2023-2024學(xué)年河南省信陽市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線在y軸上的截距為（）A. B. C.1012 D.2024【答案】B【解析】因為，令，得，所以直線在y軸上的截距為.故選：B.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項和為，若，則等于（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2048【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.直線m，n的方向向量分別為，平面的法向量為，則下列選項正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】若，則與共線向量，故A錯誤；若，則與共線向量，故B錯誤；若，則，故C錯誤；若，則，故D正確，故選：D4.直線與平行，則a的值為（）A.0 B. C.或0 D.或0【答案】C【解析】因為直線與平行，所以，解得或，當(dāng)時，兩直線分別為，，顯然平行，滿足題意；當(dāng)時，兩直線分別為，，也平行，滿足題意；綜上，或.故選：C.5.2023年9月第14屆中國國際園林博覽會在安徽合肥舉行．某媒體甲、乙、丙三名記者去河南園、北京園、香港園進行現(xiàn)場報道，若每個地方恰有一名記者，則甲去河南園的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記河南園、北京園、香港園分別為，則樣本空間(甲1，乙2，丙3)，(甲1，乙3，丙2)，(甲2，乙1，丙3)，(甲2，乙3，丙1)，(甲3，乙2，丙1)，(甲3，乙1，丙2)}，共6個基本事件，則甲去河南園的基本事件有2件，所以甲去河南園的概率為.故選：A.6.直線與拋物線交于A，B兩點，則（O為拋物線頂點）的值為（）A. B. C.4 D.12【答案】B【解析】由，得，易得，設(shè)，則，.故選：B.7.如圖,在平行六面體中，，，，，則等于（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】依題意，設(shè),，，因為，所以，，，，又，所以.故選：A.8.如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線C的左支交于點A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】依題意，設(shè)，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.方程（為常數(shù)）表示的曲線可能是（）A.直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】若，方程表示直線；若，方程表示橢圓；若，方程表示雙曲線；，方程不表示任何曲線；由于方程沒有一次項，方程不可能表示拋物線．故選：ABC．10.如圖，在正四棱柱中，M是的中點，，則（）A. B.平面C.二面角的余弦值為 D.到平面的距離為【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，，則，所以不垂直，故A錯誤；對于B，，所以，所以，是平面的一個法向量，即平面，故B正確；對于C，易知平面的一個法向量，而，所以二面角的余弦值為，故C正確；對于D，到平面的距離，故D正確.故選：BCD.11.九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝．《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載．九連環(huán)一般是用金屬絲制成圓形小環(huán)九枚，九環(huán)相連，套在條形橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄．玩時，按照一定的程序反復(fù)操作，可使9個環(huán)分別解開，或合二為一，假設(shè)環(huán)的數(shù)量為，解開n連環(huán)所需總步數(shù)為，解下每個環(huán)的步數(shù)為，數(shù)列滿足：，，，則（）A. B.C. D.成等比數(shù)列【答案】AC【解析】因為，，，所以，，，，故AC正確，B錯誤；當(dāng)時，，即，則，所以不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.12.已知，分別是橢圓的左、右焦點，如圖，過的直線與C交于點A，與y軸交于點B，，，設(shè)C的離心率為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，，所以，，對于A，依題意，設(shè)，則，如圖，在中，，則，故或(舍去)，所以，故A正確；對于B，由選項A知，，則，在中，，即，故B正確；對于C，在中，，故C錯誤；對于D，由選項C可得，，中，，整理得，故，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上．13.已知，平面的法向量，若，則______．【答案】【解析】因為，所以與共線，又，，則，所以，.故答案為：.14.已知點，拋物線的焦點為為拋物線上的點，則周長的最小值為______．【答案】【解析】依題意，，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，分別過點作，為垂足，則，如圖，則，所以周長.故答案為：.15.圓與的位置關(guān)系為______；與圓，都內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程為______．【答案】內(nèi)含；【解析】依題意，圓心，半徑，圓心，半徑，所以，則兩圓內(nèi)含；設(shè)動圓的圓心，半徑為，則，，依橢圓的定義知，的軌跡為橢圓，其中，又，所以的軌跡方程為.故答案為：內(nèi)含；.16.已知數(shù)列滿足．且，若，則________．【答案】2024【解析】因為，所以，又，則，所以，故，則，所以，則bn的各項分別為，所以.