2025屆菏澤市重點(diǎn)中學(xué)高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆菏澤市重點(diǎn)中學(xué)高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記（）.下列兩個(gè)命題（）①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯(cuò)誤2．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，設(shè)，當(dāng)最小時(shí)，的值為()A． B． C． D．3．一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．5．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（）A．點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值8．雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=09．已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b10．已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．如圖，平面與平面相交于，，，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直12．已知等差數(shù)列的公差為-2，前項(xiàng)和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．25二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，，則__________.14．已知數(shù)列滿足,且,則______.15．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線與所成角的余弦值為__________．16．已知正四棱柱的底面邊長為，側(cè)面的對(duì)角線長是，則這個(gè)正四棱柱的體積是____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.18．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若求的面積．19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2），，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)（），且只有一個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，且，證明：.21．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線，．（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線、交于、兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離．22．（10分）如圖，平面四邊形中，，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計(jì)算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.【詳解】因?yàn)?是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,所以,,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù),則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計(jì)算可知,數(shù)列中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng),故②錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.2、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、D【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.4、C【解析】略5、B【解析】

由已知向量的坐標(biāo)，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，設(shè)與的夾角為，，由于向量夾角范圍為：，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.6、B【解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面內(nèi)的相交直線平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，即點(diǎn)是線段上上的動(dòng)點(diǎn)．正確．對(duì)于，平面平面，和平面相交，與是異面直線，正確．對(duì)于，由知，平面平面，與不可能平行，錯(cuò)誤．對(duì)于，因?yàn)?，則到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8、A【解析】試題分析：漸近線方程是﹣y2=1，整理后就得到雙曲線的漸近線．解：雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程．屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，再利用冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點(diǎn)（2，8）在冪函數(shù)f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.10、D【解析】

由恒成立，等價(jià)于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?，分別作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時(shí)，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時(shí)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時(shí)，故.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.11、D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過不一定能作一平面與垂直，故錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.12、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減，再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng)，即可求出前n項(xiàng)和，從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2，可知數(shù)列單調(diào)遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內(nèi)角為，由余弦定理得，設(shè)首項(xiàng)為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項(xiàng)和.故的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查求前n項(xiàng)和的最值問題，同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和定理，屬于中檔題.14、【解析】

數(shù)列滿足知，數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列，再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列定義，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．15、【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標(biāo)系，寫個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.16、【解析】Aa設(shè)正四棱柱的高為h得到故得到正四棱柱的體積為故答案為54.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，從而得證；（Ⅱ）在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法得到二面角的余弦，即可得到的關(guān)系，從而得解；【詳解】解：（Ⅰ）證明：在中，，解得，則，從而因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫠云矫妫忠驗(yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，則設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則又平面的一個(gè)法向量，則從而，故則直線與平面所成的角為，大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用空間向量法解決立體幾何問題，屬于中檔題.18、（1）3（2）78【解析】試題分析：（1）由兩角和差公式得到，由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到，進(jìn)而求得數(shù)值；（2）由三角形的三個(gè)角的關(guān)系得到，再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析：（1）在中，由，得為銳角，所以，所以，所以.（2）在三角形中,由，所以，由，由正弦定理,得，所以的面積.19、（1）；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，將函數(shù)的及解析式變形為分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；（2）由參變量分離法得出在區(qū)間內(nèi)有解，分和討論，求得函數(shù)的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的值域?yàn)?；?）不等式等價(jià)于，即在區(qū)間內(nèi)有解當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值函數(shù)的值域與含絕對(duì)值不等式有解的問題，利用絕對(duì)值的應(yīng)用將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時(shí),取最小值,由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),觀察可知?jiǎng)t有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)（）,求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得，由,可知,因?yàn)闀r(shí),為增函數(shù)，即可得證得結(jié)論.【詳解】（1）（）.因?yàn)?，所以，令得，，且，，在上；在上；所以函?shù)在時(shí)，取最小值，當(dāng)最小值為0時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，易得，所以，解得.（2）由（1）得，函數(shù)，設(shè)（），則，設(shè)（），則，，所以為減函數(shù)，所以，即，所以，即，又，所以，又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學(xué)生分析問題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.21、（1）表示一條直線，是圓心為，半徑為的圓；（2）.【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可判斷出曲線的形狀，在曲線的方程兩邊同時(shí)乘以得，由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，由此可判斷出曲線的形狀；（2）由直線過圓的圓心，可得出為圓的一條直徑，進(jìn)而可得出.【詳解】（1），則曲線的普通方程為，曲線表示一條直線；由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．所以，曲線是圓心為，半徑為的圓；（2）由（1）知，點(diǎn)在直線上，直線過圓的圓心．因此，是圓的直徑，．【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點(diǎn)，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn)，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因?yàn)?所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，則有平面，