《電工基礎及測量》課件第5章

第5章非正弦周期電流電路5.1非正弦周期電流電路5.2非正弦周期電流電路的有效值、平均值和平均功率5.3非正弦周期電流電路的計算習題 5.1非正弦周期電流電路

5.1.1非正弦周期信號

在生產(chǎn)實踐和科學實驗中，通常會遇到按非正弦規(guī)律變化的電源和信號。例如，在電力工程中，交流發(fā)電機發(fā)出的電壓波形實際上是一種近似正弦波，如圖5-1所示。電子線路中的信號源的電壓很多情況下也是非正弦的。例如，收音機天線同時接收幾個不同頻率的正弦信號，他們疊加起來卻是非正弦信號；計算機、自動控制等技術領域內(nèi)大量應用的脈沖電路中，電壓和電流的波形是脈沖波、方波，電子示波器中掃描電壓的波形是鋸齒波；在無線電工程和其他電子工程中，由語音、音樂、圖像轉(zhuǎn)換過來的電信號也是非正弦信號。常見的非正弦波形，如圖5-2所示。圖5-1交流發(fā)電機發(fā)出的電壓波形圖5-2非正弦波形圖5.1.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)

從高等數(shù)學中知道，凡是滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)可分解為傅里葉級數(shù)。在電工技術中所遇到的周期函數(shù)通常都滿足這個條件，因此都可以分解為傅里葉級數(shù)。

設f(t)為一個非正弦周期函數(shù)，其周期為T，角頻率

則f(t)的傅里葉級數(shù)展開式為

式中，a0為f(t)的直流分量；akcoskwt為余弦項，bksinkwt為正弦項；a0、ak、bk為傅里葉系數(shù)。(5-1)傅里葉系數(shù)(a0、ak、bk)的計算公式如下:

可見，將周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)，實質(zhì)上就是計算傅里葉系數(shù)a0、ak、bk。若把式(5-1)中同頻率的正弦項與余弦項合并，就可以得到傅里葉級數(shù)的另一種常用表達方式:(5-2)

式(5-2)與(5-3)要滿足下列關系：(5-4)(5-3)式(5-3)中，A0是不隨時間變化的常數(shù)，稱為f(t)的直流分量或恒定分量，它就是f(t)在第一個周期內(nèi)的平均值；第二項A1msin(wt+q1)，其周期或頻率與原函數(shù)f(t)的周期或頻率相同，稱為基波或一次諧波；其余各項的頻率為基波頻率的整數(shù)倍，分別為二次、三次、…、k次諧波，統(tǒng)稱為高次諧波，k為奇數(shù)的諧波稱為奇次諧波，k為偶數(shù)的諧波為偶次諧波。

將一個非正弦周期函數(shù)f(t)分解為直流分量和無窮多個頻率不同的諧波分量之和，稱為諧波分析。此諧波分析可利用式(5-1)～(5-4)進行，實際工程中很少用這種計算方法，而是直接查有關資料中的相關表格，對照其波形直接查出展開式。電工技術中常見的幾種周期函數(shù)波形及其傅里葉級數(shù)展開式如表5-1所示。

由于傅里葉級數(shù)通常收斂很快，所以在工程實際中，對非正弦信號進行諧波分析時，只取其傅里葉級數(shù)展開式的前幾項就能滿足其準確度的要求，所取項數(shù)的多少，應根據(jù)波形情況和所需要計算的精確度來決定。表5-1幾種周期函數(shù)

例5-1求圖5-3所示矩形波的傅里葉級數(shù)。

解圖示周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為

根據(jù)式(5-2)得圖5-3例5-3圖

當k為奇數(shù)時，coskp=－1，；當k為偶數(shù)時，coskp=1，bk=0。

由此可知，該函數(shù)的傅里葉級數(shù)表達式為

可見，其傅里葉級數(shù)收斂很快，在實際分析時只取前幾項，計算結(jié)果就已經(jīng)滿足實際工程要求了。

5.2非正弦周期電流電路的

有效值、平均值和平均功率

5.2.1有效值

一個非正弦周期量的有效值，根據(jù)周期量有效值的定義，等于其方均根值。

設一個非正弦周期電流i的傅里葉級數(shù)表達式為則該電流i(t)有效值應為

同理，可得

所以可以得到，非正弦周期量的有效值等于直流分量的平方與各次諧波有效值的平方和的平方根。(5-6)(5-5)

例5-2有一非正弦周期電壓

求電壓的有效值。

解根據(jù)式(5-6)，可得非正弦周期電壓的有效值為

5.2.2平均值

在實際工程中，不僅用到有效值，還用到平均值。在高等數(shù)學中，對于函數(shù)f(t)的平均值的定義為然而，對于一個非正弦周期量f(t)的傅里葉級數(shù)展開式中直流分量為零，僅剩下正弦變化的周期分量，平均值總為零。但為了便于測量與分析，一般定義周期量的平均值為它的絕對值的平均值。

