北京八中2024屆高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

北京八中2024屆高三二診模擬考試數(shù)學試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設全集U=R,集合A={小<2},B=|XX2-3X<01,貝!1(QA)B=()

A.(0,3)B.[2,3)C.(0,2)I).(0,+o))

3

2.己知明b,。分別為AABC內角A，B,C的對邊，a=\t4csinA=3cosC,AABC的面積為一，則。=()

2

A.20B.4C.5D.372

3.甲乙兩人有三個不同的學習小組A,?？梢詤⒓?，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參

加同一個小組的概率為（)

11〃1

A.—Bn.—C.—D.

3456

x~e

4.函數(shù)/（工）=的圖像大致為（

)=-,貝glim」+-!■+??t

5.已知無窮等比數(shù)列｛4｝的公比為2,-)=()

”->8q/3"T8生田

I24

A.B.-C.1D.-

333

6.設集合4={劃―2<見，2^eZ},fi={x|log2x<1},則A08=()

A.(0,2)B.(-2,2]C.{1}D.{-1,03,2}

,’2〃+1

7.已知數(shù)列｛4｝的通項公式是可=n'sin-----7i

I2則q+々2+%+…+42=(

A.0B.55C.66D.78

8.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面儀上，且Ag〃CD,若正方體的六個面所在的平面與直線

CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為〃備〃，則下列結論正確的是（）

D.〃什〃<8

9.己知函數(shù)/（x）=lnx,若/（上）=/（工）-3履2有2個零點，則實數(shù)出的取值范圍為（）

10.如圖，在等腰梯形ABC。中，AB//DC,AB=2DC=2AD=2fZZMB=60°,石為的中點，將AAOE

與兇區(qū)分別沿E。、EC向上折起，使A、B重合為點F,則三棱錐方—QCE的外接球的體積是（）

2

D.一兀

11.已知S“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若S3+q=S?,4=6,則S$=（）

A.5B.10C.15D.20

v-22

12.雙曲線C：—-v^-=1（/n>0）,左焦點到漸近線的距離為2,則雙曲線C的漸近線方程為（）

5m

A.2x±5y=OB.2_r±6，=0C.氐±2y=0D.氐±y=O

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知實數(shù)a,力，c滿足/+從+2（?=1,則a〃+c,的最小值是____.

14.在△ABC中，a=3,b=2指，B=2A,則cosA=.

15.某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為.

16.若函數(shù)/(犬)=［；工篇/則，(-5)=---------；/(/(-5))=----------.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環(huán)

保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數(shù)(AQ/)的檢測數(shù)據(jù)，結果統(tǒng)計如表:

AQ1[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]

空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染

天數(shù)61418272510

(1)從空氣質量指數(shù)屬于［0,50］,(50,100］的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率;

0,9W100

(2)已知某企業(yè)每天因空氣質量造成的經濟損失y(單位:元)與空氣質量指數(shù)x的關系式為y=220,l00<x<250,

1480,250Vx4300

假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為

月每天的空氣質量對應的概率以表中10。天的空氣質量的頻率代替.

63612126

(0記該企業(yè)9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元，求X的分布列；

(?)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元？說明你

的理由.

18.(12分)在三角形ABC中，角A,B,。的對邊分別為b,c,若宜=

3

(I)求角A;

(II)若c=5,cosB=-f求。.

7

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x-2|+|2x+m|,(meR).

(1)若優(yōu)=4時，解不等式“x)W6；

(2)若關于x的不等式/(x)W|2x-5|在xc[0,2]上有解，求實數(shù)旭的取值范圍.

20.(12分)在A48C,角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知cos3+(cos4—2sinA)cosC=0.

(1)求cosC的值；

(2)若〃=6，AC邊上的中線3加=姮，求AA3c的面積.

2

21.(12分)交通部門調查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性

駕駛員，其中平均車速超過905?/〃的有30人，不超過90的〃/?的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速

超過90切7的有5人，不超過90初〃〃的有15人.

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99.9%的把握認為，家庭轎車平均車速超過90公z/力與駕駛員的性

別有關；

平均車速超過90%2/〃平均車速不超過

合計

的人數(shù)90初"〃的人數(shù)

男性駕駛員

女性駕駛員

合計

(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體，隨機調查3輛家庭轎車,記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過90初?/〃

的人數(shù)為€，假定抽取的結果相互獨立，求〈的分布列和數(shù)學期望.

