奧數(shù)：和差問題教案

第四講和差問題

教學(xué)目標(biāo)：

1:學(xué)會(huì)運(yùn)用畫圖線的方法表示倍關(guān)系中兩個(gè)量，以更方便的找到解題的思路。

2：更熟練掌握解答差倍問題的方法，理解差倍問題中各個(gè)量之間的關(guān)系。

教學(xué)重點(diǎn)：更加熟練的運(yùn)用畫圖線方法，更準(zhǔn)確分析各量之間的關(guān)系。

教學(xué)難點(diǎn)：能夠更好的理解差倍應(yīng)用題中各倍數(shù)和差倍數(shù)的量的關(guān)系。

教學(xué)過程：

和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了

兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來(lái)，我們管暗藏的差叫“暗差”。

例1：兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？

分析與解答：我們可以這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重150+8=158

（千克）；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重150-8=142（千克）.

解法1：①第二筐重多少千克？

（150-8）4-2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

71+8=79（千克）

或150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）4-2=79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

1T學(xué)校有排球、籃球共62個(gè)，排球比籃球多12個(gè)，排球、籃球各是多少個(gè)？

1-2甲、乙兩人的年齡和是35歲，甲比乙小5歲，甲、乙各多少歲？

例2：今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？

分析與解答：題中沒有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩

人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年

齡和為58歲時(shí)他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。

解：①爸爸的年齡：[58+（35-7）]4-2

=[58+28]4-2

=864-2

=43（歲）

②小強(qiáng)的年齡：

58-43=15（歲）

答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時(shí)，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。

2-1今年小剛和小強(qiáng)兩人年齡和為22歲，一年前，小剛比小強(qiáng)大四歲，今年小剛和小強(qiáng)各

是多少歲？

例3：小明期末考試時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多8分，問語(yǔ)文和數(shù)

學(xué)各得了幾分？

分析與解答：解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語(yǔ)文成績(jī)之差是8分，

但是數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)之和沒有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績(jī)是94分，

這就可以求得這兩科的總成績(jī).

解：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)之和是多少分？

94X2=188（分）

②數(shù)學(xué)得多少分？

（188+8）+2=196+2=98（分）

③語(yǔ)文得多少分？

（188-8）4-2=1804-2=90（分）

或98-8=90（分）

答：小明期末考試語(yǔ)文得90分，數(shù)學(xué)得98分.

3T小敏與媽媽今年的平均年齡為20歲，三年后，媽媽比小敏大28歲，今年媽媽和小敏各

是多少歲？

4-1：甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共有236人，從甲工程隊(duì)調(diào)14人到乙工程隊(duì)，則兩隊(duì)的工人數(shù)正好相

等，甲、乙工程隊(duì)原有人數(shù)各是多少？

4-2甲、乙兩人共有150元錢，如果甲增加13元，而乙減少27元，那么兩人的錢數(shù)就相等,

甲、乙兩人各有多少元錢？

例5：小麗、小馬和小磊三人共有課外書55本。小麗比小馬多4本，小馬又比小磊多6本,

三人各有多少本？

5T三塊布共長(zhǎng)220米，第二塊布長(zhǎng)是第一塊的3倍，第三塊布長(zhǎng)是第二塊布長(zhǎng)的2倍，三

塊布各長(zhǎng)多少米？

5-2甲、乙、丙三名工人一共生產(chǎn)零件420個(gè)，甲比乙多生產(chǎn)10個(gè)，乙比丙少生產(chǎn)17個(gè)，

甲、乙、丙三人各生產(chǎn)零件多少個(gè)？

例6：在每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號(hào)使算式成立。

123456789=5

分析與解答：這樣想：從1至9這幾個(gè)數(shù)字相加是不會(huì)得到5的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加

再減去一部分字后差是5,也就是說1到9的和是45,而兩部分的差是5,先要求出這兩部

分?jǐn)?shù)字利用和差問題的方法便可以求出。

（45-5）4-2=20,20+5=25

可求出其中幾個(gè)數(shù)的和是25,而另外幾個(gè)數(shù)的和是20.在組成和是25的幾個(gè)數(shù)前面添

上“+”號(hào)，而在組成和是20的幾個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)，此題就算出來(lái)了。

例如：5+6+9=20可得到。

1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

又如：5+7+8=20可得到。

1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

又如：3+4+6+7=20可得到。

1+2-3-4+5-6-7+8+9=5

同學(xué)們，這道題你還有其他解法嗎？試試看！

練習(xí)：

1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？

2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問

甲、乙兩桶原有多少油？

3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？

4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬(wàn)元，今年比去年多10萬(wàn)元，今年與去年的產(chǎn)值各

是多少萬(wàn)元？

和差問題

和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了

兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來(lái)，我們管暗藏的差叫“暗差”。

例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說明姐姐的鉛

筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。

再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如果認(rèn)為姐姐的鉛筆

比弟弟多3支（差是3）,那就錯(cuò)了.實(shí)際上姐姐比弟弟多2個(gè)3支.姐姐給弟弟3支后，自

己留下3支，再加上他們?cè)械你U筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里3X2=6支，就

是暗差。

“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多3

義2+1=7（支）。

例1兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？

分析這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重150+8=158（千克）；假

設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重150-8=142（千克）.

