2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.2.已知命題：為鈍角，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若為鈍角，則必為第二象限角，則，所以是的充分條件；若，則可能為第二或第四象限角，未必就是鈍角，所以不是的必要條件；綜上：是的充分不必要條件.故選：A.3.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以.故選：A.4.“扇形窗下清風(fēng)徐”.如圖所示是一個(gè)扇子形窗，其所在的扇形半徑為，圓心角為，窗子左右兩邊的邊框長(zhǎng)度都為，則該窗的面積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：扇形的圓心角為，大扇形的半徑為，小扇形的半徑為，所以該窗的面積為.故選：C.5.函數(shù)的定義域?yàn)?，則值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)的最小值為，最大值為，所以值域?yàn)?故選：A.6.已知函數(shù)圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由圖可知，若，但此時(shí)，矛盾，故可排除D；由為偶函數(shù)，若，則，矛盾，故排除A；在有零點(diǎn)，若，則時(shí)，，矛盾，故排除C，經(jīng)檢驗(yàn)，B選項(xiàng)在函數(shù)的零點(diǎn)奇偶性等方面均符合題意.故選：B.7.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，故，則由，可得，故.故選：D.8.已知函數(shù)，.甲：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；乙：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；丙：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；?。汉瘮?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為.甲、乙、丙、丁四人對(duì)函數(shù)的論述中有且只有兩人正確，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于甲：因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為，關(guān)于單調(diào)遞增，所以不存在任何區(qū)間使得單調(diào)遞減，故甲錯(cuò)誤；對(duì)于乙：因?yàn)榈膱D象不存在對(duì)稱軸，而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到的，所以函數(shù)的圖象也不存在對(duì)稱軸，故乙錯(cuò)誤；由題意甲、乙、丙、丁四人對(duì)函數(shù)的論述中有且只有兩人正確，故只能丙丁論述正確，若丙論述正確，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時(shí)應(yīng)該有，解得，所以此時(shí)滿足題意，當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，但，即存在使得，無(wú)意義，所以此時(shí)不滿足題意，綜上所述，滿足題意的的取值范圍為，若丁論述正確，則，解得，結(jié)合的取值范圍為可知，只能，綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則區(qū)間可以為（）A B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，令，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故區(qū)間可以為，，，A，B，C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的值取不到，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知，下列命題正確的是（）A.命題“，”的否定是“，使得成立”B.若命題“，恒成立”為真命題，則C.“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件D.若命題“，”為真命題，則【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：命題“，”的否定是“，使得成立”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若命題“，恒成立”為真命題，注意到的圖象開口向上，則，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，可知方程有實(shí)數(shù)解，即充分性成立；例如，方程有實(shí)數(shù)解，不滿足，即必要性不成立，所以“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若命題“，”為真命題，注意到的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，則，解得，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.函數(shù)在存在零點(diǎn)的充要條件是【答案】AD【解析】對(duì)于A，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，取時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，最小值為，而無(wú)意義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不是最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，而，所以函數(shù)在存在零點(diǎn)的充要條件是，故D正確.故選：AD.12.下列不等關(guān)系成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，故，故，A正確；對(duì)于B，，則，則，B正確；對(duì)于C，，故，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.求值_______________.【答案】【解析】.故答案為：.14.已知，則__________.【答案】6【解析】因?yàn)?，所?故答案為：6.15.冪函數(shù)滿足下列性質(zhì)：（1）對(duì)定義域中任意的，有；（2）對(duì)中任意的，都有，請(qǐng)寫出滿足這兩個(gè)性質(zhì)的一個(gè)冪函數(shù)的表達(dá)式_______________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知冪函數(shù)滿足性質(zhì)：對(duì)定義域中任意的，有，則函數(shù)為偶函數(shù)；又函數(shù)滿足對(duì)中任意的，都有，可知函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)，故滿足題目中要求.故答案為：.16.已知，.如，則__________；如，則___________.【答案】或或或【解析】由題意知，，故，即，若，則；若，則或或或，故答案為：或或或.