人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修3)《6.7排列、組合的綜合應(yīng)用》同步測試題含答案

第第頁人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修3)《6.7排列、組合的綜合應(yīng)用》同步測試題含答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．（2022秋·河南南陽·高二階段練習(xí)）用0?1?2?3四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).(1)把這些自然數(shù)從小到大排成一個數(shù)列，1230是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)其中的四位數(shù)中偶數(shù)有多少個？所有這些偶數(shù)它們各個數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？3．（2022·高二課時練習(xí)）從5名教師中挑選2人，分別擔(dān)任兩個班的班主任，有多少種不同的安排方案？4．（2022春·上海嘉定·高二期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位數(shù)？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號為A,B,C,D,E,F,G）排成一排拍照，若其中A,B,C三人互不相鄰，D，E兩人也不相鄰，而F，G兩人必須相鄰，求不同的排法總數(shù)．6．（2022·高二課時練習(xí)）從1到7的7個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).試問：（1）五位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個？（2）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）7．（2022·高二單元測試）4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？8．（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）某人設(shè)計(jì)了一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示的正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為ii=1,2,???6，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去，則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A9．（2022春·天津河西·高二期中）從1、3、5、7、9這五個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，從0、2、4、6這四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字.(1)共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?(2)共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有編號分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的7個不同的小球，將這些小球排成一排（1）若要求A，B，C相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若要求A排在正中間，且B，C，D各不相鄰，則有多少種不同的排法？11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)有編號為1、2、3、4、5的5個球和編號為1、2、3、4、5的5個盒子，現(xiàn)將這5個球放入5個盒子內(nèi)．(1)只有1個盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒有1個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？(3)每個盒子內(nèi)投放1球，并且至少有2個球的編號與盒子編號相同，有多少種投放方法？12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4這5個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？(1)偶數(shù)：(2)左起第二?四位是奇數(shù)的偶數(shù)；(3)比21034大的偶數(shù).13．（2022秋·浙江金華·高二階段練習(xí)）從1，3，5，7中任取兩個數(shù)，從0，2，4，6中任取兩個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(1)可以組成多少個四位偶數(shù)？(2)可以組成多少個兩個奇數(shù)數(shù)字相鄰的四位數(shù)？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過A,B,C,D,E,5道工序．(1)如果工序A不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）(2)如果工序A,B必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）杭州亞運(yùn)會將于2022年9月10日至25日舉行，相關(guān)部門計(jì)劃將6名志愿者分配到亞運(yùn)會三個不同的運(yùn)動場館做服務(wù)工作，每個崗位至少1人.(1)一共有多少種不同的分配方案？(2)若6名志愿者中的甲和乙必須分配在同一個場館工作，則共有多少種不同的分配方案？16．（2022春·福建三明·高二期中）在班級主題班會活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：(1)4名男生相鄰有多少種不同的站法？(2)從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色的朗誦，有多少種選派方法？（寫出必要的數(shù)學(xué)式和過程，結(jié)果用數(shù)字作答）17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4五個數(shù)字．(1)可以排成多少個不重復(fù)的能被2整除的五位數(shù)？