湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

2024年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試題一、單選題（每題5分，共40分）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.若，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.3.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件4已知向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.4 D.165.已知，都是銳角，，，則（）A. B. C. D.6.有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個(gè)，黑球.甲、乙兩人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第局甲獲勝的概率為，則關(guān)于以下兩個(gè)命題判斷正確的是（）①，且；②若第七局甲獲勝概率不小于0.9，則不小于1992.A.①②都是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①②都是假命題7.已知，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.466 B.467 C.932 D.933二、多選題（每題5分，共20分）9.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.不共線，且，則.B.若向量，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C.已知，則在上的投影的坐標(biāo)為D.已知點(diǎn)為的垂心，則10.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為上一點(diǎn)，，分別在直線上，，則：（）.A.B.C.若平面且到距離相等，則直線與的夾角正弦值為D.的最小值為11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為12.如圖，圓錐的底面直徑和母線長均為6，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值為B.當(dāng)時(shí)，四面體的體積為C.當(dāng)且面時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，三、填空題（每題5分，共20分）13.已知函數(shù).若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是______.14.已知，且，則_____________.15.一只盒子中裝有4個(gè)形狀大小相同的小球，小球上標(biāo)有4個(gè)不同的數(shù)字.摸球人不知最大數(shù)字是多少，每次等可能地從中摸出一個(gè)球，不放回.摸球人決定放棄前面兩次摸出的球，從第3次開始，如果摸出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于前面摸出的球上的數(shù)字，就把這個(gè)球保存下來，摸球結(jié)束，否則繼續(xù)摸球.問摸球人最后保存下來是數(shù)字最大的球的概率是______.16.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)（其中在第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則直線的斜率為_____.四、解答題（共70分）17.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)恒成立，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求實(shí)數(shù)的值；（2）若，數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，.集合中元素的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.19.已知，數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足；數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請說明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，在的圖象上有一點(diǎn)列，直線的斜率為，求證：．21.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩?防護(hù)服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量?該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.（1）求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再從中抽取3個(gè)，記其中一級口罩個(gè)數(shù)為，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”勞動節(jié)前，甲?乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號口罩某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加兩店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購，其中每個(gè)訂單由個(gè)該型號口罩構(gòu)成.假定甲?乙兩人在兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，記甲?乙兩人搶購成功的口罩總數(shù)量為，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時(shí)正整數(shù)的值.22.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為