解法1：①第二筐重多少千克？

（150-8）4-2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

71+8=79（千克）

或150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）4-2=79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？

分析題中沒有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的

年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和

為58歲時(shí)他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。

解：①爸爸的年齡：

[58+（35-7）]4-2

=[58+28]4-2

=864-2

=43（歲）

②小強(qiáng)的年齡：

58-43=15（歲）

答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時(shí)，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。

例3小明期末考試時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多8分，問語(yǔ)文和數(shù)學(xué)各

得了幾分？

分析解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語(yǔ)文成績(jī)之差是8分，但是

數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)之和沒有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績(jī)是94分，這就

可以求得這兩科的總成績(jī).

解：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)之和是多少分？

94X2=188（分）

②數(shù)學(xué)得多少分？

（188+8）+2=196+2=98（分）

③語(yǔ)文得多少分？

（188-8）4-2=1804-2=90（分）

或98-8=90（分）

答：小明期末考試語(yǔ)文得90分，數(shù)學(xué)得98分.

例4甲乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣

甲校學(xué)生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來(lái)各有學(xué)生多少人？

分析這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲

校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多32X2+48=112（人）.112是兩校人數(shù)差。

解：①乙校原有的學(xué)生：

（864-32X2-48）4-2=376（人）

②甲校原有學(xué)生：

864-376=488（人）

答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。

小結(jié)：從以上4個(gè)例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一

致的.和差問題的一般解題規(guī)律是：

（和+差）+2=較大數(shù)較大數(shù)-差=較小數(shù)

或（和-差）+2=較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù)

也可以求出一個(gè)數(shù)后，用和減去這個(gè)數(shù)得到另一個(gè)數(shù).

下面我們用和差問題的思路來(lái)解答一個(gè)數(shù)學(xué)問題。

例5在每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號(hào)使算式成立。

123456789=5

分析這樣想：從1至9這幾個(gè)數(shù)字相加是不會(huì)得到5的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加再減

去一部分字后差是5,也就是說1到9的和是45,而兩部分的差是5,先要求出這兩部分?jǐn)?shù)

字，利用和差問題的方法便可以求出。

（45-5）+2=20,20+5=25

可求出其中幾個(gè)數(shù)的和是25,而另外幾個(gè)數(shù)的和是20.在組成和是25的幾個(gè)數(shù)前面添

上“+”號(hào)，而在組成和是20的幾個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)，此題就算出來(lái)了。

例如：5+6+9=20可得到。

1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

又如：5+7+8=20可得到。

1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

又如：3+4+6+7=20可得到。

1+2-3-4+5-6-7+8+9=5

同學(xué)們，這道題你還有其他解法嗎？試試看！

課后作業(yè)

1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？

2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等,

問甲、乙兩桶原有多少油？

3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？

4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬(wàn)元，今年比去年多10萬(wàn)元，今年與去年的產(chǎn)值

各是多少萬(wàn)元？

5.甲、乙兩個(gè)學(xué)校共有學(xué)生1245人，如果從甲校調(diào)20人去乙校后，甲校比乙校還多5

人，兩校原有學(xué)生各多少人？

6.三個(gè)物體平均重量是31千克，甲物體比乙、丙兩個(gè)物體重量之和輕1千克，乙物體

比丙物體重量的2倍還重2千克，三個(gè)物體各重多少千克？

7.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共有1980人，甲隊(duì)為了支援乙隊(duì)，抽出285人加入乙隊(duì)，這時(shí)乙

隊(duì)人數(shù)還比甲隊(duì)少24人，求甲、乙兩隊(duì)原有工人多少人？

8.四年級(jí)有3個(gè)班，如果把甲班的1名學(xué)生調(diào)整到乙班，兩班人數(shù)相等；如果把乙班1

名學(xué)生調(diào)到丙班，丙班比乙班多2人，問甲班和丙班哪班人數(shù)多？多幾人？

課后作業(yè)答案

1.桃樹的棵樹：（150+20）4-2=85（棵）梨樹的棵樹：150-85=65（棵）

答：有桃樹85棵，梨樹65棵。

2.甲桶油重：（30+6X2）4-2=21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）

答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。

3.錫的重量：（500T00）4-2=200（千克）鋁的重量：500-200=300（千克）

答：錫重量是300千克，鋁的重量是200千克。

4.今年的產(chǎn)值：（96X2+10）4-2=101（萬(wàn)元）去年的產(chǎn)值：101T0=91（萬(wàn)元）

答：今年的產(chǎn)值是101萬(wàn)元，去年的產(chǎn)值是91萬(wàn)元。

5.乙校原有人數(shù)：

[1245-（20X2+5）]+2=600（人）

甲校原有人數(shù)：1245-600=645（人）

答：甲校原有學(xué)生645人，乙校原有學(xué)生600人。

6.三個(gè)物體的總重量：31X3=93（千克）

甲物體的重量：（93-1）4-2=46（千克）

丙物體的重量：（93-46-2）4-（2+1）=15（千克）

乙物體的重量：93-46-15=32（千克）

答：甲、乙、丙三個(gè)物體的重量分別為46千克、32千克、15千克。

7.甲隊(duì)原有人數(shù)：

（285X2+24+1980）4-2=1287（人）

乙隊(duì)原有人數(shù)：1287-594=693（人）

答：甲隊(duì)原有1287人，乙隊(duì)原有693人。

8.解（略），答：甲班比丙班人數(shù)多，多2名學(xué)生.