(2)可以排成多少個四位數(shù)？(3)可以排成多少個四位數(shù)字的電話號碼？18．（2022春·河北衡水·高二階段練習(xí)）為弘揚(yáng)我國古代的六藝文化，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)禮樂射御書數(shù)六門體驗(yàn)課程.(1)若體驗(yàn)課連續(xù)開設(shè)六周，每周一門，求其中射不排在第一周，數(shù)不排在最后一周的所有可能排法種數(shù)；(2)甲?乙?丙?丁?戊五名教師在教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任教數(shù)的課程安排方案種數(shù).19．（2022秋·吉林長春·高二考階段練習(xí)）從5名男生和4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競賽．(1)如果選出的4人中男生、女生各2人，那么有多少種選法？(2)如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，那么有多少種選法？(3)如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁，將這4人派往2個考點(diǎn)，每個考點(diǎn)至少1人，那么有多少種派送方式？20．（2022春·浙江湖州·高二期中）從0,2,4,6中任取3個數(shù)字，從1,3,5中任取2個數(shù)字．(1)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被10整除的有多少個？(2)一共可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(3)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)排在奇數(shù)位上的共有多少個？21．（2022春·高二單元測試）班上每個小組有12名同學(xué)，現(xiàn)要從每個小組選4名同學(xué)代表本組與其他小組進(jìn)行辯論賽．(1)每個小組有多少種選法?(2)如果還要從選出的同學(xué)中指定1名作替補(bǔ)，那么每個小組有多少種選法?(3)如果還要將選出的同學(xué)分別指定為第一、二、三、四辯手，那么每個小組有多少種選法？22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用0、1、2、3、4五個數(shù)字:(1)可組成多少個五位數(shù)；(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；(3)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；(4)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．23．（2022秋·北京昌平·高二期末）有7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少種不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？24．（2022春·河北唐山·高二階段練習(xí)）有4個編號為1，2，3，4的小球，4個編號為1，2，3，4的盒子，現(xiàn)需把球全部放進(jìn)盒子里，（最后結(jié)果用數(shù)字作答）(1)沒有空盒子的方法共有多少種？(2)可以有空盒子的方法共有多少種？(3)恰有1個盒子不放球，共有多少種方法？(4)恰有一個小球放入自己編號的盒中，有多少種不同的放法？25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)．按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答．(1)從中選出2名男生和2名女生排成一列；(2)全體站成一排，男生不能站一起；(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾．(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起，而丙、丁不能站在一起；26．（2022春·吉林長春·高二階段練習(xí)）一個正方形花圃被分成5份．（1）若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法?（2）若將6個不同的盆栽都擺放入這5個部分，且要求每個部分至少有一個盆栽，問有多少種不同的放法?27．（2022春·江蘇無錫·高二期中）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于O，現(xiàn)用五種顏色（其中一種為紅色）對圖中四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO進(jìn)行染色，且每個三角形用一種顏色染．(1)若必須使用紅色，求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù)；(2)若不使用紅色，求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù).28．（2022秋·吉林長春·高二階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組有3個男生和4個女生共7人：(1)將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？(2)將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？(3)從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？(4)現(xiàn)有7個座位連成一排，僅安排4個女生就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有多少種？29．（2022春·廣東廣州·高二期中）按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.30．（2022春·河北石家莊·高二階段練習(xí)）（1）如圖，從左到右有5個空格.（i）若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數(shù)，要求每個數(shù)都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？（ii）若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍(lán)3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？