分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤成因及對(duì)策1

分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤成因及對(duì)策鹽亭縣文同小學(xué)何曉成分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題歷來(lái)是教學(xué)的重點(diǎn)，學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，研究的熱點(diǎn)，關(guān)注的焦點(diǎn)問(wèn)題。在教學(xué)中常常出現(xiàn)種種錯(cuò)誤、原因以及對(duì)策，我做了一些初步的、粗淺的嘗試與研究，與廣大同仁交流分享。一、單位“1”的辨認(rèn)錯(cuò)誤找單位“1”是解決分?jǐn)?shù)乘除法問(wèn)題的首要任務(wù)和重要環(huán)節(jié)?？稍诮虒W(xué)實(shí)踐中學(xué)生“不找”、“亂找”、“錯(cuò)找”的現(xiàn)象屢屢發(fā)生，而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。例如，在半期檢測(cè)解決問(wèn)題中的5小題.新光農(nóng)場(chǎng)種白菜1200公頃，種的蘿卜是白菜的，蘿卜又是黃瓜的。種黃瓜多少公頃?大約的同學(xué)列出算式：（1）1200×=960（公頃）；（2）960×=720（公頃）。成因：教學(xué)常常發(fā)生單位“1”的量的錯(cuò)誤，教師對(duì)單位“1”的量教學(xué)的地位與作用認(rèn)識(shí)不足，學(xué)生方法與策略缺失。對(duì)策：（1）、加強(qiáng)單位“1”的意義的教學(xué)。通過(guò)豐富多樣，大量直觀的現(xiàn)實(shí)生活材料使學(xué)生在充分感知的基礎(chǔ)上再抽象概括出“一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位，許多物體組成的一個(gè)整體，都可以看作“單位1”；體會(huì)到從宏觀世界到微觀世界，萬(wàn)事萬(wàn)物都可以看成“單位1”。（2）緊抓關(guān)鍵語(yǔ)去辨認(rèn)單位“1”。誰(shuí)同誰(shuí)比，誰(shuí)是誰(shuí)的幾分之幾。（3）、適時(shí)歸納主要類(lèi)型。在小學(xué)數(shù)學(xué)中主要有這樣兩種類(lèi)型：一個(gè)量的部分同整體比，如我國(guó)人口大約占全世界人口的；一個(gè)量同另一個(gè)量比，如國(guó)旗的寬是長(zhǎng)的。（4）、掌握找單位“1”的常見(jiàn)方法。通過(guò)像語(yǔ)文中“擴(kuò)一擴(kuò)”的方法，更完整、更具體、更清晰、更準(zhǔn)確地找出單位“1”。如一桶油，用去了。讓學(xué)生補(bǔ)充完整就是“用去的是一桶油的”；又如一件衣服，降價(jià)了，補(bǔ)充完整就是“現(xiàn)價(jià)比原價(jià)降低了。再如，超額完成計(jì)劃，補(bǔ)充完整就是“實(shí)際比計(jì)劃多。教師在教學(xué)中有目的、有意識(shí)地通過(guò)“擴(kuò)一擴(kuò)、找一找、劃一劃、說(shuō)一說(shuō)”等形式訓(xùn)練，學(xué)生就不會(huì)出現(xiàn)單位“1”“張冠李戴”、“指鹿為馬”的現(xiàn)象。二、運(yùn)算方法的判斷錯(cuò)誤。如，有一種藥，每次吃半片，每天吃三次。這盒藥共12片，可以吃幾天？有的學(xué)生列出算式：×3×12成因：教師在教學(xué)中對(duì)運(yùn)算意義的認(rèn)識(shí)不足，重視不夠，策略不當(dāng)；學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的理解不深，判斷不明，運(yùn)用不當(dāng)?shù)脑斐?。?duì)策：強(qiáng)化現(xiàn)實(shí)情境和計(jì)算過(guò)程中進(jìn)行運(yùn)算意義的教學(xué)。由于運(yùn)算意義既是建立計(jì)算法則的基礎(chǔ)，又是判斷在什么場(chǎng)合運(yùn)用這種運(yùn)算的依據(jù)，所以，明確運(yùn)算的意義就成了教學(xué)的首要環(huán)節(jié)。新課標(biāo)教材淡化了“專(zhuān)題式”、“結(jié)語(yǔ)式”的分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算意義的教學(xué)，但并沒(méi)有弱化運(yùn)算意義的教學(xué)，反而強(qiáng)化在現(xiàn)實(shí)情境和計(jì)算過(guò)程中進(jìn)行運(yùn)算意義的教學(xué)。