第八講差倍問題

前面講了應(yīng)用線段圖分析“和倍”應(yīng)用題，這種方法使分析的問題具體、形象，使我

們能比較順利地解答此類應(yīng)用題.下面我們?cè)賮?lái)研究與“和倍”問題有相似之處的“差倍”

應(yīng)用題?！安畋秵栴}”就是已知兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。

差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到1倍量，再畫圖確定解題方法.

被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對(duì)應(yīng)，相除后得到的結(jié)果是一倍量,然后求出另一個(gè)數(shù),

最后再寫出驗(yàn)算和答題。

例1甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖

書多少本？

分析上圖把乙班的圖書本數(shù)看作1倍，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，那么甲班的圖書

本數(shù)比乙班多2倍.又知“甲班圖書比乙班多80本”，即2倍與80本相對(duì)應(yīng)，可以理解為2

是80本，這樣可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、班各有圖書多少本。

解：①乙班的本數(shù)：804-（3-1）=40（本）

②甲班的本數(shù)：40X3=120（本）

或40+80=120（本）。

驗(yàn)算：120-40=80（本）

1204-40=3（倍）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

例2菜站運(yùn)來(lái)的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬

菜的重量相等，菜站運(yùn)來(lái)的白菜和蘿卜各是多少千克？

分析這樣想：根據(jù)“菜站運(yùn)來(lái)的白萊是蘿卜的3倍”應(yīng)把運(yùn)來(lái)的蘿卜的重量看作1倍;

“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說明運(yùn)來(lái)的白菜

比蘿卜多1800-300=1500（千克）.從上圖中清楚地看到這個(gè)重量相當(dāng)于蘿卜重量的3T=2

（倍），這樣就可以先求出運(yùn)來(lái)的蘿卜是多少千克，再求運(yùn)來(lái)的白菜是多少千克。

解：①運(yùn)來(lái)蘿卜：（1800-300）+（3-1）=750（千克）

②運(yùn)來(lái)白菜：750X3=2250（千克）

驗(yàn)算：

2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）

750-300=450（千克）（蘿卜剩下部分）

答：菜站運(yùn)來(lái)白菜2250千克，蘿卜750千克。

例3有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長(zhǎng)度是第一

根長(zhǎng)的3倍，兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)多少米？

分析上圖，兩根繩子原來(lái)的長(zhǎng)度一樣長(zhǎng)，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14

米后，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍.應(yīng)該把變化后的第一根長(zhǎng)度看作1倍，而12+14=26

（米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長(zhǎng)度的2倍.所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長(zhǎng)

度可以求出來(lái)了，那么第一根、第二根原有長(zhǎng)度也就可以求出來(lái)了。

解：①第一根截去12米剩下的長(zhǎng)度：

（12+14）4-（3-1）=13（米）

②兩根繩子原來(lái)的長(zhǎng)度：13+12=25（米）

答：兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)25米。

自己進(jìn)行驗(yàn)算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無(wú)其

他方法求兩根繩子原來(lái)各有多長(zhǎng).

小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個(gè)數(shù)量的差與兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)的差的對(duì)應(yīng)關(guān)系.用除法

求出1倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。

解題規(guī)律：

差+倍數(shù)的差=1倍數(shù)（較小數(shù)）

1倍數(shù)X幾倍=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）

或：較小的數(shù)+差=較大的數(shù)。

例4三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣豕后來(lái)，三（1）班又買來(lái)新書74本，三（2）

班從本班原書中拿出96本送給一年級(jí)小同學(xué)，這時(shí)，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，

求兩班原有圖書各多少本？

例4三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣豕后來(lái)，三（1）班又買來(lái)新書74本，三（2）

班從本班原書中拿出96本送給一年級(jí)小同學(xué)，這時(shí)，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，

求兩班原有圖書各多少本？

分析兩個(gè)班原有圖書一樣豕后來(lái)三（1）班又買新書74本，即增加了74本；三（2）班

從本班原有圖書中取出96本送給一年級(jí)同學(xué)，則圖書減少了96本.結(jié)果是一個(gè)班增加，另

一個(gè)班減少，這樣兩個(gè)班圖書就相差96+74=170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了

170本圖書.又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班圖書的3倍，可見這170本圖書就相當(dāng)于

