2023-2024學(xué)年江蘇省泰州市高一上學(xué)期1月期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意集合，，則.故選：B.2.命題“存在，”的否定為（）A.存在， B.存在，C.任意， D.任意，【答案】D【解析】由題意命題“存在，”的否定為任意，.故選：D.3.若角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則由余弦函數(shù)的定義可得故選：B.4.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.4 D.12【答案】C【解析】由題意是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.5.函數(shù)的減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若要單調(diào)遞減，只需關(guān)于單調(diào)遞減，所以函數(shù)的減區(qū)間為.故選：B.6.可以用尺規(guī)作圖畫出正五角星，作法如下：以任意一點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫圓，在圓內(nèi)作互相垂直的直徑和.取線段的中點(diǎn)，以為圓心，以為半徑作弧，交于.以為圓心，以為半徑在圓上依次截取相等的圓弧，連接，，，，，得到如圖所示的正五角星，則圖中扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，連接OG，OM，OH，則，又，所以，化為弧度為，所以扇形的面積為.故選：A.7.已知函數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，所以，所以.故選：C.8.已知，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】由題意，所以，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知正數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意，所以，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對(duì)于C，令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，由題意的值域?yàn)?，所以，所以，記，且，在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象，如圖：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，要使，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)的值可以是，.故選：BD.12.已知函數(shù)滿足：①對(duì)任意，；②若，則.則（）A.的值為2 B.C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但這與②若，則矛盾，所以只能，故A正確；對(duì)于B，令，結(jié)合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正確；對(duì)于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，取，則且單調(diào)遞增，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】由題意，所以.14.已知，則______.【答案】【解析】由題意有.15.已知二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下：1246014則關(guān)于的不等式的解集為______.【答案】【解析】由已知得必過，代入函數(shù)中得，，，解得，，，故，令，解得，即關(guān)于的不等式的解集為.16.設(shè)是正整數(shù)，集合.當(dāng)，集合有______個(gè)元素；若集合有100個(gè)元素，則______.【答案】2198或199【解析】由題意當(dāng)，，周期為，所以，經(jīng)過去重得此時(shí)，即此時(shí)集合有2個(gè)元素；原問題等價(jià)于單位圓盤等分后，相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由對(duì)稱性可知，只需考慮上半圓盤以及，所以如果集合有100個(gè)元素，即相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)為100，則可能是，和上半圓盤與下半圓盤各99個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（它們關(guān)于軸對(duì)稱），即此時(shí)，還有一種可能：即和，以及上半圓盤與下半圓盤各98個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（它們關(guān)于軸對(duì)稱），也就是，綜上所述，若集合有100個(gè)元素，則或.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.設(shè)集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）時(shí)，，解得，故，，故.（2），，解得，故，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以?，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意當(dāng)時(shí)，，若，則，所以在上的值域?yàn)?（2）由題意，所以時(shí)，，且關(guān)于單調(diào)遞增，若在上單調(diào)遞增，則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍為.20.已知函數(shù)，正數(shù)，滿足，（1）求的取值范圍；（2）求的最小值.解：（1）因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為.（2），因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為4.21.已知函數(shù).（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（2）若，且，，都為正數(shù)，求證：.解：（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，設(shè)，，由，則，故，所以在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)都是正數(shù)時(shí)，，當(dāng)目僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則；當(dāng)中只有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則，且，由，則，由，則，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，，當(dāng)中有兩個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都是負(fù)數(shù)時(shí)，不合題意.故得證.22.已知偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）從“①；②”兩個(gè)條件中選一個(gè)合適的條件，使得函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，并說明理由；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）由題意，解得，①令，有，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，而此時(shí)，所以此時(shí)恒成立，即函數(shù)與的圖象在區(qū)間上沒有公共點(diǎn)，不滿足題意；②令，則，，即，且此時(shí)的圖象連續(xù)不斷，所以由零點(diǎn)存在定理可知此時(shí)存在零點(diǎn)，即此時(shí)函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，滿足題意.（2）由題意關(guān)于的不等式恒成立，首先顯然有，其次有恒成立，所以恒成立，令，因?yàn)椋?，所以恒成立，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，因?yàn)?，若，則，此時(shí)不等式變?yōu)榱撕愠闪ⅲ@顯然不可能成立，所以，即，所以，所以，即，解得，即數(shù)的取值范圍為.江蘇省泰州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意集合，，則.故選：B.2.命題“存在，”的否定為（）A.存在， B.存在，C.任意， D.任意，【答案】D【解析】由題意命題“存在，”的否定為任意，.故選：D.3.若角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則由余弦函數(shù)的定義可得故選：B.4.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.4 D.12【答案】C【解析】由題意是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.5.函數(shù)的減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若要單調(diào)遞減，只需關(guān)于單調(diào)遞減，所以函數(shù)的減區(qū)間為.故選：B.6.可以用尺規(guī)作圖畫出正五角星，作法如下：以任意一點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫圓，在圓內(nèi)作互相垂直的直徑和.取線段的中點(diǎn)，以為圓心，以為半徑作弧，交于.以為圓心，以為半徑在圓上依次截取相等的圓弧，連接，，，，，得到如圖所示的正五角星，則圖中扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，連接OG，OM，OH，則，又，所以，化為弧度為，所以扇形的面積為.故選：A.7.已知函數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，所以，所以.故選：C.8.已知，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】由題意，所以，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知正數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意，所以，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對(duì)于C，令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，由題意的值域?yàn)?，所以，所以，記，且，在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象，如圖：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，要使，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)的值可以是，.故選：BD.12.已知函數(shù)滿足：①對(duì)任意，；②若，則.則（）A.的值為2 B.C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但這與②若，則矛盾，所以只能，故A正確；對(duì)于B，令，結(jié)合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正確；對(duì)于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，取，則且單調(diào)遞增，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】由題意，所以.14.已知，則______.【答案】【解析】由題意有.15.已知二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下：1246014則關(guān)于的不等式的解集為______.【答案】【解析】由已知得必過，代入函數(shù)中得，，，解得，，，故，令，解得，即關(guān)于的不等式的解集為.16.設(shè)是正整數(shù)，集合.當(dāng)，集合有______個(gè)元素；若集合有100個(gè)元素，則______.【答案】2198或199【解析】由題意當(dāng)，，周期為，所以，經(jīng)過去重得此時(shí)，即此時(shí)集合有2個(gè)元素；原問題等價(jià)于單位圓盤等分后，相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由對(duì)稱性可知，只需考慮上半圓盤以及，所以如果集合有100個(gè)元素，即相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)為100，則可能是，和上半圓盤與下半圓盤各99個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（它們關(guān)于軸對(duì)稱），即此時(shí)，還有一種可能：即和，以及上半圓盤與下半圓盤各98個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（它們關(guān)于軸對(duì)稱），也就是，綜上所述，若集合有100個(gè)元素，則或.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.設(shè)集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）時(shí)，，解得，故，，故.（2），，解得，故，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以?，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意當(dāng)時(shí)，，若，則，所以在上的值域?yàn)?（2）由題意，所以時(shí)，，且關(guān)于單調(diào)遞增，若在上單調(diào)遞增，則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍為.20.已知函數(shù)，正數(shù)，滿足，（1）求的取值范圍；（2）求的最小值.解：（1）因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為.（2），因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為4.21.已知函數(shù).（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（2）若，且，，都為正數(shù)，求證：.解：（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，設(shè)，，由，則，故，所以在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)都是正數(shù)時(shí)，，當(dāng)目僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則；當(dāng)中只有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則，且，由，則，由，則，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，，當(dāng)中有兩個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都是負(fù)數(shù)時(shí)，不合題意.故得證.22.已知偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）從“①；②”兩個(gè)條件中選一個(gè)合