（iii）若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？（2）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱ABC?A（i）若每個底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？（ii）若每條棱的兩個端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？（注：最終結(jié)果均用數(shù)字作答）參考答案1．（2022秋·河南南陽·高二階段練習(xí)）用0?1?2?3四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).(1)把這些自然數(shù)從小到大排成一個數(shù)列，1230是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)其中的四位數(shù)中偶數(shù)有多少個？所有這些偶數(shù)它們各個數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？【解題思路】（1）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理討論1位自然數(shù)?2位自然數(shù)?3位自然數(shù)?4位自然數(shù)的情況即可；（2）利用分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【解答過程】（1）1位自然數(shù)有C42位自然數(shù)有C33位自然數(shù)有C34位自然數(shù)中小于1230的有“10XX”型A2所以1230是此數(shù)列的第4+9+18+3+1=35項(xiàng).（2）四位數(shù)偶數(shù)有個位是0和個位是2兩種情況，其中個位是0有A33=6所以四位偶數(shù)共有10個.它們各個數(shù)位上的數(shù)字之和為10×0+1+2+32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？【解題思路】根據(jù)題意先對6本書進(jìn)行分組，因?yàn)槠骄殖傻慕M，不管他們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要除以A3【解答過程】6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為C6故答案為：15.3．（2022·高二課時練習(xí)）從5名教師中挑選2人，分別擔(dān)任兩個班的班主任，有多少種不同的安排方案？【解題思路】可分兩步走：①從5名教師中挑選2人，②將選中的二人安排到兩個班；故利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案﹒【解答過程】可分兩步完成：①從5名教師中挑選2人，共C52＝10種方法，②將選中的2人安排到兩個班，共4．（2022春·上海嘉定·高二期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位數(shù)？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？【解題思路】（1）分?jǐn)?shù)字重復(fù)和不重復(fù)討論，根據(jù)排列組合計(jì)算即可.（2）偶數(shù)先確定個位數(shù)字為0或2或4，再分三類討論，最后根據(jù)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過程】解：（1）①若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)有：C5②若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)有：54綜上所述，結(jié)論是：若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復(fù)，可組成120個四位數(shù)；若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復(fù)，可組成625個四位數(shù).（2）滿足偶數(shù)按個位數(shù)字分成三類：個位是0或2或4，①個位是0的，即需要從1，2，3，4，5這5個數(shù)中選出3個分別放在千、百、十位，有C5②個位是2的，千位需要從1，3，4，5這4個數(shù)中選出1個有4種選法，從剩下的4個數(shù)字中選出2個分別放在百位、十位，有C41?③個位是4的，也有48個；綜上所述，用0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有60+48+48=156個.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號為A,B,C,D,E,F,G）排成一排拍照，若其中A,B,C三人互不相鄰，D，E兩人也不相鄰，而F，G兩人必須相鄰，求不同的排法總數(shù)．【解題思路】先排A,B,C,由A33種，F(xiàn),G相鄰捆綁看整體有【解答過程】因F,G兩人必須相鄰，所以把F,G看作一個整體有A2又A,B,C三人互不相鄰，D,E兩人也不相鄰，所以把A,B,C排列，有A3（1）當(dāng)D,E分別插入到A,B,C中間的兩個空位時，有A22種排法，再把（2）當(dāng)D,E分別插入到A,B,C中間的兩個空位其中一個和兩端空位其中一個時，有C21?C2所以共有A26．（2022·高二課時練習(xí)）從1到7的7個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).試問：（1）五位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個？（2）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）【解題思路】（1）先從3個偶數(shù)抽取2個偶數(shù)和從4個奇數(shù)中抽取3個奇數(shù)，利用捆綁法把兩個偶數(shù)捆綁在一起，再和另外三個奇數(shù)進(jìn)行全排列；（2）利用插空法，先排兩個偶數(shù)，再從兩個偶數(shù)形成的3個間隔中，插入三個奇數(shù)，即可得出結(jié)果.【解答過程】解：可知從1到7的7個數(shù)字中，有3個偶數(shù)，4個奇數(shù)，（1）五位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有：C3（2）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有：C37．