三（2）班所剩圖書的3-1=2倍，三（2）班所剩圖書本數(shù)就可以求出來(lái)了，隨之原有圖書本

數(shù)也就求出來(lái)了（見上圖）。

解：①后來(lái)三（1）班比三（2）班圖書多多少本？

74+96=170（本）

②三（2）班剩下的圖書是多少本？

1704-（3-1）=85（本）

③三（2）班原有圖書多少本？

85+96=181（本）（兩個(gè)班原有圖書一樣多）

綜合算式：

（74+96）4-（3-1）+96

=170+2+96

=85+96

=181（本）

驗(yàn)算：181+74=255（本）

181-96=85（本）

2554-85=3（倍）

答：兩班原來(lái)各有圖書181本。

例5兩塊同樣長(zhǎng)的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍,

求每塊花布原有多少米？

分析已知兩塊花布同樣長(zhǎng)，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，

第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12（米）.又知第二塊所剩下的布是第

一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當(dāng)于所剩布的（4-1）倍，這樣，第一

塊所剩布的長(zhǎng)度即可求出（見上圖）。

解：①第二塊布比第一塊布多剩多少米？

31-19=12（米）

②第一塊布剩下多少米？

124-（4-1）=4（米）

③第一塊布原有多少米？

4+31=35（米）（兩塊布原有長(zhǎng)度相等）

綜合列式：

（31-19）4-（4-1）+31

=124-3+31

=4+31

=35（米）

驗(yàn)算：35-31=4（米）

35-19=16（米）

164-4=4（倍）

答：每塊布原有35米長(zhǎng)。

習(xí)題八

1.一只大象的體重比一頭牛重4500千克，又知大象的重量是一頭牛的10倍，一只大象和

一頭牛的重量各是多少千克？

2.果園里的桃樹比杏樹多90棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？

3.有兩塊布，第一塊長(zhǎng)74米，第二塊長(zhǎng)50米，兩塊布各剪去同樣長(zhǎng)的一塊布后，剩下的第

一塊米數(shù)是第二塊的3倍，問每塊布各剪去多少米？

4.甲、乙兩校教師的人數(shù)相等，由于工作需要，從甲校調(diào)30人到乙校去，這時(shí)乙校教師人

數(shù)正好是甲校教師人數(shù)的3倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？

5.兩筐重量相同的蘋果，從甲筐取出7千克，乙筐加入19千克，這時(shí)乙筐是甲筐蘋果的3

倍，問兩筐原有蘋果多少千克？

6.甲、乙兩個(gè)數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)了.如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，

兩個(gè)數(shù)各是多少？

7.有兩塊同樣長(zhǎng)的布，第一塊賣出25米，第二塊賣出14米，剩下的布第二塊是第一塊的2

倍，求每塊布原有多少米？

奧數(shù)中的“年齡問題”

年齡問題的三大規(guī)律:

1.兩人的年齡差是不變的；

2.兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量；

3.隨著時(shí)間的推移，兩人的年齡都是增加相等的量.

年齡問題的類型：

⑴轉(zhuǎn)化為和差問題的年齡問題；⑵轉(zhuǎn)化為和倍問題的年齡問題；⑶轉(zhuǎn)化為差倍問題

的年齡問題.

