中考數(shù)學(xué)幾何專項沖刺專題31四邊形綜合練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

專題31四邊形綜合練習(xí)（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點，連接DF，分析下列五個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠ACD=2；⑤S四邊形CDEF=A．5個 B．4個 C．3個 D．2個2．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點G，下列結(jié)論：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．如圖，正方形ABCD中，以AD為底邊作等腰△ADE，將△ADE沿DE折疊，點A落到點F處，連接EF剛好經(jīng)過點C，再連接AF，分別交DE于G，交CD于H．在下列結(jié)論中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF＝30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC＝CF；⑤S△HCF＝S△ADH，其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．如圖，已知直線l∥AB，l與AB之間的距離為2．C、D是直線l上兩個動點（點C在D點的左側(cè)），且AB＝CD＝5．連接AC、BC、BD，將△ABC沿BC折疊得到△A′BC．下列說法：①四邊形ABCD的面積始終為10；②當(dāng)A′與D重合時，四邊形ABDC是菱形；③當(dāng)A′與D不重合時，連接A′、D，則∠CA′D+∠BCA′＝180°；④若以A′、C、B、D為頂點的四邊形為矩形，則此矩形相鄰兩邊之和為35或7．其中正確的是（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④5．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于點F，CE⊥AE，垂足為點E，EG⊥CD，垂足為點G，點H在邊BC上，BH＝DF，連接AH、FH，F(xiàn)H與AC交于點M，以下結(jié)論：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE=12AF；⑤EG2＝FG?其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．56．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O①△ABE≌△AHD；②HE＝CE；③H是BF的中點；④AB＝HF；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，正方形ABCD中，P為AB中點，BE⊥DP交DP延長線于E，連接AE，AF⊥AE交DP于F，連接BF，CF．下列結(jié)論：①EF=2AF；②AB＝FB；③CF∥BE；④EF＝CFA．1 B．2 C．3 D．48．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E、F分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點H與點A重合時，EF=20以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，在邊長為62的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE＝DG，連接EG，過點C作EG的垂線CH，垂足為點H，連接BH，BH＝8．有下列結(jié)論：①∠CBH＝45°；②點H是EG的中點；③EG＝410；④DG＝22其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在菱形ABCD中，AB＝BD，點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE＝DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．給出如下幾個結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=32CG③若AF＝2DF，則BG＝6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．111．如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，M、N兩點分別從點B、C開始沿邊BC和CD勻速運動，如果點M、N同時出發(fā)，它們運動的速度均為每秒2個單位長度，當(dāng)點M到達終點C時，點N也停止運動，設(shè)運動的時間為t（s）．下列說法：①當(dāng)t＝3時，MN∥BD；②當(dāng)t＝6時，△AMN的面積最?。虎郛?dāng)t＝4時，S△ABM＝S△AND；④不存在MN與AN垂直的時刻，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．如圖，正方形ABCD的邊CD與正方形CGFE的邊CE重合，O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于H，連接OH、FH、EG與FH交于M，對于下面四個結(jié)論：①GH⊥BE；②HO=∥12BG；③點H不在正方形CGFE的外接圓上；④△GBE其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題13．如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點E是邊BC的中點，連接AE、DE，分別交BD、AC點P、Q，過點P作PF⊥AE交CB于點F，下列結(jié)論：①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC=163，則④CE?EF＝EQ?DE．其中正確的結(jié)論有．（填序號即可）14．