（2022·高二單元測試）4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？【解題思路】（1）把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合即可求出結(jié)果；（2）“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，進(jìn)而由（1）即可得出答案.【解答過程】（1）為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C4（2）“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法．8．（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）某人設(shè)計(jì)了一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示的正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為ii=1,2,???6，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去，則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A【解題思路】先依題意分析知拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是12，再計(jì)算滿足點(diǎn)數(shù)之和是12的組合的所有不同結(jié)果即可.【解答過程】由題意知正方形ABCD（邊長為3個單位）的周長是12個單位，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是12，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共6種組合.其中1，5，6；2，4，6；3，4，5這三種組合每一種有A33=6種不同的結(jié)果，所以有3×6=18種；其中3，3，6；5，5，2這兩種組合每一種有C根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有18+6+1=25種不同的結(jié)果，即某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法有25種.9．（2022春·天津河西·高二期中）從1、3、5、7、9這五個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，從0、2、4、6這四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字.(1)共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?(2)共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?【解題思路】（1）首先需要討論四位數(shù)含0和不含0的情況，含0時要考慮0不在首位，再利用排列組合進(jìn)行求解；（2）組成的數(shù)為偶數(shù)時，個位數(shù)字只能時0，2，4，6中的一個，需要討論含0和不含0的情況，含有0時又分0在個位和0不在個位，再利用排列組合進(jìn)行求解.【解答過程】(1)當(dāng)構(gòu)成的四位數(shù)不含0時有C5當(dāng)構(gòu)成的四位數(shù)含0時有C5故符合條件的四位數(shù)共有C5(2)因?yàn)榻M成四位偶數(shù)的個位數(shù)字只能時0，2，4，6中的一個，當(dāng)四位偶數(shù)不含數(shù)字0時，有C5含有數(shù)字0時，分為兩種，0在個位和0不在個位，有C5故符合條件的四位偶數(shù)共有C510．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有編號分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的7個不同的小球，將這些小球排成一排（1）若要求A，B，C相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若要求A排在正中間，且B，C，D各不相鄰，則有多少種不同的排法？【解題思路】（1）利用“捆綁法”可求；（2）分B，C，D中有1個在A的左側(cè)和有2個在A的左側(cè)討論求解.【解答過程】（1）把A，B，C看成一個整體與剩余的4個球全排列，則不同的排法有A3（2）A在正中間，所以A的排法只有1種．因?yàn)锽，C，D互不相鄰，所以B，C，D不可能同時在A的左側(cè)或右側(cè)．若B，C，D中有1個在A的左側(cè)，2個在A的右側(cè)且不相鄰，則不同的排法有C3若B，C，D中有2個在A的左側(cè)且不相鄰，1個在A的右側(cè)，則不同的排法有C3故所求的不同排法有108+108=216（種）．11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)有編號為1、2、3、4、5的5個球和編號為1、2、3、4、5的5個盒子，現(xiàn)將這5個球放入5個盒子內(nèi)．(1)只有1個盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒有1個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？(3)每個盒子內(nèi)投放1球，并且至少有2個球的編號與盒子編號相同，有多少種投放方法？【解題思路】（1）首先從選出兩個球作為一組，再將4組排到4個盒子，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；（2）首先將5個球全排列，再減去球的編號與盒子編號全相同的情況，即可得解；（3）分四種情況討論，按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【解答過程】（1）解：首先選定兩個不同的球，作為一組，選法有C5再將4組排到4個盒子，有A54=120種投放法．∴（2）解：沒有一個盒子空著，相當(dāng)于5個元素排列在5個位置上，有A5而球的編號與盒子編號全相同只有1種，所以沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同的投法有A5（3）解：滿足的情形：第一類，五個球的編號與盒子編號全同的放法：1種；第二類，四個球的編號與盒子編號相同的放法：0種；第三類，三個球的編號與盒子編號相同的放法：C5第四類，兩個球的編號與盒子編號相同的放法：2C所以滿足條件的放法數(shù)為：1+10+20=31種．