有關(guān)年齡問題的例題解析

在一些數(shù)學(xué)問題中要討論年齡的變化和幾個(gè)人的年齡的關(guān)系，我們知道隨著時(shí)間的往后或往

前推移，人的年齡就會(huì)增加或減少，如果有幾個(gè)人，時(shí)間往后推移，幾個(gè)人年齡的和隨著年

數(shù)增加而增加年數(shù)的幾（按人數(shù)）倍，但這幾個(gè)人年齡間的差卻是不變的。在解答有關(guān)年齡

變化的問題時(shí)這是必須牢記的。

例1：小華今年12歲，他媽媽今年48歲，多少年以前媽媽的年齡是小華的5倍？多少

年以后媽媽的年齡是小華的3倍？

解：首先，不管是今年或今年前、今年后的若干年，小華和他媽媽年齡的差都是相同的，

媽媽的年齡比小華大48-12=36（歲）。

當(dāng)媽媽的年齡是小華的5倍時(shí)，把那時(shí)小華的年齡作為1份，媽媽的年齡是這樣的5

份，比小華多5—1=4（份），所以那時(shí)小華是：364-4=9（歲），是在今年前12—9=3（年）。

當(dāng)媽媽的年齡是小華的3倍時(shí)，把那時(shí)小華的年齡作為1份，媽媽的年齡是這樣的3

份，比小華3—1=2（份），所以那時(shí)小華是：364-2=18（歲），是在今年后18—12=6（年）。

答：3年以前，媽媽的年齡是小華的5倍，6年以后，媽媽的年齡是小華的3倍。

例2：小芬家由小芬和她的父母組成，小芬的父親比母親大4歲，今年全家年齡的和是

72歲，10年前這一家全家年齡的和是44歲。今年三人各是多少歲？

解：一家人年齡的和今年與10年前比較增加了72—44=28（歲），而如果按照三人計(jì)算

10年后應(yīng)增加3X10=30（歲），只能是小芬少了2歲，即小芬8年前出生，今年是8歲，今

年父親是（72—8+4）4-2=34（歲），今年母親是34—4=30（歲）。

答：今年父親34歲，母親30歲，小芬8歲。

例3：父親今年38歲，母親今年36歲，兒子今年11歲，多少年后，父母親的年齡之

和是兒子的年齡的4倍？

解：今年父母年齡之和為38+36=74（歲），兒子年齡的4倍是44歲，今年父母年齡之

和比兒子年齡的4倍多74—44=30（歲），而每過一年父母年齡增加2歲，過一年兒子年齡

增加數(shù)的4倍為4歲，就是說每過一年父母年齡的增加比兒子年齡增加數(shù)的4倍少4-2=2

（歲），當(dāng)父母年齡之和為兒子年齡的4倍時(shí)，要過30+2=15（年）。

答：15年后，父母親的年齡之和是兒子的年齡的4倍。

例4：今年張老師的年齡是小華年齡的5倍，過8年，張老師的年齡是小華年齡的3倍,

小華今年多少歲？

解：今年張老師的年齡是小華年齡的5倍，是把今年小華年齡的作為1份，今年張老師

的年齡是這樣的5份，張老師今年的年齡比小華多5—1=4（份），過8年，張老師的年齡是

小華年齡的3倍，是把那時(shí)小華的年齡作為1份，張老師那時(shí)的年齡是這樣的3份，張老師

那時(shí)的年齡比小華多3—1=2（份）。今年和過8年后張老師與小華年齡差的歲數(shù)是相同的，

因此過8年的1份是今年的4+2=2（份），那么，今年的1份的歲數(shù)是8+（2—1）=8（歲）,

就是今年小華8歲。

答：今年小華8歲。

例5：今年大華20歲，大明18歲，小芬12歲，小玲8歲，多少年后大華、大明的年

齡的和的2倍等于小芬、小玲年齡的和的3倍？

解：今年大華、大明年齡的和的2倍是（20+18）X2=76（歲），小芬、小玲年齡的和

的3倍是（12+8）X3=60（歲），大華、大明年齡的和的2倍比小芬、小玲年齡的和的3

倍多76—60=16（歲），而每過一年，大華、大明增加年齡的和的2倍比小芬、小玲增加年

齡的和的3倍少2X3—2X2=2（歲），使大華、大明年齡的和的2倍等于小芬、小玲年齡的

和的3倍，過的年數(shù)是16+2=8（年）。

答：8年后大華、大明的年齡的和的2倍等于小芬、小玲年齡的和的3倍。

*例6：小云問劉老師今年多少歲。劉老師說：“當(dāng)我像你這么大的時(shí)候，你只有3歲，

當(dāng)你像我這么大的時(shí)候，我已經(jīng)39歲了。”劉老師今年多少歲？

解：把小云和劉老師年齡的變化情況畫成下面的線段圖：

劉老師比小云大的歲數(shù)用1個(gè)“一”所指的線段表示，當(dāng)劉老師的年齡往回推移到小云

今年的年齡時(shí)，推移了這樣的一段，小云的年齡也同樣往回推移這樣的一段，這樣小云只有

3歲；當(dāng)小云的年齡往后推移這樣一段到劉老師今年的年齡時(shí)，劉老師的年齡也往后推移這

樣的一段，這樣，劉老師就有39歲。從圖中看到39歲比3歲多了3個(gè)這樣的一段，每段（就

是兩人的年齡差）是（39—3）4-3=12（歲），劉老師今年的年齡是39—12=27（歲）。

答：劉老師今年27歲。

學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)奧數(shù)專題（應(yīng)用題）

1、三年級(jí)應(yīng)用題問題：年齡問題

難度：高難度

（-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\

甲對(duì)乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)的時(shí)候，你才5歲乙對(duì)甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)

是你現(xiàn)在的歲數(shù)的時(shí)候，你將50歲.”問：甲、乙二人現(xiàn)在各多少歲？

》、二年級(jí)正用題IF題：牛將I可題

難度：高難度

甲現(xiàn)在的年齡是乙過去某一時(shí)刻年齡的2倍，那時(shí)甲正好是乙現(xiàn)在這樣大，當(dāng)乙到了甲

現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲與乙年齡之和為63,那么現(xiàn)在甲、乙年齡分別是多少歲？

3、三年級(jí)應(yīng)用題問題：年齡問題

難度：高難度

己知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和

4、為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人個(gè)多少歲？

—度：局難度

三名男青年王強(qiáng)、張勝、李明和三名女青年芳芳、麗麗、蓉蓉這六個(gè)人中三對(duì)兄妹，哥

哥比妹妹都大5歲，王強(qiáng)比芳芳大1歲，王強(qiáng)與麗麗的年齡和為48歲，張勝與麗麗的

年齡和為52,他們六人中各對(duì)兄弟妹分別是誰(shuí)和誰(shuí)？（只寫出答案，不列式）

V）

答：

5、三年級(jí)應(yīng)用題問題：年齡問題

難度：高難度

今年姐姐13歲，弟弟今年10歲，當(dāng)姐弟年齡之和達(dá)101歲時(shí)，姐弟各是多少歲？

答：

星海學(xué)校3L個(gè)性化數(shù)學(xué)輔導(dǎo)

