中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題26三角形的外接圓（基礎(chǔ)）含答案及解析

專題26三角形的外接圓（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，其半徑為3，圖中陰影部分的面積是（）A．π B．3π2 C．2π D．32．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上．若∠BCD＝36°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．36° B．44° C．54° D．64°3．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若AD＝8，∠B＝30°，則AC的長度為（）A．3 B．4 C．42 D．434．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，射線AO交BC邊于點(diǎn)D，AD平分∠BAC，若AD＝BC＝8，則⊙O的半徑長為（）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OC、OB，∠BOC＝100°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為（0，3），點(diǎn)B為（2，1），點(diǎn)C為（2，﹣3）．則經(jīng)畫圖操作可知：△ABC的外心坐標(biāo)應(yīng)是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）7．邊長為2的正三角形的外接圓的半徑是（）A．23 B．2 C．233 8．如圖，AD是△ABC外接圓的直徑．若∠B＝64°，則∠DAC等于（）A．26° B．28° C．30° D．32°9．如圖，正方形ABCD和等邊△AEF都內(nèi)接于圓O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H．若AE＝6，則EG的長為（）A．3 B．3?3 C．2 D．2310．如圖，點(diǎn)D、E分別是⊙O的內(nèi)接△ABC的AB、AC邊上的中點(diǎn)，若⊙O的半徑為2，∠A＝45°，則DE的長等于（）A．3 B．2 C．1 D．211．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，若∠C＝50°，則∠BAD的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．55°12．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，已知∠ABC為130°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．50° B．80° C．100° D．115°二．填空題13．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠A＝50°，則∠D等于．14．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，∠A＝36°，則∠BOC的度數(shù)為°．15．如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠ADB＝°．16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝45°，則cos∠OCB的值是．17．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝21°，則∠A的度數(shù)為．18．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O上，∠ABD＝25°，則∠BAD＝°．19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠OBC＝40°，則∠A的度數(shù)為．20．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝30°，AC＝4，則弧AC的長為．21．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M，N分別是CO，AB的中點(diǎn)，∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，則∠OMN的度數(shù)是．三．解答題22．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直徑．23．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），過A，B，C作外接圓，D為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求5DO+DA的最小值．24．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAE與∠CAD相等嗎？若相等，請(qǐng)給出證明；若不相等，請(qǐng)說明理由．25．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CA＝CB，連接BO并延長交AC于點(diǎn)D．（1）求證：∠C＝2∠CBD；（2）若AB＝6，sinC=35，求⊙26．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)C在劣弧AB上（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，DE與AC的延長線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與⊙O交于點(diǎn)G，若∠BOA＝90°，CD＝3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長．27．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB，CD為⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E，BC＝1，AC=3，求∠D28．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交⊙O于F，交BE于H，連DE，試探究DE與直徑CG有無特殊的位置關(guān)系？29．如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)D在BC上，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．（1）求證：∠ADC＝∠ACE；（2）若⊙O的半徑為23，AB的度數(shù)為90°，DE＝2，求AD的長．30．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是AD中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)H，連接AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q，連接BD．（1）求證：P是線段AQ的中點(diǎn)；（2）若⊙O的半徑為5，D是BC的中點(diǎn)，求弦CE的長．專題26三角形的外接圓（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，其半徑為3，圖中陰影部分的面積是（）A．π B．3π2 C．2π D．3【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝60°，再利用圓周角定理得到∠BOC＝120°，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算圖中陰影部分的面積．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴圖中陰影部分的面積=120?