但在實(shí)際操作中，許多教師存在認(rèn)識(shí)的誤區(qū)和實(shí)踐的盲區(qū)。如有的教師就認(rèn)為“書(shū)上沒(méi)有的就不考，不考的就不用管，不用管的就不重要，就可以少教、甚至不教”；有的教師三言?xún)烧Z(yǔ)，一帶而過(guò)；有的教師視而不見(jiàn)，避而不談；有的教師急于求成，直接告之。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法時(shí)，我補(bǔ)充設(shè)計(jì)了相關(guān)練習(xí)，如用“畫(huà)一畫(huà)、折一折、說(shuō)一說(shuō)”等形式表示諸如×；÷2這類(lèi)算式的意義。又如，在學(xué)完稍復(fù)雜的乘除法問(wèn)題后，設(shè)計(jì)了這樣一組對(duì)比練習(xí)：根據(jù)已知條件，把問(wèn)題和算式用線連起來(lái)。學(xué)校有科技書(shū)360本，————————，故事書(shū)有多少本？科技書(shū)比故事書(shū)多360×（1+）故事書(shū)比科技書(shū)少360÷（1+）故事書(shū)是科技書(shū)的360×（1-）故事書(shū)比科技書(shū)多360÷（1-）科技書(shū)比故事書(shū)少360÷科技書(shū)是故事數(shù)的360×X+x=360X-x=360x=360實(shí)踐證明，在現(xiàn)實(shí)具體情景中、直觀操作活動(dòng)中、親身經(jīng)歷體驗(yàn)中，正反比較異同中，感悟內(nèi)化模型中。學(xué)生感知充分、理解深刻、記憶牢固、應(yīng)用靈活。二、數(shù)量關(guān)系的分析錯(cuò)誤。例如：一條水渠已經(jīng)修了全長(zhǎng)的，還剩240米。學(xué)生列出方程：x=240；又如：一捆鐵絲長(zhǎng)120米，第一次用去，第二次用去，還剩多少米？有的學(xué)生列出算式：120×（+）。成因：數(shù)量關(guān)系可以說(shuō)是正確解決分?jǐn)?shù)乘、除法問(wèn)題的關(guān)鍵之處，也是教學(xué)的重中之重，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在。尤其是小學(xué)生處于具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡階段。如何理解分析、探索發(fā)現(xiàn)、理解感悟、建立模型成了廣大數(shù)學(xué)教師要直面現(xiàn)實(shí)、理性思考、著力解決的問(wèn)題。在教學(xué)中，有的教師急功近利、急于求成，過(guò)早的直接的出示、傳授所謂的“竅門(mén)”和“結(jié)語(yǔ)”，學(xué)生死記結(jié)語(yǔ)，機(jī)械套用，重復(fù)訓(xùn)練。解決問(wèn)題變成了“搞鑒別、貼標(biāo)簽、記結(jié)語(yǔ)、套類(lèi)型”的操作式、流程式、機(jī)械式的過(guò)程，失去解決問(wèn)題為載體的培養(yǎng)學(xué)生“四基”“四能”的價(jià)值和作用，違背了教材編排的初衷。忽略學(xué)生的親身經(jīng)歷、觀察——發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題；動(dòng)手操作、自主探索——分析問(wèn)題；合作交流、理解感悟、構(gòu)建模型——解決問(wèn)題的過(guò)程。認(rèn)為省時(shí)省力，擠出大量的時(shí)間去做大量的練習(xí)，殊不知學(xué)生反復(fù)的做，反復(fù)的錯(cuò)，教師反復(fù)的講，反復(fù)的改。事與愿違，效果不佳。學(xué)生叫苦連天，教師苦不堪言。正因?yàn)橛辛私虒W(xué)中所經(jīng)歷的千辛萬(wàn)苦，才有在很多場(chǎng)合學(xué)習(xí)交流時(shí)的千呼萬(wàn)喚“有什么捷徑和絕招能又好又快地教會(huì)學(xué)生解決分?jǐn)?shù)乘除知識(shí)問(wèn)題呢？”對(duì)策：1、重視簡(jiǎn)單問(wèn)題在分析數(shù)量關(guān)系中的奠基性、“牽引式”作用。任何復(fù)雜的問(wèn)題都是由若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題組成，可以說(shuō)沒(méi)有簡(jiǎn)單就無(wú)所謂的復(fù)雜。