參考公式：K2=------也以一-.........其中〃=o+〃+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

P(KL%)0.0500.0250.0100.005().001

3.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)將棱長為2的正方體ABC。-截去三棱錐A-ACO后得到如圖所示幾何體，。為4G的中點.

H

(D求證：OB〃平面AC/；

(2)求二面角。一A。—0的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

可解出集合4,然后進行補集、交集的運算即可.

【詳解】

2A={x\x<2}則①笆)，因此，「區(qū)=[

B=<Jx-3x<0)=(O,3),f4=[2,(64)2,3).

故選：B.

【點睛】

本題考查補集和交集的運算，涉及一元二次不等式的求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.

2、D

【解析】

3413

由正弦定理可知4csin4=4</0m。=3<：08(7,從而可求出sinC=-,cosC=—.通過S38r=—absmC=—可求出

5522

b=5,結合余弦定理即可求出c的值.

【詳解】

解：4csinA=3cosC,即4csinA=3acosC

.\4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

vsin2C+cos2C=l,貝iJsinC=1,cosC=1.

JJ

1133

5,?C=—cibs\nC=-x\xbx-=-t解得b=5.

M2252

、4

c2=a2+b2-2abcosC=l+52-2xlx5x—=18,/.c=3夜

故選:D.

【點睛】

本題考直了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關系.本題的關鍵是通過

正弦定理結合已知條件，得到角C的正弦值余弦值.

3、A

【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有3x3=9種，兩個人參加同一個小組，方法數(shù)有3種，故概率為士3=士1.

93

4、A

【解析】

根據(jù)/。)>0排除C,D,利用極限思想進行排除即可.

【詳解】

解：函數(shù)的定義域為｛用工工。｝,/。)>0恒成立，排除C,D,

x

當x>0時，f(x)=—=xef當XTO,/(x)f0,排除8,

故選：

【點睛】

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關鍵，屬于基礎題.

5、A

【解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項q,再求出。2,利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結果。

【詳解】

因為無窮等比數(shù)列｛4｝的公比為2,則無窮等比數(shù)列｛'｝的公比為,。

42

J_

由lim('+'+…+」一)=J有，-S—=2,解得〃=2,所以4=4,

is%%生313

I---

4

lilTl(--+---+??,4----)=—,故選A。

2“%(4〃_1

4

【點睛】

本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應用。

6、C

【解析】

解對數(shù)不等式求得集合8,由此求得兩個集合的交集.

【詳解】

?

Slog2^＜l=log22,解得0＜大＜2,故B=(O,2)依題意A={T0,l,2},所以4。8={1}.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查對數(shù)不等式的解法，考查集合交集的概念和運算，屬于基礎題.

7、D

【解析】

先分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值，可進一步得到數(shù)列{4}的通項公式，然后代入

4+生+4+…+出轉化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結果.

【詳解】

解：由題意得，當〃為奇數(shù)時，sin(女尹乃)二sin(mr+,=sin乃+]=sin^=-l,

22

所以當〃為奇數(shù)時，an=-n.當〃為偶數(shù)時，an=n,

所以q+。2+。3+…+《2

=-12+22-32+42-------1P+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2—1)+(4+3)(4—3)+?一+(12+11)(1271)

=1+2+3+4+…+11+12

12x(1+12)

~2~

=78

故選：D

【點睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質應用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

8、A

【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關系分別求得相，”的值，即可比較各選項.

【詳解】

如下圖所示，CEu平面A3PQ,從而CE//平面4片以2，

易知CE與正方體的其余四個面所在平面均相交,

〃z=4,

???EF//平面BPAB1,"7/平面AQQiA，且族與正方體的其余四個面所在平面均相交，

/.〃=4,

???結合四個選項可知，只有"?二〃正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.

9、C

【解析】

令F(x)=/(x)-3履2=0,可得％二”，要使得尸。)=0有兩個實數(shù)解，即)，=攵和g(x)="有兩個交點，結

JX~3x~

合已知，即可求得答案.

【詳解】

令F(x)=/(x)-3kx2=0,

-r￡，Inx

可得攵二丁丁

3x~

InY

要使得F(x)=0有兩個實數(shù)解，即>=%和g(x)二丁丁有兩個交點,

3x

、1一21nx

g(M

令l-21nx=0,

可得;v=五，

???當xw(O,、Q時,g'(x)>o,函數(shù)g(x)在(0,五)上單調遞增;

當x￡(y[,+co)時，g'Cr)<0,函數(shù)g(x)在(〃,+8)上單調遞減.

