機械工程測試技術（第3版）課件：周期信號及其離散頻譜

掌握周期信號的描述方法周期信號的分析方法周期信號與諧波信號的關系周期信號的離散頻譜特性傅立葉級數(shù)的主要性質(zhì)及應用

周期信號及其離散頻譜學習重點一、周期信號的定義按一定時間T

不斷重復出現(xiàn)的信號

x

(

t

)＝

x

(

t

+

nT

)

，T稱為周期。簡單周期信號復雜周期信號簡單的周期信號，如正弦信號，頻率單一，又稱為諧波信號。x(t)=Asin(Ot

+Q)

復雜周期信號是由頻率比為有理數(shù)的不同頻率的正弦信號迭加而成。x(t)=sin

t

+sin3t

+sin5t任何周期函數(shù)，都可以展開成由正交函數(shù)線

性組合的無窮級數(shù)(如三角函數(shù)集的傅里葉級數(shù)):{cosnO0

t,sinnO0

t}二

、

周期信號的頻譜分析1.Dirichlet條件信號X(t)在一個周期內(nèi)：(連續(xù)|〈只有有限個第一類間斷點

|只有有限個極值點三、

Fourier級數(shù)的三角展開式1.左極限右極限，即f(x0-0)f(x0+0)2.左極限＝右極限，但f(x0)即f(x0-0)＝f(x0+0)f(x0)3.左極限＝右極限，但f(x0)不確定第

一

類間斷點中學時曾受教于物理學家G.S.歐姆；1822~

1826年在巴黎求學，深受J.B.J.傅里葉的影響。

回國后先后在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任

C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。狄里克利Dirichlet

(1805~1859)，德國數(shù)

學家。對數(shù)論、數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。Fourier傅里葉?1768年生于法國?1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”?1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”?1829年狄里克利為他證明,

第一個給出收斂條件(拉格

朗日反對發(fā)表)任何周期信號X(t)

，在滿足Dirichlet條件時，均可以展開成Fourier級數(shù)，且級數(shù)收斂。測試技術中的周期信號，大都滿足該條件2.

周期函數(shù)的Fourier級數(shù)三角展開(同頻項合并)

變形為：x(t)

=

a0

+

An

sin(nO0t

+Qn

)

x(t)=a0

+

(an

cosnO0t+bn

sinnO0t)n=1周期信號Fourier級數(shù)的表達形式：(n

=1,2,,3,...)(n

=1,2,,3,...)n=1

An――某頻率分量的幅值φn――某頻率分量的相位

(相角)An-O稱為幅頻譜，Qn-O稱為相頻譜，

統(tǒng)稱為頻譜。?由于n為整數(shù)，各頻率分量僅在ω＝nω0處取值，因而得到的是關于幅值An和相角φn的離散譜線。周期信號的頻譜是離散的!?常值a0為周期信號的平均值或直流分量

；?從n=1開始，分別稱為信號的一次諧波(基波)

、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波；討論“和諧”這個詞最早起源于音樂，要想讓樂器發(fā)出優(yōu)美的樂章，必須在恰當?shù)臅r刻，把琴弦繃到恰當?shù)膹埩?幅值)，太松

沒有聲音、太緊就會崩斷。傅里葉老師告訴我們：任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅、不同相位的各個正弦波的疊加。Why要把周期信號展開為博里葉級數(shù)？主要目的：了解周期信號含有哪些頻率分量？各分量振幅、相位的比例關系，這種關系就是信號的“頻率特性”。其中，振幅與頻率的關系稱為幅頻特性，相位與頻率的關系稱為相頻特性。尋找信號頻率特性的過程，稱為信號的

頻譜分析隨著正弦波數(shù)量逐漸增多，最終可以疊加成一個標

準的矩形，大家從中體會到了什么道理？只要努力，彎的都能掰直！但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標準90角

的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個---奮斗永無止境。不僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如法炮制用正弦波疊加起來。世界上每一個看似混亂的表象，都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，這個曲線實際都是由無窮無盡的正弦波組成。

看似不規(guī)律的事情，是規(guī)律的正弦波的疊加。?三角傅立葉級數(shù)與指數(shù)傅立葉級數(shù)并不是兩種不同類

型的級數(shù)，而只是同一級數(shù)的兩種不同的表示方法。

指數(shù)形式比三角形式更簡化、更便于計算。?周期信號另一種更常用的表示方法是傅立葉級數(shù)的指

數(shù)表示法，稱為指數(shù)

(復數(shù))

傅立葉級數(shù)。四、指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)v離散性：周期信號的頻譜是離散譜，每一條

譜線代表一個頻率分量。信號的頻譜是由間隔為ω0

的譜線組成的，信號周期T越大，ω0就越小，則譜線越密。反之，T越小，ω0越大，譜線則越疏。v諧波性：頻譜中的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處。v收斂性：各頻率分量的譜線高度(幅值)隨著頻率的升高而減小(最終趨于零)，頻率越高，幅值越小。五、