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝6，點E在AB上，將△DAE沿直線DE折疊，使點A恰好落在DC上的點F處，連接EF，分別與矩形ABCD的兩條對角線交于點M和點G．給出以下四個結(jié)論：①△ADE是等腰直角三角形；②S△BEM：S△BAD＝1：4；③FG＝GM＝EM；④sin∠EDM=1313，其中正確的結(jié)論序號是15．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．①矩形DEFG是正方形；②△GAF∽△CED；③AE+AG=2AD；④若F為AB中點，連接DF交AC于點M，則EM=5216．如圖，在正方形ABCD中，E為AB上一點，過點E作EF∥AD．與AC、DC分別交于點G、F，H為CG的中點，連接DE、EH、DH、FH．下列結(jié)論：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④PH2＝AP2+CH2；⑤若AEAB=13，則3S△EDH＝5其中結(jié)論正確的有．（填寫序號）17．如圖，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，過D作DC⊥BE交BE的延長線于點C，連接BH并延長交DC于點F，連接DE交BF于點O．下列結(jié)論，其中正確的是．①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③CD＝HF；④BC﹣CF＝2CE；⑤H是BF的中點，18．如圖，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3．把AD沿AE折疊，使點D恰好落在AB邊上的D′處，再將△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α，得到△A'ED″，使得EA′恰好經(jīng)過BD′的中點F．A′D″交AB于點G，連接AA′．有如下結(jié)論：①A′F的長度是6?2；②弧D'D″的長度是5312π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′19．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E在AD上，且DE＝CD，連接OE，∠ABE=12∠ACB，若AE＝2，則OE的長為20．矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知B（23，2），點A在x軸上，點C在y軸上，P是對角線OB上一動點（不與原點重合），連接PC，過點P作PD⊥PC，交x軸于點D，下列結(jié)論：①OA＝BC＝23；②當(dāng)點D運動到OA的中點處時，PC2+PD2＝6；③在運動過程中，∠CDP是一個定值；④當(dāng)△ODP為等腰三角形時，點D的坐標(biāo)為(23321．正方形ABCD中的邊長為6，對角線AC、BD交于點O，E為DC邊上一點，連接AE交BD于F，BG⊥AE于點G，連接OG，若∠DGE＝45°，則S△FGO＝．22．如圖，已知邊長為4的菱形ABCD中，AC＝BC，E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上的動點，滿足BE＝AF，連接EF交AC于點G，CE、CF分別交BD與點M，N，給出下列結(jié)論：①∠AFC＝∠AGE；②EF＝BE+DF；③△ECF面積的最小值為33，④若AF＝2，則BM＝MN＝DN；⑤若AF＝1，則EF＝3FG；其中所有正確結(jié)論的序號是．三．解答題23．如圖①，菱形ABCD中，AB＝43，連接BD，點P是線段BC上一點（不與點B重合），AP與對角線BD交于點E，連接EC．（1）求證：∠BAE＝∠BCE；（2）若∠ABC＝60°，BP=3，求BE（3）在（2）的條件下，如圖②，點M、N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同速度沿BC、CA向終點C和A運動，連接AM和BN交于點G，當(dāng)tan∠CBN=35時，求△24．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點（不與端點重合），且滿足AE+CF＝6，連接AF，CE相交于點P，連接PD交對角線AC于點G．（1）求∠APC的大小；（2）在點E，F(xiàn)的運動過程中，若S△AGPS△AGD（3）連接BP，在點E，F(xiàn)的運動過程中，BP是否存在最小值？若存在，請直接寫出最小值，若不存在，請說明理由．25．如圖①，將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB'，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB'，過點D作DE⊥BB'，交BB'的延長線于點E，連接DB'，CE．（1）當(dāng)0°＜α＜90°時，求∠BB'D的度數(shù)；（2）當(dāng)0°＜α＜180°且α≠90°時，利用圖②證明：BB'=2CE（3）當(dāng)0°＜α＜360°時，若正方形ABCD的邊長為a，則△CED面積的最大值為．（用含有a的代數(shù)式表示）26．如圖1，△ABC是邊長為2的等邊三角形，以BC為一邊向下作矩形BDEC，其中DB＝1．M為線段AB上的動點（且不與A、B重合），過M作矩形MNPQ，使邊NP在線段DE上，點Q在AC上．（1）當(dāng)MN為1+32時，請直接寫出矩形（2）設(shè)MN＝x，矩形MNPQ的面積為y，①試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；②矩形MNPQ的面積y是否有最大值，若有，請求出這個最大值；若沒有，請說明理由．（3）如圖2，過點N作AB的平行線，交線段AC于點F，連接MF，若△MNF為直角三角形，請直接寫出線段MN的長度．27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點的坐標(biāo)分別是點A（0，a），點B（b，0），且a，b滿足：a2﹣12a+36+|b﹣6|＝0．（1）求∠ABO的度數(shù)；（2）點M為AB的中點，等腰Rt△ODC的腰CD經(jīng)過點M，∠OCD＝90°，連接AD．