故答案為：2024四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知圓，直線．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)圓的面積最大時，求直線被圓截得的弦長．解：（1）因為圓，可化為，由，得，故的取值范圍為.（2）因為，故當(dāng)時，半徑取得最大值，則圓的面積最大，此時，圓的方程為，圓心到直線的距離，則所求弦長為，故當(dāng)圓的面積最大時，直線被圓截得的弦長為.18.如圖,四棱錐中,都為等腰直角三角形，,，，，為的中點．（1）與平面是否平行？請說明理由；（2）求與平面所成角的余弦值．解：（1）都為等腰直角三角形，，平面，所以平面，又，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，易知平面的一個法向量為，則，所以與平面不平行.（2）由（1）得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，又，則，所以.故直線與平面所成角的余弦值為.19.在第19屆杭州亞運會上中國乒乓球隊勇奪6金．比賽采用“11分制”規(guī)則：11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位亞運選手進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.7，乙發(fā)球時乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨立，在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束．（1）求且甲獲勝；（2）求．解：（1）“且甲獲勝”就是平后，兩人又打了2個球比賽結(jié)束，則這兩個球均是甲得分.因此，且甲獲勝.（2）就是平后，兩人又打了4個球比賽結(jié)束，4個球的得分情況是：前2個球甲、乙各得1分，后2個球均是甲得分或均是乙得分，設(shè)事件“且甲獲勝”，事件“且乙獲勝”，則，，.20.已知動點與定點的距離等于點到的距離，設(shè)動點的軌跡為曲線．橢圓的一個焦點與曲線的焦點相同，且長軸長是短軸長的倍．（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）有心圓錐曲線（橢圓，圓，雙曲線）有下列結(jié)論：若為曲線上的點，過點作的切線，則切線的方程為．利用上述結(jié)論，解答問題：過作橢圓的切線（為切點），求的面積．解：（1）由拋物線定義可知，曲線為拋物線，為拋物線的焦點，則，所以的方程為；由，即，又，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)Ax由上述結(jié)論知，過點的橢圓的切線方程分別為，因為在兩條切線上，所以，即，則點的坐標(biāo)都滿足方程，故直線的方程為，聯(lián)立，得，解得，所以，而點到直線的距離，所以.21.設(shè)為數(shù)列的前n項和，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．解：（1）因為，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，兩式相減，得，整理得，即，所以，當(dāng)時，也滿足上式，所以.（2）因為，所以，則兩式相減得，，所以.22.已知雙曲線過點，離心率為，斜率為k的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且直線的斜率之和為0．（1）求雙曲線C的方程；（2）是否存在直線l，使得是以P為頂點的等腰三角形，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．解：（1）根據(jù)題意，，即，所以，則，因為雙曲線C:x2a所以，即，解得，則.所以雙曲線的方程為.（2）假設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由，設(shè)Ax1,由，得，即，整理得，.有，整理得，，當(dāng)時，直線為，顯然過點，不滿足題意；所以，即，直線，因為是以為頂點的等腰三角形，設(shè)的中點，則，即，由，得，解得，此時，故這樣的直線不存在.河南省信陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線在y軸上的截距為（）A. B. C.1012 D.2024【答案】B【解析】因為，令，得，所以直線在y軸上的截距為.故選：B.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項和為，若，則等于（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2048【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.直線m，n的方向向量分別為，平面的法向量為，則下列選項正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】若，則與共線向量，故A錯誤；若，則與共線向量，故B錯誤；若，則，故C錯誤；若，則，故D正確，故選：D4.直線與平行，則a的值為（）A.0 B. C.或0 D.或0【答案】C【解析】因為直線與平行，所以，解得或，當(dāng)時，兩直線分別為，，顯然平行，滿足題意；當(dāng)時，兩直線分別為，，也平行，滿足題意；綜上，或.故選：C.5.2023年9月第14屆中國國際園林博覽會在安徽合肥舉行．某媒體甲、乙、丙三名記者去河南園、北京園、香港園進行現(xiàn)場報道，若每個地方恰有一名記者，則甲去河南園的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記河南園、北京園、香港園分別為，則樣本空間(甲1，乙2，丙3)，(甲1，乙3，丙2)，(甲2，乙1，丙3)，(甲2，乙3，丙1)，(甲3，乙2，丙1)，(甲3，乙1，丙2)}，共6個基本事件，則甲去河南園的基本事件有2件，所以甲去河南園的概率為.