程度數(shù)據(jù)離散程度是指數(shù)據(jù)分散于平均數(shù)周?chē)某潭?。方差和?biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差是衡量數(shù)據(jù)離散程度的常用指標(biāo)。實(shí)例分析一假設(shè)一組學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦拢?0，75，80，85，90，95，100計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。通過(guò)分析這些指標(biāo)，我們可以了解這組學(xué)生考試成績(jī)的集中趨勢(shì)和離散程度。實(shí)例分析二某校高三學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為10分，該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的離散程度較大。如果該校學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為5分，那么該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的離散程度較小。標(biāo)準(zhǔn)差可以用來(lái)比較不同組數(shù)據(jù)的離散程度。實(shí)例分析三某班學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績(jī)?nèi)缦拢?8，82，85，89，90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100請(qǐng)計(jì)算該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。小結(jié)11.數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)與離散程度本節(jié)課主要介紹了描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和離散程度的指標(biāo)。集中趨勢(shì)指標(biāo)反映數(shù)據(jù)的中心位置，離散程度指標(biāo)反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度。22.方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差是描述數(shù)據(jù)離散程度的常用指標(biāo)，方差表示數(shù)據(jù)偏離平均值的平均程度，標(biāo)準(zhǔn)差表示數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。33.應(yīng)用場(chǎng)景方差和標(biāo)準(zhǔn)差廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)據(jù)分析中，可以幫助我們更好地理解數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)之間的差異，并做出更準(zhǔn)確的決策。知識(shí)拓展11.標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)推斷、質(zhì)量控制、風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，能幫助人們更好地理解數(shù)據(jù)的離散程度并做出更合理的決策。22.標(biāo)準(zhǔn)差的局限性標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)異常值非常敏感，一個(gè)異常值可能會(huì)顯著影響標(biāo)準(zhǔn)差的大小，從而影響對(duì)數(shù)據(jù)離散程度的評(píng)估。33.其他離散程度指標(biāo)除了標(biāo)準(zhǔn)差，還有其他一些指標(biāo)可以用于衡量數(shù)據(jù)的離散程度，例如四分位差、平均絕對(duì)偏差、最大值與最小值之差等。44.深入學(xué)習(xí)感興趣的同學(xué)可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)分析等相關(guān)知識(shí)，掌握更多關(guān)于數(shù)據(jù)分析的理論和方法。課后思考數(shù)據(jù)分布數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和離散程度是如何體現(xiàn)數(shù)據(jù)分布的？應(yīng)用場(chǎng)景方差和標(biāo)準(zhǔn)差在生活和工作中有哪些應(yīng)用場(chǎng)景？深入理解如何更深入地理解方差和標(biāo)準(zhǔn)差的本質(zhì)？其他指標(biāo)除了方差和標(biāo)準(zhǔn)差，還有哪些指標(biāo)可以用來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度？作業(yè)完成課本練習(xí)題