①如圖1，求證：AD⊥OD；②如圖2，取BO的中點N，延長AD交NC的延長線于點P，若點P的橫坐標(biāo)為t，請用含t的代數(shù)式表示四邊形ADCO的面積．28．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在AB邊上，BE＝1，F(xiàn)為BC邊的中點．將正方形截去一個角后得到一個五邊形AEFCD，點P在線段EF上運動（點P可與點E，點F重合），作矩形PMDN，其中M，N兩點分別在CD，AD邊上．設(shè)CM＝x，矩形PMDN的面積為S．（1）DM＝（用含x的式子表示），x的取值范圍是；（2）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使矩形PMDN的面積最大，點P應(yīng)在何處？并求最大面積．29．已知，在矩形ABCD中，點M是邊AB上的一個點（與點A、B不重合），聯(lián)結(jié)CM，作∠CMF＝90°，且MF分別交邊AD于點E、交邊CD的延長線于點F．點G為線段MF的中點，聯(lián)結(jié)DG．（1）如圖1，如果AD＝AM＝4，當(dāng)點E與點G重合時，求△MFC的面積；（2）如圖2，如果AM＝2，BM＝4．當(dāng)點G在矩形ABCD內(nèi)部時，設(shè)AD＝x，DG2＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求線段AD的長．（直接寫出計算結(jié)果）30．如圖①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作?AQPD，連接DQ，交AB于點E．設(shè)運動時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，AQ＝AP；（2）如圖②，當(dāng)t為何值時，?AQPD為矩形；（3）當(dāng)t為何值時，△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形．專題31四邊形綜合練習(xí)（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點，連接DF，分析下列五個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠ACD=2；⑤S四邊形CDEF=A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB；②由AE=12AD=12BC，又AD∥③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM＝DE=12BC，得到CN＝④設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝2a，由△BAE∽△ADC，得出b=2a，進而得出tan∠ACD=⑤根據(jù)△AEF∽△CBF得到EFBF=AEBC=12，求出S△AEF=12S△ABF，S△ABF=16S矩形ABCDS四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF=12S矩形ABCD?112S【解答】解：如圖，過D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于點F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC∵AE=12AD=∴AFCF∴CF＝2AF，故②正確；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE=12∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正確；設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有ba=2ab，即∴tan∠ACD=ADCD=∵△AEF∽△CBF，∴EFBF∴S△AEF=12S△ABF，S△ABF=16∴S△AEF=112S矩形又∵S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF=12S矩形ABCD?112S矩形ABCD=∴S四邊形CDEF=52S△ABF，故故選：A．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．解題時注意：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．2．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點G，下列結(jié)論：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，得到CE＝CF；由正方形的性質(zhì)就可以得出∠AEB＝75°；設(shè)EC＝x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE，再通過比較大小就可以得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．∵△AEF等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．∴∠BAE+∠DAF＝30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=ADAE=AFRt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴CE＝CF，故①正確；∵∠BAE＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°，∴∠AEB＝75°，故②正確；設(shè)EC＝x，由勾股定理，得EF=2x，CG=2AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°=62∴AG≠2GC，③錯誤；∵CG=22x，AG=∴AC=2∴AB＝AC?22=∴BE=1+32x﹣x∴BE+DF＝（3?1）x∴BE+DF≠EF，故④錯誤；∵S△CEF=12xS△ABE=12×BE×AB=12×1+∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正確．