2023-2024學年陜西省咸陽市高二上學期期末教學質量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省咸陽市2023-2024學年高二上學期期末教學質量檢測數(shù)學試題注意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.數(shù)列…的一個通項公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知a1=1，可排除A、B、D，故選C.2.設數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，數(shù)列的前項和為.故選：C.3.已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，直線與直線的斜率均存在直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為對于A選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應小于0，直線的縱截距應小于0，故A圖象不符合；對于B選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應小于0，故B圖象不符合；對于C選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應大于0，故C圖象不符合；對于D選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應大于0，故D圖象符合．故選：D．4.雙曲線：的右頂點為A，點A到直線距離為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，，且，所以.又，所以，，所以，.故選：C.5.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設兩條異面直線所成角為，且這兩條異面直線的方向向量分別是，，則，且，所以兩條異面直線所成的角，故選：A.6.已知平面的一個法向量，點在平面內，則點到平面的距離為（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題得，所以到平面距離為，故選：C.7.已知半徑為3的圓的圓心與點關于直線對稱，則圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設圓心坐標，由圓心與點關于直線對稱，得到直線與垂直，結合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡得①再由的中點在直線上，，化簡得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標為，所以半徑為3的圓的標準方程為.故選：C8.中國自古就有“橋的國度”之稱，福建省寧德市保留著50多座存世幾十年甚至數(shù)百年的木拱廊橋，堪稱木拱廊橋的寶庫.如圖是某木拱廊橋的剖面圖是拱骨，是相等的步，相鄰的拱步之比分別為,若是公差為的等差數(shù)列，且直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知因為所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選:B二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的有（）A.是遞減數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以，故，則，所以是遞減數(shù)列，故A正確；對于B，當時，，當時，，經檢驗，滿足，所以，故當時，，所以是等比數(shù)列，故B正確；對于C，由選項B知，故C正確；對于D，因為，，所以，故D錯誤.故選：ABC.10.已知三條直線：直線不能圍成一個封閉圖形，則實數(shù)的值可以是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】若中有兩條相互平行，或三條線過同一點都不可以圍成封閉圖形，若，由兩直線平行與斜率之間的關系可得；若，由兩直線平行與斜率之間的關系可得；聯(lián)立可得，可知的交點為，若交于同一點，可得，故選：ABC.11.在空間直角坐標系中，若四點可以構成一個平行四邊形，則的坐標可以為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意得.設的坐標為，若四邊形為平行四邊形，則，則，此時的坐標為.若四邊形為平行四邊形，則，則，，此時的坐標為.若四邊形為平行四邊形，則，則，此時的坐標為，故選：ABC12.新定義：如圖，與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，交于P，Q兩點（Q在P，H之間），我們把點Q稱為關于直線a的“近點”，把的值稱為關于直線a的“秘鑰數(shù)”.根據(jù)新定義解決問題：在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點，點F是坐標平面內一點，以F為圓心，1為半徑作.若與直線l相離，點是關于直線l的“近點”，且關于直線l的“秘鑰數(shù)”是6，則直線l的表達式為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】過圓心作直線l的垂線，垂足為，直線與的交點分別為，其中點是關于直線l的“近點”，1.若直線l與x軸垂直，則，此時，不合題意；2.若直線l不與x軸垂直，設直線，則有：（1）若，則，，符合題意；（2）若，設直線l與x軸的交點為，因為，由，可得，結合（1）可知，分別過作x軸垂線，垂足分別為，可知，，可得，則，即，解得，可知直線l過，，則，解得，所以直線；綜上所述：直線l的表達式為或.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在等差數(shù)列中.