12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4這5個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？(1)偶數(shù)：(2)左起第二?四位是奇數(shù)的偶數(shù)；(3)比21034大的偶數(shù).【解題思路】（1）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.（2）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.（3）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.【解答過程】（1）末位是0，有A4末位是2或4，有C2故滿足條件的五位數(shù)共有24+36=60個.（2）法一：可分兩類，0是末位數(shù)，有A22或4是末位數(shù)，則A2故共在4+4=8個.法二：四位從奇數(shù)1，3中取，有A2首位從2，4中取，有A21個：余下的排在剩下的兩位，有故共有A2（3）法一：可分五類，當(dāng)末位數(shù)是0，而首位數(shù)是2時，有A2當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時，有A2當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時，有A2當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時，有A2當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3吋，有A3故有A2法二：不大于21034的偶數(shù)可分為三類：萬位數(shù)字為1的偶數(shù)，有A3萬位數(shù)字為2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有A2而由0,1,2,3,4組成的五位偶數(shù)有A4故滿足條件的五位偶數(shù)共有60?A13．（2022秋·浙江金華·高二階段練習(xí)）從1，3，5，7中任取兩個數(shù)，從0，2，4，6中任取兩個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(1)可以組成多少個四位偶數(shù)？(2)可以組成多少個兩個奇數(shù)數(shù)字相鄰的四位數(shù)？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）【解題思路】（1）分末位為0和末位為2,4,6分類求解即可；（2）計(jì)算所有情況，減去0在首位的情況即可.【解答過程】（1）當(dāng)0在末位時，共有C4當(dāng)末位為2，4，6，且0不在首位時，共有3C則可以組成108+288=396個四位偶數(shù)．（2）當(dāng)0在首位時，有C4則兩個奇數(shù)數(shù)字相鄰的四位數(shù)共有C414．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過A,B,C,D,E,5道工序．(1)如果工序A不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）(2)如果工序A,B必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）【解題思路】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，再將剩余的4道工序全排列即可；（2）先排A，B這2道工序，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列；（3）先排其余的3道工序，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空.【解答過程】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有C41=4種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有A（2）先排A，B這2道工序，有A22=2種不同的排法，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列，有A（3）先排其余的3道工序，有A33=6種不同的排法，出現(xiàn)4個空位，再將C，D這2道工序插空，有A15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）杭州亞運(yùn)會將于2022年9月10日至25日舉行，相關(guān)部門計(jì)劃將6名志愿者分配到亞運(yùn)會三個不同的運(yùn)動場館做服務(wù)工作，每個崗位至少1人.(1)一共有多少種不同的分配方案？(2)若6名志愿者中的甲和乙必須分配在同一個場館工作，則共有多少種不同的分配方案？【解題思路】（1）根據(jù)題意將6名志愿者進(jìn)行1,1,4，3,2,1，2,2,2分組，分別求出每組的分配方案，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解；（2）根據(jù)題意將6名志愿者進(jìn)行1,1,3，2,2,1分組，其中甲和乙必須在一起看作一個整體，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解.【解答過程】（1）當(dāng)分配的人數(shù)分別是1人，1人，4人時，共有C6當(dāng)分配的人數(shù)分別是3人，2人，1人時，共有C6當(dāng)分配的人數(shù)分別是2人，2人，2人時，共有C6所以一共有90+360+90=540種不同的分配方案.（2）把甲?乙兩人看作一個整體，6個人變成了5個元素，再把這5個元素分成3組，若分配的元素分別是1人，1人，3人時，共有C5若分配的元素分別是2人，2人，1人時，共有C5則有60+90=150種不同的分配方案.16．（2022春·福建三明·高二期中）在班級主題班會活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：(1)4名男生相鄰有多少種不同的站法？(2)從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色的朗誦，有多少種選派方法？（寫出必要的數(shù)學(xué)式和過程，結(jié)果用數(shù)字作答）【解題思路】（1）利用捆綁法將4名男生綁在一起再排列即可；（2）先從中選出2名男生和2名女生再排列4人即可．【解答過程】(1)將4名男生綁在一起有A44種，再與3名女生站成一排有(2)從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色的朗誦，有C417．