綜上所述，正確的有3個，故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質(zhì)解題時關(guān)鍵．3．如圖，正方形ABCD中，以AD為底邊作等腰△ADE，將△ADE沿DE折疊，點A落到點F處，連接EF剛好經(jīng)過點C，再連接AF，分別交DE于G，交CD于H．在下列結(jié)論中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF＝30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC＝CF；⑤S△HCF＝S△ADH，其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】首先證明∠HCF＝∠FHC＝67.5°，由此可以判定③正確，②錯誤，再證明AC∥DF，推出S△DFA＝S△FDC，由此判斷⑤正確，根據(jù)ASA可以判斷①正確，在△EAF中，由∠CAE＝∠CAF，∠AEC＝90°，作CK⊥AF于K，推出CE＝CK＜CF，由此判斷④錯誤．【解答】解：如圖，連接AC、以D為圓心DA為半徑畫圓．∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝DC＝AB＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DCB＝90°，∠ACD＝∠DAC＝45°∵△DEF是由△DEA翻折得到，∴DA＝DF＝DC，EA＝EF，∠AED＝∠DEF，∴∠AFC=12∠∴∠EFA＝∠EAF＝45°，∴∠AEF＝90°，∴∠DEF＝∠DEA＝45°，∵EA＝ED＝EF，∴∠DAE＝∠ADE＝∠EDF＝∠EFD＝67.5°，∴∠DAF＝∠DFA＝22.5°，∴∠ADF＝180°﹣∠DAF﹣∠DFA＝135°，∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝45°，∴∠DCF＝180°﹣∠CDF﹣∠DFC＝67.5°，∵∠CHF＝∠CDF+∠DFA＝67.5°，∴∠HCF＝∠FHC，∴△CFH是等腰三角形，故③正確．②錯誤，∵∠ACD＝∠CDF，∴AC∥DF，∴S△DFA＝S△FDC，∴S△ADH＝S△CHF，故⑤正確，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠BAM＝∠CDN，在△ABM和△DCN中，∠BAM=∠CDNAB=DC∴△ABM≌△DCN，故①正確，在△EAF中，∵∠CAE＝∠CAF，∠AEC＝90°，作CK⊥AF于K，∴CE＝CK＜CF，∴CE≠CF故④錯誤．∴①③⑤正確，選B．【點評】本題考查四邊形綜合題、圓的有關(guān)性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造圓利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．4．如圖，已知直線l∥AB，l與AB之間的距離為2．C、D是直線l上兩個動點（點C在D點的左側(cè)），且AB＝CD＝5．連接AC、BC、BD，將△ABC沿BC折疊得到△A′BC．下列說法：①四邊形ABCD的面積始終為10；②當(dāng)A′與D重合時，四邊形ABDC是菱形；③當(dāng)A′與D不重合時，連接A′、D，則∠CA′D+∠BCA′＝180°；④若以A′、C、B、D為頂點的四邊形為矩形，則此矩形相鄰兩邊之和為35或7．其中正確的是（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【分析】①根據(jù)平行四邊形的判定方法可得到四邊形ABCD為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計算；②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC＝CD，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；③連接A′D，根據(jù)折疊性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得到CA′＝CA＝BD，AB＝CD＝A′B，∠1＝∠CBA＝∠2，可證明△A′CD≌△A′BD，則∠3＝∠4，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到得到∠1＝∠4，則根據(jù)平行線的判定得到A′D∥BC；④討論：當(dāng)∠CBD＝90°，則∠BCA＝90°，由于S△A1CB＝S△ABC＝5，則S矩形A′CBD＝10，根據(jù)勾股定理和完全平方公式進行計算；當(dāng)∠BCD＝90°，則∠CBA＝90°，易得BC＝2，而CD＝5，于是得到結(jié)論．【解答】解：①∵AB＝CD＝5，AB∥CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABDC的面積＝2×5＝10；故①正確；②∵四邊形ABDC是平行四邊形，∵A′與D重合時，∴AC＝CD，∵四邊形ABDC是平行四邊形，∴四邊形ABDC是菱形；故②正確；③連接A′D，如圖，∵△ABC沿BC折疊得到△A′BC，∴CA′＝CA＝BD，AB＝CD＝A′B，在△A′CD和△A′BD中CA'=BDCD=BA'∴△A′CD≌△A′BD（SSS），∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠CBA＝∠2，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∴∠1＝∠4，∴A′D∥BC，∴∠CA′D+∠BCA′＝180°；故③正確；④設(shè)矩形的邊長分別為a，b，當(dāng)∠CBD＝90°，∵四邊形ABDC是平行四邊形，∴∠BCA＝90°，∴S△A′CB＝S△ABC=1∴S矩形A′CBD＝10，即ab＝10，而BA′＝BA＝5，∴a2+b2＝25，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝45，∴a+b＝35，當(dāng)∠BCD＝90°時，∵四邊形ABDC是平行四邊形，∴∠CBA＝90°，∴BC＝2，而CD＝5，∴（a+b）2＝（2+5）2＝49，∴a+b＝7，∴此矩形相鄰兩邊之和為35或7．