π?32故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．2．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上．若∠BCD＝36°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．36° B．44° C．54° D．64°【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用互余計(jì)算出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD＝36°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝54°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．3．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若AD＝8，∠B＝30°，則AC的長度為（）A．3 B．4 C．42 D．43【分析】由圓周角定理可得∠ACD＝90°，∠B＝∠D＝30°，即可求解．【解答】解：連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，又∵∠B＝∠D＝30°，∴AC=12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，射線AO交BC邊于點(diǎn)D，AD平分∠BAC，若AD＝BC＝8，則⊙O的半徑長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】連接OB．由AD平分∠BAC，得AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝4，設(shè)半徑為r，利用勾股定理列出方程（8﹣r）2+42＝r【解答】解：如圖，連接OB．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD=12設(shè)半徑為r，在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，即（8﹣r）2+42＝r2，解得r＝5故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的相關(guān)計(jì)算，熟練運(yùn)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OC、OB，∠BOC＝100°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵，⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝100°，∴∠A=12∠故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為（0，3），點(diǎn)B為（2，1），點(diǎn)C為（2，﹣3）．則經(jīng)畫圖操作可知：△ABC的外心坐標(biāo)應(yīng)是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以在平面直角坐標(biāo)系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為△ABC的外心．【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴作圖得：∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形外心的知識(shí)．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．邊長為2的正三角形的外接圓的半徑是（）A．23 B．2 C．233 【分析】等邊三角形的邊長是其外接圓半徑的3倍，據(jù)此直接算出答案．【解答】解：如圖，等邊△ABC中，三邊的垂直平分線交一點(diǎn)O，則O是△ABC外接圓的圓心，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF=12∴OF=33∴OB＝2OF=2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形及其外接圓的性質(zhì)，知道等邊三角形邊長與其外接圓半徑的倍數(shù)關(guān)系是解答關(guān)鍵．8．如圖，AD是△ABC外接圓的直徑．若∠B＝64°，則∠DAC等于（）A．26° B．28° C．30° D．32°【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B＝64°，然后利用互余計(jì)算∠DAC的度數(shù)．【解答】解：∵AD為直徑，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠B＝64°，∴∠DAC＝90°﹣64°＝26°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．9．如圖，正方形ABCD和等邊△AEF都內(nèi)接于圓O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H．若AE＝6，則EG的長為（）A．3 B．3?3 C．2 D．23【分析】連接AC、BD、OF，AC與EF交于P點(diǎn)，則它們的交點(diǎn)為O點(diǎn)，如圖，利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)得到∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OP=12OF=12OC，OP=33PF=3，從而得到PC＝OP=3，然后利用△PCG【解答】解：連接AC、BD、OF，AC與EF交于P點(diǎn)，則它們的交點(diǎn)為O點(diǎn)，如圖，∵正方形ABCD和等邊△AEF都內(nèi)接于圓O，∴∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，∵EF∥BD，∴AC⊥EF，∴PE＝PF=12在Rt△OPF中，OP=12OF=∵OP=33PF∴PC＝OP=3∵△PCG為等腰直角三角形，∴PG＝PC=3∴EG＝PE﹣PG＝3?3故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外心與外接圓：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)．10．如圖，點(diǎn)D、E分別是⊙O的內(nèi)接△ABC的AB、AC邊上的中點(diǎn)，若⊙O的半徑為2，∠A＝45°，則DE的長等于（）A．3 B．2 C．1 D．2【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2OB＝22【解答】解：連接OB，OC，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝90°，∵OB＝OC＝2，∴BC=2OB＝22∵D、E分別是⊙O的內(nèi)接△ABC的AB、AC邊上的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12BC故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓和外心，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，若∠C＝50°，則∠BAD的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】連接OB，根據(jù)圓周角定理和圓的半徑相等即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OB，∵∠C＝50°，∴∠AOB＝2∠C＝100°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝40°，則∠BAD的度數(shù)是40°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的外接圓與外心性質(zhì)．