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，或，或，所以或.（2）因?yàn)椋约喜豢赡苁强占?，若，所以或，解得或，即?shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)（其中，）的最小正周期為，且___________.①點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；②函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為；③的一個(gè)增區(qū)間為.請(qǐng)你從以上三個(gè)條件選擇一個(gè)（如果選擇多個(gè)，則按選擇的第一個(gè)給分），補(bǔ)充完整題目，并求解下列問(wèn)題：（1）求的解析式；（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.解：（1）由題意最小正周期為，解得，所以，若選①，則，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選②，則，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選③，即的一個(gè)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，又，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只能，，所以函數(shù)的解析式為；綜上所述，無(wú)論選哪個(gè)條件，函數(shù)的解析式均為.（2）列表如下：00100描點(diǎn)、連線（光滑曲線）畫出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示：19.已知，，設(shè).（1）若，求，的值；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)椋瑑蛇吰椒娇傻?，解得，所以?（2）因?yàn)?，所?20.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；（2）已知，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，試判斷下列四個(gè)命題的真假，并說(shuō)明理由：①；②；③；④.解：（1）由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上均單調(diào)遞增且連續(xù)，，，故在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；又，則，故在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；綜上，函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（2）①③為真命題；②④為假命題，理由如下：設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，由（1）可知，故，又，，即，故，故①③為真命題；②④為假命題.21.去年某商戶銷售某品牌服裝9000套，每套服裝利潤(rùn)為50元.為提高銷售利潤(rùn)，今年計(jì)劃投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)進(jìn)行產(chǎn)品促銷.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若廣告費(fèi)用為（萬(wàn)元），則該品牌服裝的年銷售量將增長(zhǎng).請(qǐng)你預(yù)算該品牌服裝的凈利潤(rùn)（凈利潤(rùn)為銷售利潤(rùn)減去廣告費(fèi)用）（1）若使得今年凈利潤(rùn)比去年至少增長(zhǎng)，請(qǐng)你預(yù)算廣告費(fèi)用的范圍?（2）當(dāng)廣告費(fèi)用多少萬(wàn)元時(shí)，品牌服裝的凈利潤(rùn)最大?解：（1）由題意得，即，化簡(jiǎn)并整理得，解得，所以預(yù)算廣告費(fèi)用的范圍為.（2）由題意凈利潤(rùn)為萬(wàn)元，所以由基本不等式可得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以當(dāng)投入廣告費(fèi)用為8萬(wàn)元時(shí)，品牌服裝的凈利潤(rùn)最大.22.已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）如果不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn).①求實(shí)數(shù)取值范圍；②求的最大值.解：（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，故，令，則，即，則不等式恒成立，等價(jià)于函數(shù)在上恒成立，由于，故在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故.（2）①由于為增函數(shù)，故函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則，即，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.②由于，則，因?yàn)?，所以，即，故的最大值為，則，當(dāng)取最大值時(shí)，取到最大值.江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.2.已知命題：為鈍角，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若為鈍角，則必為第二象限角，則，所以是的充分條件；若，則可能為第二或第四象限角，未必就是鈍角，所以不是的必要條件；綜上：是的充分不必要條件.故選：A.3.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以.故選：A.4.“扇形窗下清風(fēng)徐”.如圖所示是一個(gè)扇子形窗，其所在的扇形半徑為，圓心角為，窗子左右兩邊的邊框長(zhǎng)度都為，則該窗的面積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：扇形的圓心角為，大扇形的半徑為，小扇形的半徑為，所以該窗的面積為.故選：C.5.函數(shù)的定義域?yàn)?，則值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)的最小值為，最大值為，所以值域?yàn)?故選：A.6.已知函數(shù)圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由圖可知，若，但此時(shí)，矛盾，故可排除D；由為偶函數(shù)，若，則，矛盾，故排除A；在有零點(diǎn)，若，則時(shí)，，矛盾，故排除C，經(jīng)檢驗(yàn)，B選項(xiàng)在函數(shù)的零點(diǎn)奇偶性等方面均符合題意.故選：B.7.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，故，則由，可得，故.故選：D.8.已知函數(shù)，.甲：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；乙：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；丙：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；?。