故④正確．故選：D．【點評】本題考查了四邊形綜合題：熟練掌握平四邊形的判定與性質(zhì)以及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)；會運用折疊的性質(zhì)確定相等的線段和角．5．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于點F，CE⊥AE，垂足為點E，EG⊥CD，垂足為點G，點H在邊BC上，BH＝DF，連接AH、FH，F(xiàn)H與AC交于點M，以下結(jié)論：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE=12AF；⑤EG2＝FG?其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、證明△ABH≌△ADF，得AF＝AH，再得AC平分∠FAH，則AM既是中線，又是高線，得AC⊥FH，證明BH＝HM＝MF＝FD，則FH＝2BH；所以①②都正確；③可以直接求出FC的長，計算S△ACF≠1，錯誤；④根據(jù)正方形邊長為2，分別計算CE和AF的長得結(jié)論正確；還可以利用圖2證明△ADF≌△CDN得：CN＝AF，由CE=12CN=⑤利用相似先得出EG2＝FG?CG，再根據(jù)同角的三角函數(shù)列式計算CG的長為1，則DG＝CG，所以⑤也正確．【解答】解：①②如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°，∵BH＝DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°，∴∠HAC＝∠FAC，∴HM＝FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF＝FM，∴FH＝2DF＝2BH，故選項①②正確；③在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的邊長為2，∴AC＝22，MC＝DF＝22?∴FC＝2﹣DF＝2﹣（22?2）＝4﹣22S△AFC=12CF?所以選項③不正確；④AF=AD2∵△ADF∽△CEF，∴ADCE∴2CE∴CE=4?2∴CE=12故選項④正確；⑤延長CE和AD交于N，如圖2，∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，∴CE＝EN，∵EG∥DN，∴CG＝DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2＝FG?CG，∴EG2＝FG?DG，故選項⑤正確；本題正確的結(jié)論有4個，故選：C．【點評】本題是四邊形的綜合題，綜合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定；求邊時可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函數(shù)列式計算；同時運用了勾股定理求線段的長，勾股定理在正方形中運用得比較多．6．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O①△ABE≌△AHD；②HE＝CE；③H是BF的中點；④AB＝HF；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=2AB，從而得到AE＝AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等；從而判斷出①②由①可得AB＝BE＝CD＝HD，繼而證得∠EDH＝∠EDC，然后由角平分線的性質(zhì)，證得②正確；③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BH＝HF，判斷出③正確；④判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④錯誤．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=2AB∵AD=2AB∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，∠BAE=∠DAE∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正確；∴BE＝DH，∴AB＝BE＝CD＝HD，∴∠ADE＝∠AED=1∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，∵∠C＝90°，DH⊥AE，∴∠EDH＝∠EDC，∴HE＝CE；故②正確；∵AB＝AH，∵∠AHB=1∴∠OHE＝∠AHB＝67.5°，∴∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，在△BEH和△HDF中，∠EBH=∠OHD=22.5°BE=DH∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，即H是BF的中點；故③正確；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等邊三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故④錯誤；綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個．故選：C．【點評】此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，正方形ABCD中，P為AB中點，BE⊥DP交DP延長線于E，連接AE，AF⊥AE交DP于F，連接BF，CF．下列結(jié)論：①EF=2AF；②AB＝FB；③CF∥BE；④EF＝CFA．