12．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，已知∠ABC為130°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．50° B．80° C．100° D．115°【分析】作AC所對(duì)的圓周角∠ADC，如圖，先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＝50°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠AOC的度數(shù)．【解答】解：作AC所對(duì)的圓周角∠ADC，如圖，∵∠ADC+∠ABC＝180°，而∠ABC＝130°，∴∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．二．填空題13．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠A＝50°，則∠D等于50°．【分析】由圓周角的定理可求解．【解答】解：∵∠A與∠D所對(duì)的弧都是BC，∴∠A＝∠D＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓和外心，圓周角定理，掌握同弧所對(duì)的圓周角相等是本題的關(guān)鍵．14．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，∠A＝36°，則∠BOC的度數(shù)為72°．【分析】直接利用圓周角定理求解．【解答】解：∵⊙O為△ABC的外接圓，∠A和∠BOC都對(duì)BC，∴∠BOC＝2∠A＝2×36°＝72°．故答案為72．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．15．如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠ADB＝50°．【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝45°，則cos∠OCB的值是22【分析】先利用圓周角定理得到∠BOC＝90°，則可判斷△OBC為等腰直角三角形，所以∠OCB＝45°，然后利用特殊角的三角函數(shù)值得到cos∠OCB的值．【解答】解：∵∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，而OB＝OC，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，∴cos∠OCB=2故答案為22【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．17．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝21°，則∠A的度數(shù)為69°．【分析】直接利用圓周角定理得出∠BCD＝90°，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．故答案為：69°【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，正確掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．18．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O上，∠ABD＝25°，則∠BAD＝95°．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝60°，根據(jù)圓周角定理得到∠ACD＝∠ABD＝25°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算∠BAD的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACD＝∠ABD＝25°，∴∠BCD＝60°+25°＝85°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣85°＝95°．故答案為95．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理和等邊三角形的性質(zhì)．19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠OBC＝40°，則∠A的度數(shù)為50°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，由圓周角定理得，∠A=12∠故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．20．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝30°，AC＝4，則弧AC的長為43π【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理可得，△AOC是等邊三角形，利用弧長公式即可求得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接OA，OC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝OC＝AC＝4，則弧AC的長為：60π×4180=故答案為：43π【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握弧長計(jì)算公式．21．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M，N分別是CO，AB的中點(diǎn)，∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，則∠OMN的度數(shù)是20°．【分析】由圓周角定理可求出∠AOB＝120°，∠AOC＝80°，證得△ODN是等邊三角形，得出OD＝ON＝OM，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案．【解答】解：如圖，連接OA，OB，ON，取OA的中點(diǎn)D，連接DN，∵∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣80°﹣40°＝60°，∴∠AOB＝120°，∠AOC＝80°，∵點(diǎn)M是OC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，∴OD＝OM=12∵點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，且∠AOB＝120°，∴ON⊥AB，∠AON＝∠BON＝60°，∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，且∠ONA＝90°，∴DN＝DO，∴△ODN是等邊三角形，∴OD=12∴OD＝ON＝OM，∵∠MON＝∠COA+∠AON＝80°+60°＝140°，∴∠OMN＝∠NOM=180°?140°故答案為：20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題22．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直徑．【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OB，OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC＝BC＝4，∴⊙O的直徑＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），過A，B，C作外接圓，D為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求5DO+DA的最小值．【分析】如圖，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為E連接EO并且延長交AC的延長線于F，連接DF．