簡(jiǎn)單的乘除法問(wèn)題結(jié)構(gòu)組成、解題思路、內(nèi)在聯(lián)系是相同、相通的?；镜臄?shù)量關(guān)系分析，基本策略的形成，基本經(jīng)驗(yàn)的積累對(duì)稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘除問(wèn)題的正向遷移不可低估的。有的教師重視不足，思考不周，預(yù)設(shè)不夠，策略不當(dāng)，指導(dǎo)不力。認(rèn)為簡(jiǎn)單問(wèn)題數(shù)量關(guān)系、列式計(jì)算簡(jiǎn)單，再加之書(shū)上練習(xí)寥寥無(wú)幾，屈指可數(shù)。教師也就草率、簡(jiǎn)單、馬虎地教過(guò)去了。我卻用足心思、花足時(shí)間、做足文章。在教學(xué)中做到了分散難點(diǎn)，提前滲透，夯實(shí)基礎(chǔ)，逐步提升。增設(shè)了適量的專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，如“一找、二畫(huà)、三寫(xiě)、四列”。即找出數(shù)量關(guān)系語(yǔ)——找準(zhǔn)單位“1”——畫(huà)出線段圖——寫(xiě)出數(shù)量關(guān)系式——列出算式。文、圖、式三位一體，用圖形語(yǔ)言，直觀手段，揭示數(shù)量之間的關(guān)系，發(fā)揮直觀形象思維對(duì)抽象邏輯思維支持作用的同時(shí)，讓學(xué)生逐漸感受到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。2、凸顯線段圖在分析數(shù)量關(guān)系中的直觀性、“支撐式”作用。在教學(xué)稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘除法問(wèn)題時(shí)，尤其注重畫(huà)線段圖——變“析”數(shù)量關(guān)系為“畫(huà)”數(shù)量關(guān)系。通過(guò)學(xué)生看畫(huà)、師生同畫(huà)、學(xué)生自畫(huà)。讓學(xué)生看線段圖，找數(shù)量關(guān)系，說(shuō)數(shù)量關(guān)系。實(shí)現(xiàn)抽象到形象，間接到直接等相互轉(zhuǎn)化，相互融合。通過(guò)系列化、操作化、過(guò)程化、常態(tài)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，我班的95%學(xué)生的學(xué)生都學(xué)會(huì)畫(huà)線段圖。起初看似繁瑣、耽誤時(shí)間，有的直感納悶，有的直叫麻煩，有的直喊啰嗦，卻出其不意地收到事半功倍的效果，學(xué)生一個(gè)個(gè)如獲至寶。通過(guò)全面系統(tǒng)，循序漸進(jìn)，持之以恒，扎實(shí)有效的訓(xùn)練，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中如魚(yú)得水，游刃有余，輕松自如時(shí)感到老師的苦心和所花的苦功沒(méi)有白費(fèi)。3、注重設(shè)計(jì)開(kāi)放性題組練習(xí)在分析數(shù)量中的多變性、“助推式”作用。從而提高學(xué)生理解問(wèn)題能力，分析問(wèn)題能力，解決問(wèn)題能力，提高學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、靈活性。（1）學(xué)校在十月份舉行開(kāi)展“讀書(shū)月”活動(dòng)，小明看一本動(dòng)漫書(shū)，看了全書(shū)的，正好看了75頁(yè)。這本書(shū)共多少頁(yè)？（2）學(xué)校在十月份舉行開(kāi)展“讀書(shū)月”活動(dòng)，小明看一本動(dòng)漫書(shū)，看了全書(shū)的，還有105頁(yè)沒(méi)看。這本書(shū)共多少頁(yè)？（3）學(xué)校在十月份舉行開(kāi)展“讀書(shū)月”活動(dòng)，小明看一本動(dòng)漫書(shū)，第一周看了全書(shū)的，第二周看了全書(shū)的，兩周共看了75頁(yè)。這本書(shū)共多少頁(yè)？（4）學(xué)校在十月份舉行開(kāi)展“讀書(shū)月”活動(dòng)，小明看一本動(dòng)漫書(shū)，第一周看了全書(shū)的，第二周看了全書(shū)的，第一周比第二周少看了15頁(yè)。這本書(shū)共多少頁(yè)？（5）學(xué)校在十月份舉行開(kāi)展“讀書(shū)月”活動(dòng)，小明看一本動(dòng)漫書(shū)，第一周看了全書(shū)的，第二周看了全書(shū)的，還剩105頁(yè)沒(méi)看。