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4五個數(shù)字．(1)可以排成多少個不重復(fù)的能被2整除的五位數(shù)？(2)可以排成多少個四位數(shù)？(3)可以排成多少個四位數(shù)字的電話號碼？【解題思路】（1）先考慮能被2整除的數(shù)為偶數(shù)，則個位數(shù)字應(yīng)在0，2，4中選擇，再考慮不重復(fù)的五位數(shù)字，需注意萬位不為0，對個位是否為0分類討論，進(jìn)而求解；（2）四位數(shù)的要求為千位不為0，求解即可；（3）四位數(shù)字的電話號碼相對（2）的區(qū)別在于首位可為0，進(jìn)而求解.【解答過程】（1）由題，能被2整除的數(shù)為偶數(shù)，則個位數(shù)字應(yīng)在0，2，4中選擇，需用5個數(shù)字組成不重復(fù)的五位數(shù)，則萬位不是0，所以當(dāng)個位是0時，共有A4當(dāng)個位不是0時，共有C2所以不重復(fù)的且能被2整除的五位數(shù)有24+36=60個.（2）要組成一個四位數(shù)，則千位不為0，所以共有4×5×5×5=500個.（3）要組成一個四位數(shù)字的電話號碼，則共有5418．（2022春·河北衡水·高二階段練習(xí)）為弘揚(yáng)我國古代的六藝文化，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)禮樂射御書數(shù)六門體驗(yàn)課程.(1)若體驗(yàn)課連續(xù)開設(shè)六周，每周一門，求其中射不排在第一周，數(shù)不排在最后一周的所有可能排法種數(shù)；(2)甲?乙?丙?丁?戊五名教師在教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任教數(shù)的課程安排方案種數(shù).【解題思路】（1）分射排在最后一周時和射不排在最后一周時兩種情況討論求解即可；（2）分甲教兩科時和甲教一科時兩組情況討論求解即可.【解答過程】(1)解：分兩組情況討論，①射排在最后一周時，則有A5②當(dāng)射不排在最后一周，則射有4種排法，數(shù)也有4種排法，剩下的4課課程全排列，有4×4?A所以，共有120+384=504種不同排法.(2)解：分兩種情況討論；當(dāng)甲教兩科時，則有C5當(dāng)甲教一科時，則有C5所以，共有240+1200=1440種不同方案.19．（2022秋·吉林長春·高二考階段練習(xí)）從5名男生和4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競賽．(1)如果選出的4人中男生、女生各2人，那么有多少種選法？(2)如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，那么有多少種選法？(3)如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁，將這4人派往2個考點(diǎn)，每個考點(diǎn)至少1人，那么有多少種派送方式？【解題思路】（1）用組合知識直接求解；（2）先求出若小王和小紅均未入選時的選法，從而求出如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選時的選法；（3）分兩種情況進(jìn)行求解，再使用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.【解答過程】（1）從5名男生中選2名，4名女生中選2人，屬于組合問題，C5（2）若小王和小紅均未入選，則有C74=35（3）若2個考點(diǎn)派送人數(shù)均為2人，則有C4若1個考點(diǎn)派送1人，另1個考點(diǎn)派送3人，則有C420．（2022春·浙江湖州·高二期中）從0,2,4,6中任取3個數(shù)字，從1,3,5中任取2個數(shù)字．(1)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被10整除的有多少個？(2)一共可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(3)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)排在奇數(shù)位上的共有多少個？【解題思路】（1）根據(jù)能被10整除確定個位數(shù)字為0，然后從2,4,6中任取2個，從1,3,5中任取2個，再將取出的四個數(shù)字作全排列即可得解；（2）按照五位數(shù)中是否含0分兩類，可求出結(jié)果；（3）按照2個奇數(shù)排的位置分三類計(jì)數(shù)，再相加可求出結(jié)果.【解答過程】(1)因?yàn)楸?0整除的數(shù)的個位必為0，所以先從2,4,6中任取2個，有C32種，從1,3,5中任取2個，有C32種，然后將得到的4個數(shù)字在前面四個位置上作全排列，有(2)若五位數(shù)中含0，則0不能排在首位，有A41種，然后從2,4,6中任取2個，有C32種，從1,3,5中任取2個，有C3此時，共有A4若五位數(shù)中不含0，則從2,4,6中任取3個有C33種，從1,3,5中任取2個有C32種，將取出的5個數(shù)字作全排，有綜上所述：滿足題意的五位數(shù)共有864+360=1224個.(3)若2個奇數(shù)排在萬位和百位上，有A3若2個奇數(shù)排在萬位和個位上，有A3若2個奇數(shù)排在百位和個位上，有A3所以滿足題意的五位數(shù)共有144+144+108=396個.21．（2022春·高二單元測試）班上每個小組有12名同學(xué)，現(xiàn)要從每個小組選4名同學(xué)代表本組與其他小組進(jìn)行辯論賽．(1)每個小組有多少種選法?(2)如果還要從選出的同學(xué)中指定1名作替補(bǔ)，那么每個小組有多少種選法?(3)如果還要將選出的同學(xué)分別指定為第一、二、三、四辯手，那么每個小組有多少種選法？【解題思路】（1）從12名學(xué)生中任選4名即可，（2）先從12名學(xué)生中選4名，然后再從這4名學(xué)生中選1人，再利用分步乘法原理可求得結(jié)果，（3）先從12名學(xué)生中選4名，然后對這4名學(xué)生進(jìn)行全排列即可【解答過程】(1)由題意可得每個小組有C12(2)由題意可得先從12名學(xué)生中選4名，然后再從這4名學(xué)生中選1人，所以由分步乘法原理可得共有C12(3)由題意可得先從12名學(xué)生中選4名，然后對這4名學(xué)生進(jìn)行全排列，所以由分步乘法原理可得共有C12422．