二當犬=加時，以初皿=丁，

6e

???若直線>=%和g(x)="有兩個交點，則A[0,；'.

3rI6eJ

(1)

實數(shù)攵的取值范圍是0,—

I6eJ

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導數(shù)求單調性的步驟，考查

了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

10、A

【解析】

由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積.

【詳解】

由題意等腰梯形中D4=AE=E3=BC=CD,又NDW=60。，工AAED,ABCE是靠邊三角形，從而可得

DE=CE=CD,???折疊后三棱錐b-DEC是棱長為1的正四面體，

設M是ADCE的中心，則平面。CE,DM='h=2,FM=^FD2-DM2=—,

3233

廠—￡>CE外接球球心。必在高方、M上，設外接球半徑為R,即"'=0/)=7?,

故選；A.

【點睛】

本題考查求球的體積，解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.

11、C

【解析】

利用等差通項，設山，和d,然后，直接求解S5即可

【詳解】

3x2x

令。*=q-l)d,貝1|3。]+——-~■+4=4]+q+d,%+3d=6,a]=-3,d=3,

??.Ss=5x(—3)+10x3=15.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的求和問題，屬于基礎題

12、B

【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程而工-石)，=0,再利用左焦點到漸近線的距離為2,列方程即可求出〃7,進而求

出漸近線的方程.

【詳解】

設左焦點為(-c,o),一條漸近線的方程為J而工-逐y=0,由左焦點到漸近線的距離為2,可得J^L二詬=2,

7m+5

所以漸近線方程為)，=±登，即為2x±逐)，=0,

故選：B

【點睛】

本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點到直線的距離公式，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

先分離出/+/，應用基本不等式轉化為關于c的二次函數(shù)，進而求出最小值.

【詳解】

解：若他十。取最小值，則4。異號，C<0,

根據(jù)題意得：1一2<?=/+〃2,

又由CT+Z?2>21aq=-2ab,即有\(zhòng)-2c2>-lab，

，1（1Y9

貝?。┣?。之（？+?！?c+----?

2I4；16

9

即2a/?+c的最小值為--,

16

9

故答案為：-；

16

【點睛】

本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.

14、旦

3

【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算求值得解.

【詳解】

解：Va=3,b=2y[6>B=2Af

??.由正弦定理可得：-#-=^-=-

sinAsinB2sinAcosA

..b2娓瓜

??COS/1==---=?

2a2x33

故答案為如.

3

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應用，屬于基礎題.

4

15、-

3

【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.

【詳解】

如圖：

此四棱錐的高為夜，底面是長為夜，寬為2的矩形，

所以體積V=：x2xj2xj2=2.

33

4

所以本題答案為

【點睛】

本題考查幾何體與三視圖的對應關系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關鍵是準確

理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征，可以根據(jù)條件構建幾何模型，在幾何模型中進行判斷.

16、0

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入即可求解.

【詳解】

Iog(x-2)(^>2)

函數(shù)/（工）=，2

小+4)(x?2)'

所以/(一5)=/(-1)=/(3)=0,

/(/(-5))=/(0)=/(4)=1.

故答案為：0；1.

【點睛】

本題考查了分段函數(shù)求值的簡單應用，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

23

17、(1)—；(2)(D詳見解析；(2會超過；詳見解析

114

【解析】

(1)利用組合進行計算以及概率表示，可得結果.

(2)(/)寫出X所有可能取值，并計算相對應的概率，列出表格可得結果.

(?)由Q)的條件結合7月與8月空氣質量所對應的概率，可得7月與8月經濟損失的期望和，最后7月、8月、9

月經濟損失總額的數(shù)學期望與2.88萬元比較，可得結果.

【詳解】

(1)設J為選取的3天中空氣質量為優(yōu)的天數(shù)，

則尸(。=2)二筆］二焉，尸(<=3)=圣=］，

do鄧^2037

則這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率

為S3

3857114

20_1

(2)(0P(X=0)=P(0<x<100)=

Too-?