若，則______．【答案】52【解析】由于數(shù)列是等差數(shù)列，則，得，所以，故答案是：52.14.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點.若，則______．【答案】4【解析】由拋物線方程，得其焦點坐標為，準線方程為，由拋物線的定義知，點在拋物線上，點到焦點的距離等于其到準線的距離，設點，得：，即，因為垂直軸于點，所以點的橫坐標也為，則.故答案是：.15.當直線被圓截得的弦長最短時，實數(shù)______．【答案】【解析】將直線，化為，令，解得，所以直線過定點，又圓的標準方程為，則圓心為，由，則點在圓內，故當時，圓心到直線的距離取得最大值，此時直線被圓截得的弦長最短，則，解得．故答案為：．16.已知橢圓：的左，右焦點分別為，，為坐標原點，若以為直徑的圓與橢圓在第一象限交于點，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】因為是等邊三角形，所以，又，所以，則是直角三角形，且，又，，則，又P在橢圓上，故，即，所以，即橢圓E的離心率為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知三角形三頂點，求：（1）邊上的高所在的直線方程；（2）邊的中線所在的直線方程.解：（1）邊所在直線的斜率為，邊上的高所在的直線的斜率為2.邊上的高所在的直線方程為，即.（2）易知邊的中點為，則邊的中線過點和.所以邊的中線所在直線方程為，即.18.圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.解：（1）若表示焦點在軸上的橢圓，則，解得（2）若表示焦點在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得19.如圖,在平行六面體中,,.設，，．（1）用基底表示向量，，；（2）證明：平面．解：（1）已知，，，得：，，．（2）設，又，則，且，則，得，即，同理可得，因為，，平面，平面，且，所以平面．20.已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為8.（1）求等差數(shù)列的通項公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前10項和.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則，，由題意得，解得或，所以或.故或；（2）當時，分別為，不成等比數(shù)列；當時，分別為成等比數(shù)列，滿足條件.故，記數(shù)列的前項和為，..故數(shù)列的前10項和為.21.如圖，在直角梯形中，，，.以直線為軸，將直角梯形旋轉得到直角梯形，且.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線和平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（1）將直角梯形繞著旋轉得到直角梯形，故且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因為，，，所以兩兩垂直，故以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，設，則，設，則，設，則，解得，故，當時，此時與重合，直線和平面垂直，不滿足所成角的正弦值為，舍去；當時，設平面的法向量為，則，令，則，故，設直線和平面所成角的正弦值為，則，解得或（舍去），綜上，在線段上是否存在點，使得直線和平面所成角的正弦值為，此時.22.已知拋物線：上任意一點到焦點的距離比到軸的距離大1．（1）求拋物線的方程；（2）直線，滿足，，交于，兩點，交于，兩點．求四邊形面積的最小值．解：（1）拋物線：y2=2pxp>0的焦點為，準線為，由拋物線的性質可得到焦點的距離等于到準線的距離，再由到焦點的距離比到軸的距離大1，可得準線到軸的距離為，即，可得，拋物線的方程為：．（2）由（1）可得焦點F1,0由題意直線，的斜率均存在，且不為0，設直線方程為，Ax1,y1，，聯(lián)立整理得，可得，，由拋物線的性質可得，同理可得，當且僅當，即時，取等號，四邊形面積的最小值為．陜西省咸陽市2023-2024學年高二上學期期末教學質量檢測數(shù)學試題注意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.數(shù)列…的一個通項公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知a1=1，可排除A、B、D，故選C.2.設數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，數(shù)列的前項和為.故選：C.3.已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，直線與直線的斜率均存在直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為對于A選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應小于0，直線的縱截距應小于0，故A圖象不符合；對于B選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應小于0，故B圖象不符合；對于C選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應大于0，故C圖象不符合；對于D選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應大于0，故D圖象符合．故選：D．4.雙曲線：的右頂點為A，點A到直線距離為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，，且，所以.又，所以，，所以，.故選：C.5.