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)推出∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，AB＝AD，證△ABE≌△ADF即可；取EF的中點M，連接AM，推出AM＝MF＝EM＝DF，證∠AMB＝∠FMB，BM＝BM，AM＝MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC＝∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠DAF+∠BAF＝90°，∵AF⊥AE，∴∠BAE+∠BAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∵BE⊥DP，∴∠ABE+∠BPE＝90°，又∵∠ADF+∠APD＝90°，∠BPE＝∠APD，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，∠ABE=∠ADFAB=AD∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=2AF；故①∴AE＝AF，BE＝DF，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，取EF的中點M，連接AM，∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM，∴BE∥AM，∵AP＝BP，∴AM＝BE＝DF，∴∠EMB＝∠EBM＝45°，∴∠AMB＝90°+45°＝135°＝∠FMB，在△ABM和△FBM中，AM=FM∠AMB=∠FMB∴△ABM≌△FBM（SAS），∴AB＝BF，故②正確；∴∠BAM＝∠BFM，∵∠BEF＝90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，∴∠APF＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD＝∠FDC，∴∠EBF＝∠FDC，在△BEF和△DFC中，BE=DF∠EBF=∠FDC∴△BEF≌△DFC（SAS），∴CF＝EF，∠DFC＝∠FEB＝90°，故④正確；∴CF⊥DE，∵BE⊥DP，∴CF∥BE；故③正確．故選：D．【點評】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．8．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E、F分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點H與點A重合時，EF=20以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF＝FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°時EC平分∠DCH，判斷出②錯誤；③點H與點A重合時，設(shè)BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點G與點A重合時，CF＝CD，求出BF＝4，然后寫出BF的取值范圍，判斷出③正確；④過點F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．【解答】解：①∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四邊形CFHE是平行四邊形，由翻折的性質(zhì)得，CF＝FH，∴四邊形CFHE是菱形，故①正確；②∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°時EC平分∠DCH，故②錯誤；③點H與點A重合時，設(shè)BF＝x，則AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，點G與點A重合時，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，故③正確；過點F作FM⊥AD于M，則ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF=MF2故④正確；綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個．故選：C．【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．9．如圖，在邊長為62的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE＝DG，連接EG，過點C作EG的垂線CH，垂足為點H，連接BH，BH＝8．有下列結(jié)論：①∠CBH＝45°；②點H是EG的中點；③EG＝410；④DG＝22其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】連接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，證明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，證明∠GEC＝45°，根據(jù)四點共圓證明①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一證明②正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EG的長，得到③正確；求出BE的長，根據(jù)DG＝BE，求出BE證明④正確．【解答】解：連接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，在△CBE和△CDG中，CB=CD∠CBE=∠CDG∴△CBE≌△CDG，∴EC＝GC，∠GCD＝∠ECB，∵∠BCD＝90°，∴∠ECG＝90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∠EHC＝90°，∴E、B、C、H四點共圓，∴∠CBH＝∠GEC＝45°，①正確；∵CE＝CG，CH⊥EG，∴點H是EG的中點，②正確；∵∠HBF＝45°，BH＝8，∴FH＝FB＝42，又BC＝62，∴FC＝22，∴CH=HF2∴EG＝2CH＝410，③正確；∵CH＝210，∠HEC＝45°，∴EC＝45，∴BE=EC2∴DG＝22，④正確，故選：D．