年齡問題

學(xué)生：江雨露教師：許老師

指點(diǎn)迷津

年齡問題的一個(gè)重要關(guān)鍵之處是：兩人的年齡差不變。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以將年齡問

題轉(zhuǎn)化為“和差”“和倍”“差倍”等問題來(lái)解答。

經(jīng)典例題①

哥哥今年15歲，弟弟今年10歲。當(dāng)兩人的年齡和是51歲時(shí)，兩人各應(yīng)該是多少歲？

【解析】哥哥和弟弟的年齡差是15-10=5（歲），隨著時(shí)間推移，兩人的年齡差仍為5歲。這

樣原題就轉(zhuǎn)化為“已知哥哥和弟弟的年齡和是51歲，年齡差是5歲，求哥哥和弟弟各是多

少歲？”這是一個(gè)和差問題，根據(jù)和差問題的計(jì)算公式，我們很容易得知哥哥和弟弟的年

齡。

15-10=5（歲）哥哥：（51+5）4-2=28（歲）

弟弟:（51-5）4-2=23（歲）。

變式訓(xùn)練金

（1）姐姐幾年10歲，妹妹今年6歲。試問當(dāng)兩人的年齡和是36歲時(shí)，兩人各應(yīng)該多少歲？

（2）爸爸和媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲,5年后爸爸比媽媽大6歲。今年爸爸和媽媽各多少歲?