汉瘮?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為.甲、乙、丙、丁四人對(duì)函數(shù)的論述中有且只有兩人正確，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于甲：因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為，關(guān)于單調(diào)遞增，所以不存在任何區(qū)間使得單調(diào)遞減，故甲錯(cuò)誤；對(duì)于乙：因?yàn)榈膱D象不存在對(duì)稱軸，而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到的，所以函數(shù)的圖象也不存在對(duì)稱軸，故乙錯(cuò)誤；由題意甲、乙、丙、丁四人對(duì)函數(shù)的論述中有且只有兩人正確，故只能丙丁論述正確，若丙論述正確，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時(shí)應(yīng)該有，解得，所以此時(shí)滿足題意，當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，但，即存在使得，無(wú)意義，所以此時(shí)不滿足題意，綜上所述，滿足題意的的取值范圍為，若丁論述正確，則，解得，結(jié)合的取值范圍為可知，只能，綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則區(qū)間可以為（）A B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，令，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故區(qū)間可以為，，，A，B，C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的值取不到，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知，下列命題正確的是（）A.命題“，”的否定是“，使得成立”B.若命題“，恒成立”為真命題，則C.“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件D.若命題“，”為真命題，則【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：命題“，”的否定是“，使得成立”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若命題“，恒成立”為真命題，注意到的圖象開口向上，則，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，可知方程有實(shí)數(shù)解，即充分性成立；例如，方程有實(shí)數(shù)解，不滿足，即必要性不成立，所以“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若命題“，”為真命題，注意到的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，則，解得，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.函數(shù)在存在零點(diǎn)的充要條件是【答案】AD【解析】對(duì)于A，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，取時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，最小值為，而無(wú)意義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不是最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，而，所以函數(shù)在存在零點(diǎn)的充要條件是，故D正確.故選：AD.12.下列不等關(guān)系成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，故，故，A正確；對(duì)于B，，則，則，B正確；對(duì)于C，，故，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.求值_______________.【答案】【解析】.故答案為：.14.已知，則__________.【答案】6【解析】因?yàn)椋?故答案為：6.15.冪函數(shù)滿足下列性質(zhì)：（1）對(duì)定義域中任意的，有；（2）對(duì)中任意的，都有，請(qǐng)寫出滿足這兩個(gè)性質(zhì)的一個(gè)冪函數(shù)的表達(dá)式_______________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知冪函數(shù)滿足性質(zhì)：對(duì)定義域中任意的，有，則函數(shù)為偶函數(shù)；又函數(shù)滿足對(duì)中任意的，都有，可知函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)，故滿足題目中要求.故答案為：.16.已知，.如，則__________；如，則___________.【答案】或或或【解析】由題意知，，故，即，若，則；若，則或或或，故答案為：或或或.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，或，或，所以或.（2）因?yàn)椋约喜豢赡苁强占?，所以或，解得或，即?shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)（其中，）的最小正周期為，且___________.①點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；②函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為；③的一個(gè)增區(qū)間為.請(qǐng)你從以上三個(gè)條件選擇一個(gè)（如果選擇多個(gè)，則按選擇的第一個(gè)給分），補(bǔ)充完整題目，并求解下列問(wèn)題：（1）求的解析式；（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.解：（1）由題意最小正周期為，解得，所以，若選①，則，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選②，則，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選③，即的一個(gè)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，又，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只能，，所以函數(shù)的解析式為；綜上所述，無(wú)論選哪個(gè)條件，函數(shù)的解析式均為.（2）列表如下：00100描點(diǎn)、連線（光滑曲線）畫出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示：19.已知，，設(shè).（1）若，求，的值；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)椋瑑蛇吰椒娇傻?，解得，所以?（2）因?yàn)?/p>