【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的運用，根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在菱形ABCD中，AB＝BD，點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE＝DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．給出如下幾個結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=32CG③若AF＝2DF，則BG＝6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；②證明∠BGE＝60°＝∠BCD，從而得點B、C、D、G四點共圓，因此∠BGC＝∠DGC＝60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S四邊形BCDG＝S四邊形CMGN，易求后者的面積；③過點F作FP∥AE于P點，根據(jù)題意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，則FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF；④因為點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE＝DF，當(dāng)點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點時，CG⊥BD；⑤∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°．【解答】解：①∵ABCD為菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB，故本選項正確；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴點B、C、D、G四點共圓，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，∴∠BGC＝∠DGC＝60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），則△CBM≌△CDN（AAS），∴S四邊形BCDG＝S四邊形CMGN，S四邊形CMGN＝2S△CMG，∵∠CGM＝60°，∴GM=12CG，CM=∴S四邊形CMGN＝2S△CMG＝2×12×12CG×③過點F作FP∥AE交DE于P點（如圖2），∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，即BG＝6GF，故本選項正確；④當(dāng)點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點時（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，∵點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點，∴∠BDE＝∠DBG＝30°，∴DG＝BG，在△GDC與△BGC中，DG=BGCG=CG∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG＝∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，為定值，故本選項正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個，故選：B．【點評】此題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，把不規(guī)則圖形的面轉(zhuǎn)化為兩個全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，M、N兩點分別從點B、C開始沿邊BC和CD勻速運動，如果點M、N同時出發(fā)，它們運動的速度均為每秒2個單位長度，當(dāng)點M到達終點C時，點N也停止運動，設(shè)運動的時間為t（s）．下列說法：①當(dāng)t＝3時，MN∥BD；②當(dāng)t＝6時，△AMN的面積最??；③當(dāng)t＝4時，S△ABM＝S△AND；④不存在MN與AN垂直的時刻，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題意分別求出CM、CN，根據(jù)平行線的判定定理判斷①；根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形的面積公式求出兩個三角形的面積，比較判斷③；根據(jù)勾股定理的逆定理計算，判斷④．【解答】解：當(dāng)t＝3時，BM＝6，CN＝6，∴CM＝6，DN＝18，∴CMCB∴MN與BD不平行，①錯誤；由題意得，△AMN的面積＝四邊形ABCD的面積﹣△ADN的面積﹣△NCM的面積﹣△ABM的面積＝288?12×12×（24﹣2t）?12×2t＝t2﹣12t+144＝（t﹣12）2，當(dāng)t≤12時，y隨x的增大而減小，又0≤t≤6，∴當(dāng)t＝6時，△AMN的面積最小，②正確；當(dāng)t＝4時，S△ABM=1S△AND=1∴當(dāng)t＝4時，S△ABM＝S△AND，③正確；由題意得，AN2＝AD2+DN2＝144+（24﹣2t）2＝4t2﹣96t+720，MN2＝CN2+CM2＝8t2﹣48t+144，AM2＝AB2+BM2＝4t2+576，當(dāng)MN與AN垂直時，4t2﹣96t+720+8t2﹣48t+144＝4t2+576，整理得，t2﹣18t+36＝0，解得，t1＝9﹣35，t2＝9+35（不合題意），當(dāng)t＝9﹣35時，MN與AN垂直，④不正確；故選：B．【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握平行線的判定定理、二次函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．12．