中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題15幾何最值之將軍飲馬鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）含答案及解析

幾何最值之將軍飲馬鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）1. 如圖，正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，點(diǎn)C在正方形ABEF外，在對(duì)角線BF上有一點(diǎn)P，使PC＋PE最小，則這個(gè)最小值的平方為（） A. B. C.12 D.2. 如圖，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB＝12，△BMC的周長(zhǎng)是20，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA－PB的最大值為（） A.12 B.8 C.6 D.23. 如圖，在∠MON的邊OM,ON上分別有點(diǎn)A,D，且∠MON＝30o，OA＝10，OD＝6，B，C兩點(diǎn)分別是邊OM,ON上的動(dòng)點(diǎn)，則AC＋BC＋BD的最小值為.4. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM－PN的最大值為.5. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠A＝120o，點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK＋QK的最小值為.6. 如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？7. 如圖，在△ABC中，已知AB＝AC,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB.（1）若∠ABC＝70o，則∠NMA的度數(shù)是度；（2）若AB＝8，△MBC的周長(zhǎng)是14.①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△PBC周長(zhǎng)的最小值.8. 如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD,BC＝AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，AC⊥CD，連接BE、CE、CF.（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30o，點(diǎn)P為BE上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAF的周長(zhǎng)的最小值.9. 如圖，在△ABC中，AB＝AC,AD是中線，且AC是DE的中垂線（1）求證：∠BAD＝∠CAD；（2）連接CE，寫出BD和CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠BAC＝90o，BC＝8時(shí)，在AD上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)C與到點(diǎn)E的距離之和最小，求△BCP的面積.10. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點(diǎn)E，連接CE（1）說(shuō)明：AE＝CE＝BE；（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直線DE上的一點(diǎn)，則當(dāng)P在何處時(shí)，PB＋PC最小，并求出此時(shí)PB＋PC的值.幾何最值之將軍飲馬鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）1. 如圖，正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，點(diǎn)C在正方形ABEF外，在對(duì)角線BF上有一點(diǎn)P，使PC＋PE最小，則這個(gè)最小值的平方為（） A. B. C.12 D.【解答】B【解析】連接AC、AE，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，如圖所示：∵正方形ABEF，∴AE⊥BF,OA＝OE，即可得：E關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)是A，連接AC交BF于P，則此時(shí)EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC，∵正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，在Rt△BCG中，∠CBG＝90o－60o＝30o，BC＝2，∴CG＝1，，，，即這個(gè)最小值的平方為.2. 如圖，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB＝12，△BMC的周長(zhǎng)是20，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA－PB的最大值為（） A.12 B.8 C.6 D.2【解答】B【解析】∵M(jìn)N垂直平分AC，∴MA＝MC，又∵＝BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8，在MN上取點(diǎn)P，∵M(jìn)N垂直平分AC，如圖所示，連接PA、PB、PC，∴PA＝PC，∴PA－PB＝PC－PB，在△PBC中PC－PB＜BC當(dāng)P、B、C共線時(shí)（PC－PB）有最大值，此時(shí)PC－PB＝BC＝8，故選B.3. 如圖，在∠MON的邊OM,ON上分別有點(diǎn)A,D，且∠MON＝30o，OA＝10，OD＝6，B，C兩點(diǎn)分別是邊OM,ON上的動(dòng)點(diǎn)，則AC＋BC＋BD的最小值為.【解答】【解析】作點(diǎn)D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D'，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D'，與OM,ON的交點(diǎn)就是點(diǎn)B、C，如圖所示：此時(shí)AC＋BC＋BD＝A'C＋BC＋BD'＝A'D'為最短距離。連接OD'，OA'，根據(jù)對(duì)稱性可知：OA＝OA',OD＝OD'，∠AOA'＝60o，∠DOD'＝60o，∴△AOA'和△DOD'是等邊三角形，∴OD'＝OD＝6，OA'＝OA＝10，∠A'OD＝90o，根據(jù)勾股定理，得，∴AC＋BC＋BD的最小值為.4. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM－PN的最大值為.