在任意一個周期T的時間內(nèi)，非正弦周期量A(t)平均值的定義為

(5-7)例如，當i(t)=Imsinωt時，其平均值為

5.2.3平均功率

非正弦周期電路中的平均功率為瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值。其定義為

與求非正弦周期量有效值時的積分類似，不同頻率電壓電流乘積的積分為零，同頻率電壓電流乘積的積分不為零?？傻?/p>

即非正弦周期電路的平均功率等于各次諧波的平均功率之和(包括直流分量U0I0)。(5-8)同理，非正弦周期電路的無功功率等于各次諧波的無功功率之和，即

非正弦周期電路的視在功率則定義為

應當注意：視在功率不等于各次諧波的視在功率之和。

非正弦周期電路的功率因數(shù)則定義為(5-9)(5-10)(5-11)

例5-3已知某電路的電壓、電流分別為

求該電路的平均功率、無功功率和視在功率。

解平均功率為

無功功率為視在功率為 5.3非正弦周期電流電路的計算

非正弦周期電流電路的分析計算方法，主要是利用傅里葉級數(shù)將非正弦周期激勵信號分解成恒定分量和不同頻率的正弦量之和，然后分別計算恒定分量和各頻率正弦量單獨作用下電路的響應，最后利用線性電路的疊加原理，就可以得到電路的實際響應。這種分析電路的方法稱為諧波分析法。其分析電路的一般步驟如下：

(1)將給定的非正弦周期激勵信號分解為傅里葉級數(shù)，并根據(jù)計算精度的要求，取有限項高次諧波。

(2)分別計算各次諧波單獨作用下電路的響應。計算方法與直流電路及正弦交流電路的計算方法完全相同。對直流分量，電感元件相當于短路，電容元件相當于開路；對各次諧波，電路成正弦交流電路。但應當注意：由于各次諧波的頻率不同，電感元件、電容元件具有不同的電抗，諧波次數(shù)越高，頻率越大，感抗就越大，容抗就越小。

(3)應用疊加原理，將各次諧波作用下的響應解析式進行疊加。需要注意的是，必須先將各次諧波分量響應寫成瞬時值表達式才可以疊加，而不能把表示不同頻率的諧波的正弦量的相量進行加減。最后所求響應的解析式是用時間函數(shù)來表示的。

例5-4如圖5-4(a)所示電路，已知：uS(t)=10+100

sinwt+50

sin(3wt+30°)V且w=103rad/s，R1=5W,C=100mF，R2=2W，L=1mH。求各支路電流和電源發(fā)出的功率及I2。圖5-4例5-4圖

解

(1)直流分量作用下，電容元件相當于斷路，電感元件相當于短路，如圖5-4(b)所示，則

(2)基波分量作用下，如圖5-4(c)所示。

(3)三次諧波分量作用下，如圖5-4(d)所示。

(4)疊加

(5)電源發(fā)出的功率通過對本節(jié)內(nèi)容的學習，應當充分注意到電容元件和電感元件對不同次諧波的作用。電感元件對高次諧波具有較強的抑制作用，這是因為，諧波的次數(shù)越高，在電感元件上產(chǎn)生的感抗(XL=nwL)就越大;同理，電容元件對高次諧波有暢通的作用。反之，電感元件對于次數(shù)較低的諧波具有暢通的作用，電容元件對于次數(shù)較低的諧波具有抑制的作用。同時，要特別注意電路中所隱含的諧振現(xiàn)象。感抗和容抗對諧波作用不同的這種特性在工程實際中被廣泛應用。例如，利用電感和電容的電抗隨頻率變化的特點可以組合成各種形式的電路，將這種電路連接在輸入和輸出之間時，可以讓某些所需要的頻率分量順利地通過而抑制某些不需要的分量，這種電路稱為濾波器電路，如圖5-5所示。濾波器在通信工程中應用很廣，一般按照它的功用可以分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。圖5-5濾波器電路圖5-5(a)所示為一個簡單的低通濾波器，圖中電感元件對高頻電流有很強的抑制作用，而電容元件對高頻電流有很強的分流作用，這樣輸出信號中的高頻成分小，而低頻成分大。圖5-5(b)所示為最簡單的高通濾波器，其作用原理可進行類似分析。不過，實際濾波器電路的結(jié)構(gòu)要復雜得多，如圖5-5所示的簡單濾波器電路將難以滿足更好濾波特性的要求。

習題

5.1求如圖5-6所示周期信號的傅里葉級數(shù)展開式。圖5-6題5.1圖

5.2將如圖5-7所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。圖5-7題5.3圖

5.3如圖5-8所示，已知二端網(wǎng)絡的電壓u=311sin314tV，電流i=0.8sin(314t－85°)+0.25sin(942t－105°)A。求該網(wǎng)絡接收的平均功率。圖5-8題5.3圖

5.4在RLC串聯(lián)電路中，已知R=100W，L=2.26mH，C=10mF，基波角頻率為w=100prad/s，試求對應于基波、三次諧波、五次諧波時的諧波阻抗。

5.5當wL=4W的電感與1/wC=36W的電容并聯(lián)后，外加電壓為u(t)=(18sinwt+3cos3wt)V，求出總電流的解析式和有效值。

5.6如圖5-9所示，電流流過一個R=20W、wL=30W的串聯(lián)電路，求電路的平均功率、無功功率和視在功率。圖5-9題5.6圖

5.7如圖5-10所示的電路中，已知R=6W，wL=2W，1/wC=18W，u(t)=10+80sin(wt+30°)+18sin3wtV，求電磁系電壓表、電磁系電流