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設兩條異面直線所成角為，且這兩條異面直線的方向向量分別是，，則，且，所以兩條異面直線所成的角，故選：A.6.已知平面的一個法向量，點在平面內，則點到平面的距離為（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題得，所以到平面距離為，故選：C.7.已知半徑為3的圓的圓心與點關于直線對稱，則圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設圓心坐標，由圓心與點關于直線對稱，得到直線與垂直，結合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡得①再由的中點在直線上，，化簡得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標為，所以半徑為3的圓的標準方程為.故選：C8.中國自古就有“橋的國度”之稱，福建省寧德市保留著50多座存世幾十年甚至數(shù)百年的木拱廊橋，堪稱木拱廊橋的寶庫.如圖是某木拱廊橋的剖面圖是拱骨，是相等的步，相鄰的拱步之比分別為,若是公差為的等差數(shù)列，且直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知因為所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選:B二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的有（）A.是遞減數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以，故，則，所以是遞減數(shù)列，故A正確；對于B，當時，，當時，，經檢驗，滿足，所以，故當時，，所以是等比數(shù)列，故B正確；對于C，由選項B知，故C正確；對于D，因為，，所以，故D錯誤.故選：ABC.10.已知三條直線：直線不能圍成一個封閉圖形，則實數(shù)的值可以是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】若中有兩條相互平行，或三條線過同一點都不可以圍成封閉圖形，若，由兩直線平行與斜率之間的關系可得；若，由兩直線平行與斜率之間的關系可得；聯(lián)立可得，可知的交點為，若交于同一點，可得，故選：ABC.11.在空間直角坐標系中，若四點可以構成一個平行四邊形，則的坐標可以為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意得.設的坐標為，若四邊形為平行四邊形，則，則，此時的坐標為.若四邊形為平行四邊形，則，則，，此時的坐標為.若四邊形為平行四邊形，則，則，此時的坐標為，故選：ABC12.新定義：如圖，與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，交于P，Q兩點（Q在P，H之間），我們把點Q稱為關于直線a的“近點”，把的值稱為關于直線a的“秘鑰數(shù)”.根據(jù)新定義解決問題：在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點，點F是坐標平面內一點，以F為圓心，1為半徑作.若與直線l相離，點是關于直線l的“近點”，且關于直線l的“秘鑰數(shù)”是6，則直線l的表達式為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】過圓心作直線l的垂線，垂足為，直線與的交點分別為，其中點是關于直線l的“近點”，1.若直線l與x軸垂直，則，此時，不合題意；2.若直線l不與x軸垂直，設直線，則有：（1）若，則，，符合題意；（2）若，設直線l與x軸的交點為，因為，由，可得，結合（1）可知，分別過作x軸垂線，垂足分別為，可知，，可得，則，即，解得，可知直線l過，，則，解得，所以直線；綜上所述：直線l的表達式為或.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在等差數(shù)列中.若，則______．【答案】52【解析】由于數(shù)列是等差數(shù)列，則，得，所以，故答案是：52.14.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點.若，則______．【答案】4【解析】由拋物線方程，得其焦點坐標為，準線方程為，由拋物線的定義知，點在拋物線上，點到焦點的距離等于其到準線的距離，設點，得：，即，因為垂直軸于點，所以點的橫坐標也為，則.故答案是：.15.當直線被圓截得的弦長最短時，實數(shù)______．【答案】【解析】將直線，化為，令，解得，所以直線過定點，又圓的標準方程為，則圓心為，由，則點在圓內，故當時，圓心到直線的距離取得最大值，此時直線被圓截得的弦長最短，則，解得．故答案為：．16.已知橢圓：的左，右焦點分別為，，為坐標原點，若以為直徑的圓與橢圓在第一象限交于點，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】因為是等邊三角形，所以，又，所以，則是直角三角形，且，又，，則，又P在橢圓上，故，即，所以，即橢圓E的離心率為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知三角形三頂點，求：（1）邊上的高所在的直線方程；（2）邊的中線所在的直線方程.解：（1）邊所在直線的斜率為，邊上的高所在的直線的斜率為2.邊上的高所在的直線方程為，即.（2）易知邊的中點為，則邊的中線過點和.所以邊的中線所在直線方程為，即.18.圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.解：（1）若表示焦點在軸上的橢圓，則，解得（2）若表示焦點在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得19.如圖,在平行六面體中,,.設，，．（1）用基底表示向量，，；（2）證明：平面．解：（1）已知，