【解答】2【解析】如圖所示，作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接PN',MN'，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，當(dāng)P,M,N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”,∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，∴AC＝6，∵O為AC中點(diǎn)，∴AO＝OC＝3，∵AN＝2，∴ON＝1，∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，，∴CM＝AB－BM＝6－4＝2，，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60o，∵∠N'CM＝60o，∴△N'CM為等邊三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值為2.5. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠A＝120o，點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK＋QK的最小值為.【解答】【解析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，如圖所示：∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120o，∴∠ABC＝60o，BC＝2，BD平分∠ABD，∴BE＝，CE＝BE＝，∵BD平分∠ABD，∴在AB上作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P'，∴PK＋QK＝P'K＋KQ，當(dāng)P',K,Q三點(diǎn)共線且P'Q⊥AB時(shí)，PK＋QK有最小值，即最小值為平行線AB,CD的距離，則最小值為.6. 如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？【解答】∠ECF＝30o【解析】過(guò)E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時(shí)EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.7. 如圖，在△ABC中，已知AB＝AC,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB.（1）若∠ABC＝70o，則∠NMA的度數(shù)是度；（2）若AB＝8，△MBC的周長(zhǎng)是14.①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△PBC周長(zhǎng)的最小值.【解答】（1）∠NMA＝50o；（2）①BC＝6，②最小值為14【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70o，∴∠A＝40o，∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，∴∠ANM＝90o，∴∠NMA＝50o；（2）①∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，△MBC的周長(zhǎng)＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，∵AB＝8，△MBC的周長(zhǎng)是14，∴BC＝14－8＝6；②當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，△PBC周長(zhǎng)的值最小，理由：∵PB＋PC＝PA＋PC,PA＋PC≥AC，∴P與M重合時(shí)，PA＋PC＝AC，此時(shí)PB＋PC最小，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14.8. 如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD,BC＝AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，AC⊥CD，連接BE、CE、CF.（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30o，點(diǎn)P為BE上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAF的周長(zhǎng)的最小值.【解答】（1）菱形；（2）【解析】（1）四邊形ADCE是菱形，理由如下∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝AD∵BC＝AD，∴AE＝BC∵BC∥AD，即DC∥AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∵AC⊥CD，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴CE＝AE＝DE，∴四邊形ABCE是菱形；（2）由（1）得，四邊形ABCE是菱形∴AE＝EC＝AB＝4，且點(diǎn)A、C關(guān)于BE對(duì)稱，∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，AF＝AE＝2，當(dāng)PA＋PF最小時(shí)，△PAF的周長(zhǎng)最小，即點(diǎn)P為CF與BE的交點(diǎn)時(shí)，△PAF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)△PAF的周長(zhǎng)＝PA＋PF＋AF＝CF＋AF，在Rt△ACD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30o，∠ACE＝90o－30o＝60o∴△ACE是等邊三角形，∴AC＝AE＝CE＝4，∵AF＝EF,CF⊥AE，△PAF的周長(zhǎng)最?。紺F＋AF＝.9. 如圖，在△ABC中，AB＝AC,AD是中線，且AC是DE的中垂線（1）求證：∠BAD＝∠CAD；（2）連接CE，寫出BD和CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠BAC＝90o，BC＝8時(shí)，在AD上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)C與到點(diǎn)E的距離之和最小，求△BCP的面積.【解答】（1）見解析；（2）BD＝CE；（3）8【解析】（1）∵AB＝AC,AD是中線，∠BAD＝∠CAD；（2）BD＝CE.理由：∵AD是中線，∴BD＝CD，∵AD,AE關(guān)于AC對(duì)稱，∴CD＝CE，∴BD＝CE；（3）連接BE交AD于點(diǎn)P，此時(shí)PE＋PC的值最小，如圖所示：∵AB＝AC，∠BAC＝90o，BD＝DC＝4，∴AD＝AE＝4，由題意AE∥BD,AE＝AD＝BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴PA＝PD＝2，∵PD⊥BC，.10. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點(diǎn)E，連接CE（1）說(shuō)明：AE＝CE＝BE；（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直線DE上的一點(diǎn)，則當(dāng)P在何處時(shí)，PB＋PC最小，并求出此時(shí)PB＋PC的值.【解答】（1）見解析；（2）12【解析】（1）∵△ADC是等邊三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分線段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠A