2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?故選：C.2.函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，得且，定義域?yàn)?故選：C.3.將化為的形式是（）A B.C. D.【答案】B【解析】由知.故選：B.4.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則【答案】B【解析】A中，有，錯(cuò)誤；B中，時(shí)，成立，正確；C中，時(shí)，，錯(cuò)誤；D中，由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：B.5.函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（）A.，，， B.，，，C.，，，， D.，，，，【答案】C【解析】由題圖，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c，d，a，b，而.故選：C．6.若角，均為銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角，均為銳角，即，而，則，又，則，所以.故選：B.7.將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，…，An，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由題意作出圖象如圖，共得5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，和，和關(guān)于對(duì)稱，，，∴.故選：A.8.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因?yàn)閷?duì)，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴實(shí)數(shù)a的值可以是4，5，6．故選：BCD．10.若，，，，則下列各式中，恒等的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)?，，，，?duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：BD.11.下列說(shuō)法正確的是（）A.向量與共線是A，B，C，D四點(diǎn)共線的必要不充分條件B.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得C.已知，則與的夾角為銳角的充要條件是D.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若，則是在上的投影向量【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：A，B，C，D四點(diǎn)共線向量與共線，反之不成立，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，不存在實(shí)數(shù)使得，當(dāng)，時(shí)，存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，則與的夾角為銳角的充要條件是且與不同向共線，即，且，解得，則實(shí)數(shù)取值范圍是，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：由平面向量加法可知：為與的平分線表示的向量平行的向量，因?yàn)?，所以為的平分線，又因?yàn)闉榈闹芯€，所以，所以是在的投影向量，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.函數(shù)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為3 B.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的最小正周期為【答案】AD【解析】觀察圖象知，，函數(shù)的周期有，，即，則，顯然，則，即，因此，，函數(shù)的最大值為3，A正確；，B錯(cuò)誤；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期為，D正確.故選：AD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分13.命題“，”否定是______________.【答案】，.【解析】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”否定是：，.故答案為：，.14.若是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】.【解析】由題意得：，解得：，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.15.把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半(縱坐標(biāo)不變)，然后把圖象向左平移個(gè)單位，則所得圖形對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為__________.【答案】【解析】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，可得的圖象，再向左平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為，即.故答案為：.16.若，則__________.【答案】或【解析】由，得，即，整理得，所以或.故答案為：或.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求與；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，而，所以，.（2）由，得，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)的最大值與最小值．解：（1）由于，故，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最小值-2，當(dāng)時(shí)，取最大值.19.已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，是偶函數(shù).（1）求；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并說(shuō)明理由；（3）若函數(shù)滿足不等式，求出的范圍.解：（1）由題知（）是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，，，，故.（2）在上的單調(diào)遞增，理由如下：由（1）知，任取，，，，故在上的單調(diào)遞增.（3）由（1）（2）知是奇函數(shù)且在上的單調(diào)遞增，，，，故.20.某科技企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬(wàn)元，每生產(chǎn)x臺(tái)需要另投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺(tái)時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不小于80臺(tái)時(shí)，，若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)為100萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.（1）求年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？并求出這個(gè)最大利潤(rùn).解：（1）當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式是：.（2）當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為.21.已知向量，，函數(shù)，.（1）若的最小值為-1，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，對(duì)稱軸為，①當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴舍，②當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，③當(dāng)即是，當(dāng)時(shí)，∴舍，綜上，.（2）令，即，∴或，∵，有四個(gè)不同的零點(diǎn)，∴方程和在上共有四個(gè)不同的實(shí)根，∴，∴，∴.22.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求整數(shù)k的值；（3）設(shè)，若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍.解：（1）函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）可知，，令，得，設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在上有零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以的取值?或3.（3）因?yàn)榍?，所以且，因，所以的最大值可能是或，因?yàn)?，所以，只需，即，設(shè)，在上單調(diào)遞增，又，∴，即，所以，所以m的取值范圍是.湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所?故選：C.2.函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，得且，定義域?yàn)?故選：C.3.將化為的形式是（）A B.C. D.【答案】B【解析】由知.故選：B.4.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則【答案】B【解析】A中，有，錯(cuò)誤；B中，時(shí)，成立，正確；C中，時(shí)，，錯(cuò)誤；D中，由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：B.5.函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（）A.，，， B.，，，C.，，，， D.，，，，【答案】C【解析】由題圖，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c，d，a，b，而.故選：C．6.若角，均為銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角，均為銳角，即，而，則，又，則，所以.故選：B.7.將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，…，An，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由題意作出圖象如圖，共得5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，和，和關(guān)于對(duì)稱，，，∴.故選：A.8.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因?yàn)閷?duì)，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴實(shí)數(shù)a的值可以是4，5，6．故選：BCD．10.若，，，，則下列各式中，恒等的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)椋?，，，?duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：BD.11.下列說(shuō)法正確的是（）A.向量與共線是A，B，C，D四點(diǎn)共線的必要不充分條件B.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得C.已知，則與的夾角為銳角的充要條件是D.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若，則是在上的投影向量【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：A，B，C，D四點(diǎn)共線向量與共線，反之不成立，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，不存在實(shí)數(shù)使得，當(dāng)，時(shí)，存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，則與的夾角為銳角的充要條件是且與不同向共線，即，且，解得，則實(shí)數(shù)取值范圍是，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：由平面向量加法可知：為與的平分線表示的向量平行的向量，因?yàn)?，所以為的平分線，又因?yàn)闉榈闹芯€，所以，所以是在的投影向量，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.函數(shù)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為3 B.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的最小正周期為【答案】AD【解析】觀察圖象知，，函數(shù)的周期有，，即，則，顯然，則，即，因此，，函數(shù)的最大值為3，A正確；，B錯(cuò)誤；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期為，D正確.故選：AD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分13.命題“，”否定是______________.【答案】，.【解析】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”否定是：，.故答案為：，.14.若是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】.【解析】由題意得：，解得：，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.15.把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半(縱坐標(biāo)不變)，然后把圖象向左平移個(gè)單位，則所得圖形對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為__________.【答案】【解析】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，可得的圖象，再向左平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為，即.故答案為：.16.若，則__________.【答案】或【解析】由，得，即，整理得，所以或.故答案為：或.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求與；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，而，所以，.（2）由，得，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)的最大值與最小值．解：（1）由于，故，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最小值-2，當(dāng)時(shí)，取最大值.19.已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，是偶函數(shù).（1）求；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并說(shuō)明理由；（3）若函數(shù)滿足不等式，求出的范圍.解：（1）由題知（）是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，，，，故.（2）在上的單調(diào)遞增，理由如下：由（1）知，任取，，，，故在上的單調(diào)遞增.（3）由（1）（2）知是奇函數(shù)且在上的單調(diào)遞增，，，，故.20.某科技企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬(wàn)元，每生產(chǎn)x臺(tái)需要另投入成