2023-2024學(xué)年黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前請(qǐng)粘貼好條形碼，填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息．2．本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿(mǎn)分150分.第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分）．1.若表示不同的平面，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.不確定【答案】A【解析】對(duì)于平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以平?又表示不同的平面，所以平面與平面平行.故選：A2.直線(xiàn)傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化為，斜率為，所以?xún)A斜角為.故選:D.3.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓方程可知，，所以，橢圓的離心率.故選：C4.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)榈膱A心為，根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標(biāo)，的中點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為1，故直線(xiàn)為，由，解得，，所以，故，故選：A.5.設(shè)為空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，，，則等于（）A.7 B. C.23 D.11【答案】B【解析】因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，所以，所以．故選：B.6.若直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓是以為圓心，以為半徑圓，又直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，直線(xiàn)過(guò)圓心，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，故選：C．7.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，選C.8.已知雙曲線(xiàn)C與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離等于1，則雙曲線(xiàn)C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓的方程為，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在軸上，且，設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為，則有，其漸近線(xiàn)方程為，即，又焦點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離等于1，則有，所以，所以雙曲線(xiàn)C的方程為，故選：A.二、多選題（每小題5分）9.關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A.離心率為 B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C.焦點(diǎn)在軸上 D.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，(1，0)【答案】AD【解析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確；長(zhǎng)軸長(zhǎng)是故B錯(cuò)誤因?yàn)樗噪x心率故A正確.故選：AD.10.在正方體中，若為的中點(diǎn)，則與直線(xiàn)不垂直的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則，，，，，，，∴，，，，.∵，，..∴與不垂直的有、、，故選：ACD.11.已知點(diǎn)，，直線(xiàn)：（其中），若直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】BC【解析】由，得，因?yàn)?，所以，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，，直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足：，即，得，故選：BC12.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段，上，則下列命題正確的是（）A.直線(xiàn)BC與平面所成的角等于 B.點(diǎn)到平面的距離為C.異面直線(xiàn)和所成的角為. D.線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ABD【解析】由題意得：正方體的棱長(zhǎng)為2對(duì)于選項(xiàng)A：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面即為直線(xiàn)BC與平面所成的角，且，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面點(diǎn)到平面的距離為,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線(xiàn)和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：過(guò)作，過(guò)作，連接PQ為異面直線(xiàn)之間的距離，這時(shí)距離最??；設(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則直角三角形故當(dāng)時(shí)，取最小值，故，故D正確；故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分）.13.已知，，且，則______，______.【答案】①②【解析】，，則，，由，可得，解之得.故答案為：；.14.若圓：與圓：相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】由解得或，不妨設(shè)，所以.故答案為：15.已知點(diǎn)，平面過(guò)原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的的距離為_(kāi)_____.【答案】2【解析】由題可知點(diǎn)到平面的的距離即為在的投影，，，，，在的投影為，即點(diǎn)到平面的的距離為.故答案為：.16.已知雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)______．【答案】【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接．則．由知，，又因?yàn)辄c(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，所以，即，又，代入化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍去），故．故答案為：四、解答題（17題10分，18、19、20、21、22題各12分.）17.已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．（1）求；（2）與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）由題設(shè)，，所以．（2）由，，而，所以，可得或．18.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)和的交點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求直線(xiàn)的方程；（2）若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求直線(xiàn)的方程．解：（1）由，解得，所以?xún)芍本€(xiàn)和的交點(diǎn)為．當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，設(shè)的方程為，把點(diǎn)代入求得，可得的方程為．（2）斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為5．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直限的方程為，即，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求得，故的方程為，即．綜上，直線(xiàn)的方程為或．19.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1的中點(diǎn)，（1）求證：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．解：（1）以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），則，設(shè)平面A1DE的法向量是則，取，∴所以CF∥平面A1DE．（2）是面A1DA的法向量，∴即平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值為．20.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心在直線(xiàn)上，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓恰有1個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)的方程.解：（1）直線(xiàn)的斜率，中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以中垂線(xiàn)方程為，即，由得，圓心，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）當(dāng)該直線(xiàn)斜率不存在，即直線(xiàn)方程為時(shí)，成立，當(dāng)該直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，即，因?yàn)樵撝本€(xiàn)與圓恰有1個(gè)公共點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)距離，得.