故選：A.6.直線與拋物線交于A，B兩點，則（O為拋物線頂點）的值為（）A. B. C.4 D.12【答案】B【解析】由，得，易得，設(shè)，則，.故選：B.7.如圖,在平行六面體中，，，，，則等于（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】依題意，設(shè),，，因為，所以，，，，又，所以.故選：A.8.如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線C的左支交于點A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】依題意，設(shè)，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.方程（為常數(shù)）表示的曲線可能是（）A.直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】若，方程表示直線；若，方程表示橢圓；若，方程表示雙曲線；，方程不表示任何曲線；由于方程沒有一次項，方程不可能表示拋物線．故選：ABC．10.如圖，在正四棱柱中，M是的中點，，則（）A. B.平面C.二面角的余弦值為 D.到平面的距離為【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，，則，所以不垂直，故A錯誤；對于B，，所以，所以，是平面的一個法向量，即平面，故B正確；對于C，易知平面的一個法向量，而，所以二面角的余弦值為，故C正確；對于D，到平面的距離，故D正確.故選：BCD.11.九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝．《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載．九連環(huán)一般是用金屬絲制成圓形小環(huán)九枚，九環(huán)相連，套在條形橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄．玩時，按照一定的程序反復(fù)操作，可使9個環(huán)分別解開，或合二為一，假設(shè)環(huán)的數(shù)量為，解開n連環(huán)所需總步數(shù)為，解下每個環(huán)的步數(shù)為，數(shù)列滿足：，，，則（）A. B.C. D.成等比數(shù)列【答案】AC【解析】因為，，，所以，，，，故AC正確，B錯誤；當(dāng)時，，即，則，所以不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.12.已知，分別是橢圓的左、右焦點，如圖，過的直線與C交于點A，與y軸交于點B，，，設(shè)C的離心率為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，，所以，，對于A，依題意，設(shè)，則，如圖，在中，，則，故或(舍去)，所以，故A正確；對于B，由選項A知，，則，在中，，即，故B正確；對于C，在中，，故C錯誤；對于D，由選項C可得，，中，，整理得，故，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上．13.已知，平面的法向量，若，則______．【答案】【解析】因為，所以與共線，又，，則，所以，.故答案為：.14.已知點，拋物線的焦點為為拋物線上的點，則周長的最小值為______．【答案】【解析】依題意，，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，分別過點作，為垂足，則，如圖，則，所以周長.故答案為：.15.圓與的位置關(guān)系為______；與圓，都內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程為______．【答案】內(nèi)含；【解析】依題意，圓心，半徑，圓心，半徑，所以，則兩圓內(nèi)含；設(shè)動圓的圓心，半徑為，則，，依橢圓的定義知，的軌跡為橢圓，其中，又，所以的軌跡方程為.故答案為：內(nèi)含；.16.已知數(shù)列滿足．且，若，則________．【答案】2024【解析】因為，所以，又，則，所以，故，則，所以，則bn的各項分別為，所以.故答案為：2024四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知圓，直線．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)圓的面積最大時，求直線被圓截得的弦長．解：（1）因為圓，可化為，由，得，故的取值范圍為.（2）因為，故當(dāng)時，半徑取得最大值，則圓的面積最大，此時，圓的方程為，圓心到直線的距離，則所求弦長為，故當(dāng)圓的面積最大時，直線被圓截得的弦長為.18.如圖,四棱錐中,都為等腰直角三角形，,，，，為的中點．（1）與平面是否平行？請說明理由；（2）求與平面所成角的余弦值．解：（1）都為等腰直角三角形，，平面，所以平面，又，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，易知平面的一個法向量為，則，所以與平面不平行.（2）由（1）得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，又，則，所以.故直線與平面所成角的余弦值為.19.在第19屆杭州亞運會上中國乒乓球隊勇奪6金．比賽采用“11分制”規(guī)則：11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位亞運選手進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.7，乙發(fā)球時乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨立，在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束．（1）求且甲獲勝；（2）求．解：（1）“且甲獲勝”就是平后，兩人又打了2個球比賽結(jié)