這本書(shū)共多少頁(yè)？4、突出方程解在分析數(shù)量關(guān)系中的同一性、便捷式作用。方程在解決稍復(fù)雜數(shù)的“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少求這個(gè)數(shù)”的問(wèn)題時(shí)與算術(shù)解稍復(fù)雜的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？”問(wèn)題數(shù)量關(guān)系、解題思路是相同的；不同是在前者中單位1是未知的，在后者是已知的。在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)只要順著題意就能很容易思考，降低了思考的難度和操作的難度，而且充分滲透了數(shù)形結(jié)合思想、對(duì)應(yīng)思想、方程思想，也順利實(shí)現(xiàn)了小學(xué)與初中知識(shí)的自然有效銜接，充分體驗(yàn)了方程解稍復(fù)雜問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)。四、數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率錯(cuò)誤。例如，大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)80周，比小齒輪每分鐘少。小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少周？有的學(xué)生列出的算式：80÷=80×=100又如，一件衣服便宜了15%后是340元，原價(jià)多少元？有的學(xué)生列出算式：15%x=340,340÷15%.成因：學(xué)生對(duì)于一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的概念本身的抽象程度，再加之學(xué)生對(duì)于問(wèn)題情景本身的熟悉程度，對(duì)關(guān)鍵信息的理解程度的差異造成了錯(cuò)誤。對(duì)策：在教學(xué)中，教師可以借助線段圖，幫助學(xué)生增進(jìn)理解；可以設(shè)計(jì)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，強(qiáng)化認(rèn)知，熟練掌握。如，六年級(jí)一班男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是5：3，你聯(lián)想到了什么？生1：男生人數(shù)是女生的；生2：女生人數(shù)是男生的；生3：男生人數(shù)是全班的；生4：女生人數(shù)是全班的；生5：男生人數(shù)比女生多；生6：女生人數(shù)比男生少。又如，運(yùn)來(lái)梨的千克數(shù)比蘋(píng)果多，你聯(lián)想到了什么？生1：運(yùn)來(lái)蘋(píng)果的千克數(shù)是單位“1”的量生2：運(yùn)來(lái)梨比蘋(píng)果多的千克數(shù)是蘋(píng)果的千克數(shù)的；生3：運(yùn)來(lái)梨的千克數(shù)是蘋(píng)果的（1+），生4：運(yùn)來(lái)梨的千克數(shù)=運(yùn)來(lái)蘋(píng)果的千克數(shù)×（1+）……。五、分率與數(shù)量混淆錯(cuò)誤。例如，一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，已經(jīng)行了全程的，距離乙地還有120千米，甲乙兩地相距多遠(yuǎn)？有的學(xué)生列出方程：x-=120;又如，一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，EQ小時(shí)行了24千米，剛好行到全程的中點(diǎn)，甲乙兩地相距多遠(yuǎn)？有的學(xué)生列出算式：24÷×2成因：在教學(xué)中，學(xué)生發(fā)生這樣的現(xiàn)象屢見(jiàn)不鮮，屢錯(cuò)屢犯。其主要原因是學(xué)生對(duì)分率與具體數(shù)量相互混用?；蛘邲](méi)有注意，沒(méi)有弄懂，沒(méi)有分清分率與具體數(shù)量的異同。對(duì)策:因此教師要精心設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)。加強(qiáng)對(duì)比，注意區(qū)分，避免混淆，正確應(yīng)用。