P(X=220)=P(100<x<250)=70__2_

To6-lo,

1()_1

P(X=1480)=P(250<x<300)=

ioo-Toy

X的分布列如下:

X02201480

71

P

510To

(ii)由(D可得:

E(X)=0x+220x—4-1480x—=302(元),

51()1()

故該企業(yè)9月的經濟損失的數(shù)學期望為30E(X),

即30E(X)=9060元,

設7月、8月每天因空氣質量造成的經濟損失為y元,

可得：尸(丫=°)=:+:=.，

632

P(Y=220)=-+—+—=-P(r=1480)=-,

'7612123t'76

E(V)=0x-+220x-+1480x-=320(元)，

636

所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質量造成

經濟損失總額的數(shù)學期望為320x（31+31）=19840（元），

由19840+9060=28900>28800,

即7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成

經濟損失總額的數(shù)學期望會超過2.88萬元.

【點睛】

本題考查概率中的分布列以及數(shù)學期望，屬基礎題。

18、（I）A=-（II）8

3

【解析】

（I）由余弦定理可得/=b2+c2—26ccosA,即可求出A,

（n）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.

【詳解】

（I）由余弦定理“2=b2+c2-2Z/CUOSA,

所以從十_/=2/?ccosA,

所以x」/;csinA=2bccosA,

32

即tanA=6，

因為0v人〈萬，

所以A=（；

（II）因為cos8=!，所以§m3=述，

77

因為sinC=sin（A+,

=sinAcosB+cosAsinB

_V3114V3_5x/3

272714

hrC

由正弦定理得「；=「；，所以方=［；-sin3=8.

sinBsinCsinC

【點睛】

本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形，屬于簡單題.

19、(1)<x|——<x<Oj(2)[—5,3]

【解析】

(D零點分段法，分xW—2,-2<x<2,xN2討論即可；

(2)當工€[0,2]時，原問題可轉化為：存在xw[0,2],使不等式一大一3《加《3-3/成立，即

(--3).<m<(3-3x)a?

【詳解】

解：(1)若m=4時，|工一2|+|21+4區(qū)6,

88

當xW-2時，原不等式可化為—x+2—2x—4K6,解得xN——，所以—一WxW—2,

33

當一2<兀<2時，原不等式可化為2-工+2x+4S6,解得xWO,所以—2<xK0,

4

當式之2時，原不等式可化為x—2+2x+4W6,解得工01,所以xw0,

8

綜上述：不等式的解集為；

(2)當2￡[0,2]時,由/(x)42x-5|得2-x+|2x+〃?區(qū)5-2工，

即|2x+m\<3-xf

t^x-3<2x+ni<3-x^-x-3<m<3-3xt

又由題意知：又％-3)1nM4加工(3-3月a,

即-5<m<3,

故〃?的范圍為[-5,3].

【點睛】

本題考道解絕對值不等式以及不等式能成立求參數(shù)，考查學生的運算能力，是一道容易題.

20、(1)cosC=—(2)答案不唯一，見解析

5

【解析】

(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得tanC=2,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系可得cosC的值;

(2)在M8C中，由余弦定理可得〃2一4〃+3=0,解方程分別由三角形面積公式可得答案.

【詳解】

解：(1)在AA8c'中，因為cos8=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

又己知cos8+(cosA-2sinA)cosC=0,

所以sinAsinC-2sin4cosc=0,

因為sinA/O,所以sinC-2cosc=0,于是tanC=2.

所以cosC=^.

5

⑵在M8C中，由余弦定理得3”=3c2+CM2_23CCM8SC，

得從-4b+3=0解得〃=1或8=3,

當〃=1時，AA8C的面積S=，4〃sinC=l,

2

當〃=3時，A48C的面積S=，4〃sinC=3.

2

【點睛】

本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類討論思想，屬于中檔題.

21、(1)填表見解析；有99.9%的把握認為，平均車速超過90如2//!與性別有關(2)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表，計算出K?的值，由此判斷出有99.9%的把握認為，平均車速超過90k%/〃

與性別有關.

(2)利用二項分布的知識計算出分布列和數(shù)學期望.

【詳解】

(1)

平均車速超過90h〃//z平均車速不超過

合計

的人數(shù)90機/人的人數(shù)

男性駕駛員301040

女性駕駛員51520

合計352560

,60x(30x15-5x10)26x16?…

*=------------------------------=--------?13.71,

40x20x35x257

13.71>10.828,所以有99.9%的把握認為，平均車速超過90幼?//!與性別有關.

(|51(1)

(2)J服從B3,—,即B3,—,

4

27

64

27

5)=哨J764

P/=2)=C；:9

14J4>64

\3

(3o/11

P(J=3)=C-

\464

所以4的分布列如下

40123

272791

P

64