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文檔簡介
2025屆廣東省惠州市惠東縣惠東榮超中學高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線經(jīng)過點,焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.2.在平面直角坐標系中,若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點,使不等式成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.已知雙曲線:(,)的焦距為.點為雙曲線的右頂點,若點到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.34.若直線與曲線相切,則()A.3 B. C.2 D.5.用1,2,3,4,5組成不含重復數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1206.在正方體中,,分別為,的中點,則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家和物理學家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學家.據(jù)說,他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.8.設為等差數(shù)列的前項和,若,則A. B.C. D.9.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.6124210.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.1911.函數(shù)(),當時,的值域為,則的范圍為()A. B. C. D.12.復數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對邊分別為,,.若;且,則周長的范圍為__________.14.近年來,新能源汽車技術不斷推陳出新,新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn),在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術作為新能源汽車的核心技術,它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上,車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000次的概率為85%,充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電,那么他的車能夠充電2500次的概率為______.15.的展開式中項的系數(shù)為_______.16.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點,則該雙曲線的標準方程為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.18.(12分)已知x∈R,設,,記函數(shù).(1)求函數(shù)取最小值時x的取值范圍;(2)設△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,求△ABC的面積S的最大值.19.(12分)已知函數(shù)()的圖象在處的切線為(為自然對數(shù)的底數(shù))(1)求的值;(2)若,且對任意恒成立,求的最大值.20.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當時,有兩個零點,證明:.(參考數(shù)據(jù):)21.(12分)已知拋物線:()的焦點到點的距離為.(1)求拋物線的方程;(2)過點作拋物線的兩條切線,切點分別為,,點、分別在第一和第二象限內(nèi),求的面積.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)對任意,都有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對一切,都有成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先求出,再求焦點坐標,最后求的斜率【詳解】解:拋物線經(jīng)過點,,,,故選:A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式,基礎題.2、B【解析】
依據(jù)線性約束條件畫出可行域,目標函數(shù)恒過,再分別討論的正負進一步確定目標函數(shù)與可行域的基本關系,即可求解【詳解】作出不等式對應的平面區(qū)域,如圖所示:其中,直線過定點,當時,不等式表示直線及其左邊的區(qū)域,不滿足題意;當時,直線的斜率,不等式表示直線下方的區(qū)域,不滿足題意;當時,直線的斜率,不等式表示直線上方的區(qū)域,要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點,使不等式成立,只需直線的斜率,解得.綜上可得實數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點睛】本題考查由目標函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題,分類討論與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題3、A【解析】
由點到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎.4、A【解析】
設切點為,對求導,得到,從而得到切線的斜率,結(jié)合直線方程的點斜式化簡得切線方程,聯(lián)立方程組,求得結(jié)果.【詳解】設切點為,∵,∴由①得,代入②得,則,,故選A.【點睛】該題考查的是有關直線與曲線相切求參數(shù)的問題,涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義,直線方程的點斜式,屬于簡單題目.5、A【解析】
對數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,利用分類計數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,同理也有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是個故選【點睛】本題主要考查了排列,組合及簡單計數(shù)問題,解題的關鍵是對數(shù)字分類討論,屬于基礎題。6、D【解析】
連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設正方體的棱長為2,取的中點為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設正方體的棱長為2,則,,在等腰中,取的中點為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計算能力.7、C【解析】
設球的半徑為R,根據(jù)組合體的關系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數(shù)學史了解,屬于基礎題.8、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,即,所以,故選C.9、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應用,屬基礎題。10、B【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.11、B【解析】
首先由,可得的范圍,結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像,可求的關于實數(shù)的不等式,解不等式即可求得范圍.【詳解】因為,所以,若值域為,所以只需,∴.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域,熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵,側(cè)重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).12、C【解析】
,分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求角,再用余弦定理找到邊的關系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長故答案為:【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件;基礎題.14、【解析】
記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A,“他的車能夠充電2500次”為事件B,即求條件概率:,由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A,“他的車能夠充電2500次”為事件B,即求條件概率:故答案為:【點睛】本題考查了條件概率的應用,考查了學生概念理解,數(shù)學應用,數(shù)學運算的能力,屬于基礎題.15、40【解析】
根據(jù)二項定理展開式,求得r的值,進而求得系數(shù).【詳解】根據(jù)二項定理展開式的通項式得所以,解得所以系數(shù)【點睛】本題考查了二項式定理的簡單應用,屬于基礎題.16、【解析】
設雙曲線方程為,代入點,計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為,則設雙曲線方程為:,代入點,則.故雙曲線方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線,設雙曲線方程為是解題的關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進而分類討論求解不等式即可;(2)先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當時,恒成立,;②當時,,即,;③當時,顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當且僅當時取等號)(當且僅當時取等號)(當且僅當時取等號)上述三式相加可得(當且僅當時取等號),,故得證.【點睛】本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應用,解題關鍵是掌握分類討論解決帶絕對值不等式的方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算,以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到f(x)=,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案;(2)先求出C的大小,再根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求出,根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】(1).令,k∈Z,即時,,取最小值,所以,所求的取值集合是;(2)由,得,因為,所以,所以,.在中,由余弦定理,得,即,當且僅當時取等號,所以的面積,因此的面積的最大值為.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運算和二倍角公式,兩角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面積公式,屬于中檔題.19、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】(1)對求導得,根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線為,列出方程組,即可求出的值;(2)由(1)可得,根據(jù)對任意恒成立,等價于對任意恒成立,構造,求出的單調(diào)性,由,,,,可得存在唯一的零點,使得,利用單調(diào)性可求出,即可求出的最大值.(1),.由題意知.(2)由(1)知:,∴對任意恒成立對任意恒成立對任意恒成立.令,則.由于,所以在上單調(diào)遞增.又,,,,所以存在唯一的,使得,且當時,,時,.即在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以.又,即,∴.∴.∵,∴.又因為對任意恒成立,又,∴.點睛:利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題,首先要構造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.20、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域為,,分和兩種情況討論,分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得出關于實數(shù)的不等式,進而可求得實數(shù)的取值范圍;(2)利用導數(shù)分析出函數(shù)在上遞增,在上遞減,可得出,由,構造函數(shù),證明出,進而得出,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,且.當時,對任意的,,此時函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為最大值;當時,令,得.當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以,函數(shù)在處取得極大值,亦即最大值,即,解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是;(2)當時,,定義域為,,當時,;當時,.所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個零點、且,,,構造函數(shù),其中,,令,,當時,,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,則.所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,,,即,即,,且,而函數(shù)在上為減函數(shù),所以,,因此,.【點睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù),同時也考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式,利用所證不等式的結(jié)構構造新函數(shù)是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于難題.21、(1)(2)【解析】
(1)因為,可得,即可求得答案;(2)分別設、的斜率為和,切點,,可得過點的拋物線的切線方程為:,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,得到關于一元二次方程,根據(jù),求得,,進而求得切點,坐標,根據(jù)兩點間距離公式求得,根據(jù)點到直線距離公式求得點到切線的距離,進而求得的面積.【詳解】(1),,解得,拋物線的方程為.(2)由題意可知,、的斜率都存在,分別設
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