所以切線(xiàn)方程為或.21.已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M（5，m）到焦點(diǎn)F的距離為6.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l方程.解：（1）由題設(shè)，拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程為，∴拋物線(xiàn)定義知：可得，故（2）由題設(shè)，直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴，即故l22.如下圖，已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合．（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線(xiàn)，斜率之和為定值．解：（1）由題意，可得，代入得，又，解得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，又，，三點(diǎn)不重合，∴，設(shè)，，由得，所以，解得，，①，②設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，，則（），分別將①②式代入（），得，所以，即直線(xiàn)，的斜率之和為定值．黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前請(qǐng)粘貼好條形碼，填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息．2．本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿(mǎn)分150分.第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分）．1.若表示不同的平面，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.不確定【答案】A【解析】對(duì)于平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以平?又表示不同的平面，所以平面與平面平行.故選：A2.直線(xiàn)傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化為，斜率為，所以?xún)A斜角為.故選:D.3.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓方程可知，，所以，橢圓的離心率.故選：C4.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)榈膱A心為，根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標(biāo)，的中點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為1，故直線(xiàn)為，由，解得，，所以，故，故選：A.5.設(shè)為空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，，，則等于（）A.7 B. C.23 D.11【答案】B【解析】因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，所以，所以．故選：B.6.若直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓是以為圓心，以為半徑圓，又直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，直線(xiàn)過(guò)圓心，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，故選：C．7.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，選C.8.已知雙曲線(xiàn)C與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離等于1，則雙曲線(xiàn)C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓的方程為，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在軸上，且，設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為，則有，其漸近線(xiàn)方程為，即，又焦點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離等于1，則有，所以，所以雙曲線(xiàn)C的方程為，故選：A.二、多選題（每小題5分）9.關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A.離心率為 B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C.焦點(diǎn)在軸上 D.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，(1，0)【答案】AD【解析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確；長(zhǎng)軸長(zhǎng)是故B錯(cuò)誤因?yàn)樗噪x心率故A正確.故選：AD.10.在正方體中，若為的中點(diǎn)，則與直線(xiàn)不垂直的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則，，，，，，，∴，，，，.∵，，..∴與不垂直的有、、，故選：ACD.11.已知點(diǎn)，，直線(xiàn)：（其中），若直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】BC【解析】由，得，因?yàn)椋?，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，，直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足：，即，得，故選：BC12.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段，上，則下列命題正確的是（）A.直線(xiàn)BC與平面所成的角等于 B.點(diǎn)到平面的距離為C.異面直線(xiàn)和所成的角為. D.線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ABD【解析】由題意得：正方體的棱長(zhǎng)為2對(duì)于選項(xiàng)A：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面即為直線(xiàn)BC與平面所成的角，且，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面點(diǎn)到平面的距離為,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線(xiàn)和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：過(guò)作，過(guò)作，連接PQ為異面直線(xiàn)之間的距離，這時(shí)距離最小；設(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則直角三角形故當(dāng)時(shí)，取最小值，故，故D正確；故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分）.13.已知，，且，則______，______.【答案】①②【解析】，，則，，由，可得，解之得.故答案為：；.14.若圓：與圓：相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】由解得或，不妨設(shè)，所以.故答案為：15.已知點(diǎn)，平面過(guò)原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的的距離為_(kāi)_____.【答案】2【解析】由題可知點(diǎn)到平面的的距離即為在的投影，，，，，在的投影為，即點(diǎn)到平面的的距離為.故答案為：.16.已知雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)______．【答案】【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接．則．由知，，又因?yàn)辄c(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，所以，即，又，代入化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍去），故．故答案為：四、解答題（17題10分，18、19、20、21、22題各12分.）17.已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．（1）求；（2）與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）由題設(shè)，，所以．（2）由，，而，所以，可得或．18.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)和的交點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求直線(xiàn)的方程；（2）若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求直線(xiàn)的方程．解：（1）由，解得，所以?xún)芍本€(xiàn)和的交點(diǎn)為．當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，設(shè)的方程為，把點(diǎn)代入求得，可得的方程為．（2）斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為5．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直限的方程為，即，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求得，故的方程為，即．綜上，直線(xiàn)的方程為或．19.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1的中點(diǎn)，（1）求證：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．解：（1）以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建