六、計(jì)算粗心導(dǎo)致錯(cuò)誤。如，2000年第五次全國(guó)人口普查結(jié)果表明，我國(guó)人口最多的兩個(gè)省是河南和山東，山東約有9000萬(wàn)人，約比河南少，河南大約有多少萬(wàn)人？有的學(xué)生列出算式：9000÷（1-）成因：個(gè)別學(xué)生字跡潦草，書(shū)寫(xiě)不工整，格式不規(guī)范，常常把“6”看成、寫(xiě)成“0”或“9”，0看成、寫(xiě)成“6”或“9”等類(lèi)似現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生。有些學(xué)生計(jì)算掌握不熟練，不牢固，有些計(jì)算不仔細(xì)，不檢查造成的。新課程改革后，由于計(jì)算器的介入，計(jì)算內(nèi)容編排的調(diào)整，學(xué)生計(jì)算能力普遍下降成了不爭(zhēng)的事實(shí)，已經(jīng)引起廣泛關(guān)注。對(duì)策：加強(qiáng)學(xué)生計(jì)算能力的教學(xué)，做到算前留心讀題、抄題做到一字不漏，每抄必校；算時(shí)用心計(jì)算，一絲不茍，步步為“贏”；算后細(xì)心檢查，一道不落，分分必爭(zhēng)，養(yǎng)成認(rèn)真、仔細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)攘己玫臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。七、整數(shù)知識(shí)的負(fù)遷移導(dǎo)致錯(cuò)誤。例如，一臺(tái)收音機(jī)68元，比原價(jià)降低了，原價(jià)多少元？有的學(xué)生列出算式：68×（1+）。學(xué)生是這樣想的：現(xiàn)在比原來(lái)降低了，就是原來(lái)比現(xiàn)在多了，所以原來(lái)就是現(xiàn)在的1+，所以用68×（1+）來(lái)計(jì)算。成因：其實(shí)學(xué)生之所以會(huì)列出“68×（1+）”這個(gè)算式，從表面上看，是因?yàn)橐驗(yàn)閷W(xué)生沒(méi)有找準(zhǔn)單位”1”的量，其實(shí)學(xué)生出錯(cuò)最根本的原因是整數(shù)解決問(wèn)題某些知識(shí)的負(fù)遷移產(chǎn)生的混淆。學(xué)生知道，現(xiàn)在比原來(lái)少15元，就是原來(lái)比現(xiàn)在多15元，所以理所當(dāng)然地認(rèn)為現(xiàn)在比原來(lái)少了，就是原來(lái)比現(xiàn)在多了。這是個(gè)別學(xué)生反映的問(wèn)題但具有普遍性、典型性、價(jià)值型的問(wèn)題。它對(duì)于學(xué)生解決分?jǐn)?shù)乘、除法問(wèn)題的影響是顯而易見(jiàn)。對(duì)策：教學(xué)中，要巧妙利用、理性對(duì)待、充分關(guān)注，加以修正。八、多余信息的干擾導(dǎo)致錯(cuò)誤。一杯250ml的鮮牛奶大約含有g(shù)鈣質(zhì)，占一個(gè)成年人一天所需鈣質(zhì)的。一個(gè)成年人一天大約需要多少鈣質(zhì)？有的學(xué)生列出的算式：250×÷成因：由于新教材大量引入了生活性、現(xiàn)實(shí)性、價(jià)值性的社會(huì)生活內(nèi)容，解決問(wèn)題一改以前文字?jǐn)⑹龃舭?，選取內(nèi)容枯燥、呈現(xiàn)形式單一的面孔。有的情景式，對(duì)話式、圖畫(huà)式，圖文式、表格式等內(nèi)容新穎，形式靈活富有現(xiàn)實(shí)意義、生活情趣的題目。有的圖文混雜，有的信息多元，有的條件分離，有的變式較大等開(kāi)放性問(wèn)題。部分學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力、理解能力、審題能力的欠缺，一頭霧水，無(wú)所適從，無(wú)從下手。對(duì)策：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材提供的信息作出簡(jiǎn)單分析，經(jīng)歷把生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，初步形成收集、分析、處理的能力。教師注意學(xué)生審題能力的培養(yǎng)，多引領(lǐng)學(xué)生指讀、精讀、細(xì)讀、重讀題目，邊讀邊思考：題目有哪些條件，要求什么問(wèn)題？哪兩個(gè)條件有關(guān)系，可以求出什么？問(wèn)題和條件之間存在什么關(guān)系？與哪些條件真正有關(guān)？與哪些條件無(wú)關(guān)？逐字逐