經(jīng)典例題②

云云2歲時(shí)，媽媽27歲，今年媽媽的年齡正好是云云的6倍，媽媽今年多少歲？

【解析】無(wú)論哪一年，媽媽和云云的年齡差總是不變的，即27-2=25（歲）。根據(jù)“今年媽

媽的年齡正好是云云的6倍”，把今年云云的年齡看作1份，媽媽的年齡就是6份，媽媽與

云云的年齡差就是6-1=5（:份），所以，今年云云是25+5=5（歲），媽媽是5X6=30（歲）。

變式訓(xùn)練咨

（1）小紅5歲時(shí)，奶奶55歲，今年奶奶的年齡正好是小紅的6倍，奶奶今年多少歲？

（2）弟弟5歲時(shí)，哥哥13歲，今年哥哥的年齡正好比弟弟大1倍，哥哥今年多少歲？

經(jīng)典例題③

今年云兒的媽媽比云兒大32歲，3年后云兒媽媽的年齡又正好是云兒年齡的3倍。云

兒今年多少歲？

【解析】根據(jù)題意可知云兒與媽媽的年齡差是32歲，3年后，媽媽年齡比云兒大5T=4（歲）

所以云兒今年：324-（5-1）-3=5（歲）

變式訓(xùn)練③

（1）今年爸爸的年齡比兒子大36歲，3年后，爸爸的年齡正好是兒子的5倍，兒子今年多少

歲？

（2）今年爸爸比小蘭大27歲，3年后，爸爸的年齡正好是小蘭的4倍。小蘭今年多少歲？

經(jīng)典例題⑥

曉輝5年前的年齡等于萌萌7年后的年齡，曉輝4年后的年齡與萌萌3年前的年齡和

是45歲，問曉輝和萌萌今年各多少歲？

【解析】由“曉輝5年前的年齡等于萌萌7年后的年齡”可知曉輝比萌萌大5+7=12（歲）,

今年他的年齡是45+3-4=44（歲），根據(jù)和差問題的計(jì)算公式，可知，曉輝今年：（44+12）

4-2=28（歲）,萌萌今年28-12=16（歲）。

變式訓(xùn)練令

（1）安安4年前的年齡等于明明3年后的年齡，安安6年后與明明7年前的年齡和是28歲,

安安和明明今年各多少歲？

（2）小紅14年后的年齡等于媽媽12年前的年齡，小紅18年后與媽媽8年前的年齡和是50

歲。小紅和媽媽今年各多少歲？

經(jīng)典例題⑤

今年媽媽和女兒的年齡和是66歲，媽媽的年齡比女兒的3倍小10歲，那么多少年前

媽媽的年齡為女兒的5倍？

【解析】根據(jù)題意可知這是一個(gè)和倍問題，可以求出母女今年的年齡。

女兒今年的年齡是：（66+10）+（3+1）=764-4=19（歲）

媽媽今年的年齡是：19X3-10=47（歲）

無(wú)論到哪一年母女的年齡差都是不變的，即47-19=28（歲）

當(dāng)媽媽的年齡是女兒的5倍時(shí)，女兒的年齡為：（47-19）+（5-1）=7（歲）

19-7=12（年）即12年前媽媽的年齡為女兒的5倍。

變式訓(xùn)練壹

（1）爸爸和兒子今年的年齡和是37歲，爸爸的年齡比兒子的6倍多2歲，那么多少年后,

爸爸的年齡是兒子的4倍？

（2）小明和小蘭今年的年齡和是18歲，小明的年齡比小蘭的3倍少2歲，那么多少年前,

小明的年齡是小蘭的9倍？

經(jīng)典例題⑥

4年前媽媽的年齡是小華的4倍，小華今年11歲，媽媽今年多少歲？

【解析】小華今年11歲，四年前小華的年齡應(yīng)該是11-4=7（歲），那么媽媽4年前的年齡

是7X4=28（歲），再經(jīng)過四年媽媽的年齡應(yīng)該再加4歲，即28+4=32（歲）。

變式訓(xùn)練6

（1）5年前小蘭的年齡是小明的3倍，小明今年10歲，小蘭今年多少歲？

（2）4年前哥哥的年齡是弟弟的2倍，弟弟今年14歲，哥哥今年多少歲？

經(jīng)典例題G

小明今年3歲，父親今年27歲,幾年后父親的年齡正好是小明的4倍?

【解析】父親與小明的年齡差是27-3=24（歲），這是一個(gè)不變的量，當(dāng)父親的年齡是小明

的4倍，小明的年齡是24+（4-1）=8（歲），8-3=5（年）。

變式訓(xùn)練⑥

（1）歡歡今年18歲，迎迎今年2歲，幾年后歡歡的年齡正好是迎迎的5倍？

（2）哥哥今年16歲，弟弟今年12歲，幾年前哥哥的年齡剛好是弟弟的3倍?

經(jīng)典例題妙

父親今年35歲，兒子今年13歲，幾年后父親和兒子的年齡和是62歲？

【解析】父親和兒子的年齡差是不變的量，即35-13=22（歲），當(dāng)父親與兒子年齡和為62

歲時(shí)，兒子的年齡是（62-22）+2=20（歲），20-13=7（年）。

小學(xué)奧數(shù)《年齡問題》練習(xí)題及答案（上）

一、填空題

1.甲、乙兩人的年齡和是33歲，甲比乙大3歲，那么甲歲，乙歲.

2.父親今年47歲，兒子21歲,年前父親的年齡是兒子年齡的3倍.

3.今年叔叔21歲，小強(qiáng)5歲,年后叔叔的年齡是小強(qiáng)的3倍.

4.小明今年9歲，媽媽今年39歲，再過年媽媽年齡正好是小明年齡的3倍.

5.明明比爸爸小28歲，爸爸今年的年齡是明明年齡的5倍,明明今年歲，爸爸今年

歲.

6.爸爸比小強(qiáng)大30歲，明年爸爸的年齡是小強(qiáng)的3倍,今年小強(qiáng)歲.

7.父親比兒子大27歲,4年后父親的年齡是兒子的4倍,那么兒子今年

______歲.

8.現(xiàn)在母女年齡和是48歲，3年后母親年齡是女兒年齡的5倍,那么母親今年歲，

女兒今年歲.

9.叔叔比紅紅大19歲，叔叔的年齡比紅紅的年齡的3倍多1歲，叔叔歲，紅紅

歲.

10.弟弟今年8歲，哥哥今年14歲，當(dāng)二人年齡之和是50歲時(shí)，弟弟歲，哥哥

歲.

二、解答題

11.小剛4年前的年齡與小明7年后的年齡之和是39歲，小剛5年后的年齡等于小明3

前的年齡,求小剛、小明今年的年齡是多少？

12.哥哥5年前的年齡等于7年后弟弟的年齡,哥哥4年后的年齡與弟弟3年前的年齡

和是35歲，求兄弟二人今年的年齡？

13.10年前父親的年齡是兒子年齡的7倍,15年后父親的年齡是他兒子的2倍，問今年

父子二人各多少歲？

14.今年小剛的年齡是明明年齡的5倍,25年后，小剛的年齡比明明的年齡的2倍少16

歲，今年小剛、明明各多少歲？

-------------------------------答案----------------------------------------------

一、填空題

1.從年齡和中減去3歲就是2個(gè)乙的年齡.

乙的年齡：（33-3）+2=15（歲）

甲的年齡：15+3=18（歲）

2.父親與兒子的年齡差是（47-21）歲，幾年前兩人的倍數(shù)差為（3T）倍,可求出兒子幾年前

的年齡.

兒子幾年前年齡：（47-21）+2=13（歲）

幾年前:21-13=8（年）

3.先求出叔叔與小強(qiáng)年齡差,幾年后的倍數(shù)差,算出幾年后小強(qiáng)的年齡.

小強(qiáng)幾年后的年齡：（21-5）+（3-1）=8（歲）

幾年后:8-5=3（年）

4.可先計(jì)算出二人的年齡差,再過幾年折倍數(shù)差，由此可算出幾年后小明的年齡.