則E（﹣1，1）．首先證明△DEO∽△FED，得到EODE=DODF，推出DF=5DO，所以5DO+DA＝DF+DA，由兩邊之和大于第三邊得，DF+DA≥AF，推出當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)C重合時(shí)，DF+DA最小，即5DO【解答】解：如圖，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為E連接EO并且延長交AC的延長線于F，連接DF．則E（﹣1，1）．∵A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），E（﹣1，1）∴直線OE的解析式為y＝﹣x，直線AC的解析式為y＝﹣2x+4，由y=?xy=?2x+4解得x=4∴F（4，﹣4），∴DE=10，EO=2，EF＝5∴DEEO=10∴DEEO=EFDE，∵∠∴△DEO∽△FED，∴EODE∴DF=5DO∴5DO+DA＝DF+DA，由兩邊之和大于第三邊得，DF+DA≥AF，∴當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)C重合時(shí)，DF+DA最小，即5DO+DA最小，∴5DO+DA最小值＝AF=42+(?4?4【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決問題，題目比較難，掌握輔助線的添加方法是解題的關(guān)鍵，屬于中考填空題中的壓軸題．24．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAE與∠CAD相等嗎？若相等，請(qǐng)給出證明；若不相等，請(qǐng)說明理由．【分析】首先連接BE，由AE是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠ABE＝90°，又由AD⊥BC，∠E＝∠C，即可證得∠BAE＝∠CAD．【解答】解：∠BAE＝∠CAD．理由：連接BE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠E，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C，∵∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠CAD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CA＝CB，連接BO并延長交AC于點(diǎn)D．（1）求證：∠C＝2∠CBD；（2）若AB＝6，sinC=35，求⊙【分析】（1）連接CO，AO，可證△COA≌△COB，所以∠ACO＝∠BCO，因?yàn)镺C＝OB，所以∠BCO＝∠CBD，即可得出∠C＝2∠CBD；（2）作⊙O的直徑AK，連接BK，則∠ABK＝90°，∠C＝∠K，在Rt△ABK中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出⊙O的半徑．【解答】解：（1）如圖1，連接CO，AO，∵CA＝CB，OA＝OB，OC＝OC，∴△COA≌△COB（SSS），∴∠ACO＝∠BCO，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠CBD，∴∠C＝2∠CBD；（2）如圖2，作⊙O的直徑AK，連接BK，則∠ABK＝90°，∠C＝∠K，∵AB＝6，sinC=3∴sinK=3∴AK＝10，∴⊙O的半徑為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．作⊙O的直徑是解決（2）問的關(guān)鍵．26．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)C在劣弧AB上（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，DE與AC的延長線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與⊙O交于點(diǎn)G，若∠BOA＝90°，CD＝3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長．【分析】根據(jù)∠BOA＝90°，可得∠BCE＝45°，∠BEC＝90°，由于△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，所以AEAC，根據(jù)勾股定理即可求出AE、AC的長度，從而可求出AB的長度，再由勾股定理即可求出⊙O的半徑r【解答】解：∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，∴OE是線段BC的垂直平分線，∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°，∵∠BCA＝∠EDC+∠CED，∴∠ACB＝90°+∠CED，∴∠CED＝∠GAB，∴∠CED＝∠OBA，∴O、A、E、B四點(diǎn)共圓，如圖所示，∴∠BEC＝90°，∵∠BOA＝90°，∠BCE＝45°，∵△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，∴AEAC∴CEAC設(shè)CE＝3x，AC＝x，由（1）可知：BC＝2CD＝6，∵∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3x，∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2＝62，x=2∴BE＝CE＝32，AC=2∴AE＝AC+CE＝42，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：AB2＝（32）2+（42）2，∴AB＝52，∵∠BAO＝45°，∴∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，設(shè)半徑為r，由勾股定理可知：AB2＝2r2，∴r＝5，∴⊙O半徑的長為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．27．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB，CD為⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E，BC＝1，AC=3，求∠D【分析】由AB是直徑，推出∠ACB＝90°，由BC＝1，AC=3，推出tan∠B=ACBC=3，推出∠B＝60°，由OB【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵BC＝1，AC=3∴tan∠B=AC∴∠B＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠DOE＝∠BOC＝60°，∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°，∴∠D＝90°﹣∠DOE＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)尋找特殊三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．28．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交⊙O于F，交BE于H，連DE，試探究DE與直徑CG有無特殊的位置關(guān)系？【分析】結(jié)論：DE⊥CG．由△CAD∽△CBE，推出CACB=CDCE，推出CACD=CBCE，由∠ECD＝∠BCA，推出△ECD∽△BCA，推出∠CED＝∠ABC＝∠G，由CG是直徑，推出∠GAC＝90°，推出∠G+∠【解答】解：結(jié)論：DE⊥CG．理由：如圖，連接AG，DE交CG于K．∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠AHE＝∠BHD，∴∠CAD＝∠CBE，∴△CAD∽△CBE，∴CACB∴CACD=CBCE，∵∠∴△ECD∽△BCA，∴∠CED＝∠ABC