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用0、1、2、3、4五個數(shù)字:(1)可組成多少個五位數(shù)；(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；(3)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；(4)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．【解題思路】四個問題是同一類型題根據(jù)已知討論各個位置上的數(shù)字情況，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可求解.【解答過程】（1）用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成五位數(shù),相當(dāng)于從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有C41種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在千位，有C51種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在百位，有C5所以可組成C4（2）用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),相當(dāng)于先從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有C41種情況，再把剩下的三個數(shù)字和0全排列，有A4（3）無重復(fù)數(shù)字的3的倍數(shù)的三位數(shù)組成它的三個數(shù)字之和必須是3的倍數(shù)，所以三個數(shù)字必須是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，若三個數(shù)字是0、1、2，則0不能放在百位，從1和2兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有C21種情況，再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有若三個數(shù)字是0、2、4，則0不能放在百位，從2和4兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有C21種情況，再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有若三個數(shù)字是1、2、3，則相當(dāng)于對這三個數(shù)字全排列，有A3若三個數(shù)字是2、3、4，則相當(dāng)于對這三個數(shù)字全排列，有A3所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共可組成C個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù).（4）由數(shù)字0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則放在個位的數(shù)字只能是奇數(shù)，所以放在個位數(shù)字只能是1或3，所以相當(dāng)于先從1、3兩個數(shù)字中抽取一個放在個位，有C21種情況，再從剩下的四個數(shù)字中除去0抽取一個放在萬位，有C3所以可組成C223．（2022秋·北京昌平·高二期末）有7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少種不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？【解題思路】（1）前排選3人任意排，后排4人任意排，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．（2）首先從其余5人中選出2人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；（3）先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個位置中的兩個位置，再將其余人全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【解答過程】(1)解：排成兩排就座，第一排3人，第二排4人，有A7(2)解：若甲和乙都在第二排，先從其余5人中選出2人有C52種選法，將這兩人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，故一共有(3)解：如甲和乙不能坐在每排的兩端，則先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個位置中的兩個位置，再將其余人全排列即可，故一共有A3224．（2022春·河北唐山·高二階段練習(xí)）有4個編號為1，2，3，4的小球，4個編號為1，2，3，4的盒子，現(xiàn)需把球全部放進(jìn)盒子里，（最后結(jié)果用數(shù)字作答）(1)沒有空盒子的方法共有多少種？(2)可以有空盒子的方法共有多少種？(3)恰有1個盒子不放球，共有多少種方法？(4)恰有一個小球放入自己編號的盒中，有多少種不同的放法？【解題思路】（1）4個球全放4個盒中，沒有空盒則全排列即可求得.（2）有4個球，每個球有4種放法，此時隨意放，盒子可以空也可以全用完.（3）恰有一個空盒，說明另外三個盒子都有球，而球共四個，必然有一個盒子中放了兩個球.(4)恰有一個小球放入自己編號的盒中,選定從四盒四球中選定標(biāo)號相同得球和盒，另外三球三盒不能對應(yīng)共兩種.【解答過程】（1）沒有空盒子的方法：4個球全放4個盒中，沒有空盒則全排列共A4（2）可以有空盒子，有4個球，每個球有4種放法共44（3）恰有一個空盒子，說明另外三個盒子都有球，而球共四個，必然有一個盒子中放了兩個球，先將四盒中選一個作為空盒，再將四球中選出兩球綁在一起，再排列共C4（4）恰有一個小球放入自己編號的盒中,選定從四盒四球中選定標(biāo)號相同得球和盒，另外三球三盒不能對應(yīng)共兩種，則共C425．（2022·全國·高三專題練習(xí)）3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)．按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答．(1)從中選出2名男生和2名女生排成一列；(2)全體站成一排，男生不能站一起；(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾．(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起，而丙、丁不能站在一起；【解題思路】（1）從男生中任選2名有C32種選法，從女生中任選2名有（2）先將女生全排列會有5個空，再將男生排列到5個空即可求解；（3）先從除甲外的6個人中選兩人排列在收尾，再將剩余的5個人排列到中間即可求解；（4）先將甲乙捆綁有A22種，將甲乙看做一個整體與除丙丁外的剩余3人排列有【解答過程】（1）從3名男生中任選2名有C32種選法，從4名女生中任選2名有C42種選法，再將選取的4人排列有（2）先將女生全排有A44種，再從5個空隙中選出3個將3個男生插入到3個空隙中有A5（3）首尾位置可安排另6人中的兩人，有A62種排法，其他人有A5（4）將甲乙捆在一起，與剩下的3人（除丙丁）全排A44，再將丙丁插空到5個空隙中的2個有A52種，再將甲乙交換位置有26．（2022春·吉林長春·高二階段練習(xí)）一個正方形花圃被分成5份．（1）若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法?（2）若將6個不同的盆栽都擺放入這5個部分，且要求每個部分至少有一個盆栽，問有多少種不同的放法?【解題思路】（1）先對E部分種植，再對A部分種植，對C部分種植進(jìn)行分類：①若與A相同，②若與A不同進(jìn)行討論即可；（2）將6個盆栽分成5組，即2-1-1-1-1，將分好的5組全排列即可.【解答過程】（1）先對E部分種植，有4種不同的種植方法；再對A部分種植，又3種不同的種植方法；對C部分種植進(jìn)行分類：①若與A相同，D有2種不同的種植方法，B有2種不同的種植方法，共有4×3×2×2=48（種），②若與A不同，C有2種不同的種植方法，D有1種不同的種植方法，B有1種不同的種植方法，共有4×3×2×1×1=24（種），綜上所述，共有72種種植方法。（2）將6個盆栽分成5組，則2-1-1-1-1，有C6將分好的5組全排列，對應(yīng)5個部分，則一共有C6綜上所述，共有1800種不同的放法。27．（2022春·江蘇無錫·高二期中）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于O，現(xiàn)用五種顏色（其中一種為紅色）對圖中四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO進(jìn)行染色，且每個三角形用一種顏色染．(1)若必須使用紅色，求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù)；(2)若不使用紅色，求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù).【解題思路】（1）根據(jù)題意，假設(shè)為△ABO，△BCO，同色，再分2種情況討論：①若△ABO，△BCO，同時染紅色與，②若△ABO，△BCO，同時染的不是紅色，求出每種情況的染色方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分3種情況討論：①、若一共使用了四種顏色，②、若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在對頂?shù)膮^(qū)域，③、若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組對頂區(qū)域，求出每種情況的染色方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答過程】（1）解：根據(jù)題意，要求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一組相鄰三角形同色，而同色的相鄰三角形共有4種，不妨假設(shè)為△ABO，△BCO同色，①若△ABO，△BCO同時染紅色，則另外兩個三角形共有A42種染色方法，因此這種情況共有②若△ABO，△BCO同時染的不是紅色，則它們的染色有4種，另外兩個三角形一個必須染紅色，所以這兩個三角形共有3×2=6，因此這種情況共有4×6=24種染色方法．綜上可知有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù)為4×(12+24)=144種；（2）解：根據(jù)題意，因?yàn)椴挥眉t色，則只有四種顏色可選，分3種情況討論：①、若一共使用了四種顏色，則共有A4②、若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在對頂?shù)膮^(qū)域，所以一共有C4③、若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組對頂區(qū)域，所以共有C4綜上可知所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù)為24+4828．（2022秋·吉林長春·高二階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組有3個男生和4個女生共7人：(1)將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？(2)將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？(3)從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？(4)現(xiàn)有7個座位連成一排，僅安排4個女生就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有多少種？【解題思路】（1）利用排列中相間問題插空法及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；（2）利用排列中特殊位置與特殊元素優(yōu)先處理及分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解；（3）利用排列組合中遵循先選后排及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；（4）利用排列中的相鄰問題插空法及分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【解答過程】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將3個男生全排列，有A3②，將4名女生全排列，安排到4個空位中，有A4則一共有A3（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，男生甲在最右邊，有A6②，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有A5則有720+3000＝3720種排法；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在3名男生中選取2名男生，4名