小明幾年后的年齡：（39-9）+（3-1）=15（歲）

再過幾年：15-9=6（年）

5.由題意可知爸爸與明明的倍數(shù)差是（5T）倍，而二人年齡差是28歲，由此可算出明明與

爸爸的年齡.

明明年齡:年於（5-1）=7（歲）

爸爸年齡：28+7=35（歲）

6.可知兩人年齡差是30歲，明年二人的倍數(shù)差是（3-1）倍,可得明年小強(qiáng)的年齡，由此算出

今年小強(qiáng)的年齡.

小強(qiáng)明年年齡:30+（3-1）=15（歲）

小強(qiáng)今年年齡：15-1=14（歲）

7.由題可知二人的年齡差,4年后的倍數(shù)差,那么4年后兒子年齡可求,今年兒子的年齡也

可求.

4年后兒子年齡：27+（4-1）=9（歲）

兒子今年年齡：9-4=5（歲）

8.現(xiàn)在母女年齡和是48歲，3年后年齡和增加（3X2）歲，可得母女的3年后年齡和,又知母

親3年后年齡是女兒年齡5倍,可得出女兒3年后的年齡，由此可得今年母女的年齡.

3年后母女年齡和:48+（3X2）=54（歲）

3年后女兒年齡:54+（5+1）=9（歲）

今年女兒年齡：9-3=6（歲）

今年母親年齡:48-6=42（歲）

9.用叔叔與紅紅的年齡差減去1歲就是紅紅的年齡的2倍，可得出紅紅的年齡，由此叔叔的

年齡可得.

紅紅的年齡：（19-1）+（3-1）=9（歲）

叔叔的年齡：9+19=28（歲）

10.哥哥與弟弟二人年齡和為50歲時(shí)，相對(duì)于現(xiàn)在二人的增長(zhǎng)歲數(shù)是一樣多，由此可得二

人的增長(zhǎng)歲數(shù),可以算出二人的年齡.

增長(zhǎng)的歲數(shù)：（50-8T4）+2=28+2=14（歲）

哥哥的年齡：14+14=28（歲）

弟弟的年齡：14+8=22（歲）

二、解答題

11.

今年

根1疑建看圖,我們可以軸晝?nèi)缈潪榇志€表示的卡分.如果我們以小剛5年后的年齡,

也就是小明3年前的年及為日箍南覆只要我們能找到2倍對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)就可以了.從圖中可

知,如果小剛43前的鈍加4疝5就是5年后的年齡,卜噬歲明7年后的年齡減7減3就是

3年前的年齡,，總數(shù)變?yōu)?9+4+5-3-7=3童期相當(dāng)于2,倍量,這樣，問題就可以解決了.

3/溟=317=38（歲）—'----，~:

38+2=19（歲）_3隼7年

19-5=14（歲）？歲

19+3=22（歲）

答:小明今年22歲，小剛今年14歲.

_PT,I__________________________________________I____________|_________L

可可.v_Y_l\_Y_））

5年4年

根據(jù)題意看圖,我們可以知道35歲為粗線表示的部分.如果我們把弟弟7年后的年齡作

為1倍量,那么哥哥5年前的年齡也是1倍量.只要我們找到這兩倍量所對(duì)應(yīng)的數(shù)量,就可以

先求出1倍量,使問題得解.

35+3+7-5-4=36（歲）

36+2=18（歲）

18-7=11（歲）

14+5=23（歲）

答:哥哥今年23歲，弟弟今年11歲.

13.

_(_“1A_”_)

今年

兒子：

15^

,—10%

?歲

（2倍）

因?yàn)?5年后父親的年齡是他兒子年齡的2倍，所以父子當(dāng)時(shí)的年齡差為兒子當(dāng)時(shí)的年

齡,即10+15+兒子10年前的年齡.因?yàn)?0年前父親的年齡是兒子年齡的7倍,父子的年齡差

為兒子當(dāng)時(shí)年齡的6倍，由于年齡差不變,25+兒子10年前年齡=兒子10年前年齡的6倍.所

以25相當(dāng)于兒子10年前年齡的5倍,可求出兒子10年前的年齡,使問題得解.

7-1-1=5

10+15=25（歲）

25+5=5（歲）

5+10=15（歲）

5X7=35（歲）

35+10=45（歲）

答:兒子今年15歲，父親今年45歲.

14.

（）

__________T-__________

a］，，

明明：」

?歲25年

（2倍）

5倍

_人_________________

小剛：'八二

--------------------v----------------------'Y'"

?歲25年16年

看圖,25年后,小剛的年齡是明明的2倍,如果明明的年齡乘2就和小剛的年齡相等,如

下圖：

（T）

f--------------------_---_---_---_---_-___________A_____________1___

明明：'~，，、.，：，——J

25年25年

______人______

小剛：1~~~1~1:、一八——

D1口YY

25年16年

從上圖可以清楚地看出，當(dāng)兩人年齡相等時(shí)，明明今年年齡的3倍對(duì)應(yīng)的是:25X

2-25-16=9（年），由此可以求出明明今年的年齡,使問題