如圖，正方形ABCD的邊CD與正方形CGFE的邊CE重合，O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于H，連接OH、FH、EG與FH交于M，對于下面四個結(jié)論：①GH⊥BE；②HO=∥12BG；③點H不在正方形CGFE的外接圓上；④△GBE其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】（1）由四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE＝90°，從而得GH⊥BE；（2）由GH是∠EGC的平分線，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中點，利用中位線定理，得HO=∥1（3）△EHG是直角三角形，因為O為EG的中點，所以O(shè)H＝OG＝OE，得出點H在正方形CGFE的外接圓上；（4）連接CF，由點H在正方形CGFE的外接圓上，得到∠HFC＝∠CGH，由∠HFC+∠FMG＝90°，∠CGH+∠GBE＝90°，得出∠FMG＝∠GBE，所以△GBE∽△GMF．【解答】解：（1）如圖，∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，BC=CD∠BCE=∠DCG∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE．故①正確；（2）∵GH是∠EGC的平分線，∴∠BGH＝∠EGH，在△BGH和△EGH中∠BGH=∠EGHGH=GH∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中點，∴HO是△EBG的中位線，∴HO=∥1故②正確；（3）由（1）得△EHG是直角三角形，∵O為EG的中點，∴OH＝OG＝OE，∴點H在正方形CGFE的外接圓上，故③錯誤；（4）如圖2，連接CF，由（3）可得點H在正方形CGFE的外接圓上，∴∠HFC＝∠CGH，∵∠HFC+∠FMG＝90°，∠CGH+∠GBE＝90°，∴∠FMG＝∠GBE，又∵∠EGB＝∠FGM＝45°，∴△GBE∽△GMF．故④正確，故選：C．【點評】本題主要考查了四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是能靈活利用三角形全等的判定和性質(zhì)來解題．二．填空題13．如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點E是邊BC的中點，連接AE、DE，分別交BD、AC點P、Q，過點P作PF⊥AE交CB于點F，下列結(jié)論：①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC=163，則④CE?EF＝EQ?DE．其中正確的結(jié)論有①②④．（填序號即可）【分析】由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠AEB＝∠DEC＝45°，由外角的性質(zhì)可求∠EAC＝∠EDB，可判斷①；通過證明△ADP∽△EBP，可得ADBE=APPE=2，可判斷②；通過證明△ADQ∽△CEQ，可得ADEC=AQQC=2，可得AQ＝2QC，由三角形的面積公式可求AB＝4，可判斷③，由“SAS”可證△ABE≌△DCE，可得AE＝DE，由相似三角形的性質(zhì)可求PE＝【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BC＝2AB，點E是邊BC的中點，∴BE＝EC＝AB＝CD，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∵∠AEB＝∠ACB＝∠EAC，∠DEC＝∠DBC+∠BDE，∴∠EAC＝∠EDB，故①正確；∵PF⊥AE，∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF，∵AD∥BC，∴△ADP∽△EBP，∴ADBE∴AP＝2PE＝2PF，故②正確；∵AD∥BC，∴△ADQ∽△CEQ，∴ADEC∴AQ＝2QC，∵S△DQC=16∴S△ADC＝16，∴12×AD×∴DC＝4，∴AB＝4，故③錯誤，∵AB＝BE，DC＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴AE＝DE，∵△ADP∽△EBP，△ADQ∽△CEQ，∴BEAD=∴PEAP∴EPAE∴PE＝EQ，∵∠AEB＝∠DEC＝45°，∠EPF＝∠ECD＝90°，∴△PEF∽△CDE，∴PEEC∴CE?EF＝EQ?DE．故④正確；故答案為：①②④．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝6，點E在AB上，將△DAE沿直線DE折疊，使點A恰好落在DC上的點F處，連接EF，分別與矩形ABCD的兩條對角線交于點M和點G．給出以下四個結(jié)論：①△ADE是等腰直角三角形；②S△BEM：S△BAD＝1：4；③FG＝GM＝EM；④sin∠EDM=1313，其中正確的結(jié)論序號是①③【分析】由折疊的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得AD＝AE，可判斷①；通過證明△BME∽△BDA，可得S△BEM：S△BAD＝1：9，可判斷②；由平行線分線段成比例可求EM，F(xiàn)G，GM的長，可判斷③；由勾股定理和銳角三角函數(shù)可求EH的長，可判斷④，即可求解．【解答】解：①∵將△DAE沿直線DE折疊，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰直角三角形，故①正確；②∵AD＝AE＝4，∴BE＝AB﹣AE＝2，∵將△DAE沿直線DE折疊，∴∠AED＝∠DEF＝45°，AE＝EF＝4，AD＝DF＝4，∴∠AEF＝90°，∴AD∥EF，∴△BME∽△BDA，∴S△BEM：S△BAD＝（BE）2：（AB）2＝4：36＝1：9，故②錯誤；③∵AB∥CD，∴BEDF=EM∴EM=43，F(xiàn)G∴GM=4∴FG＝GM＝EM，故③正確；④如圖，過點E作EH⊥DB于H，∵AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴DE＝42，∵AD＝4，AB＝6，∠DAE＝90°，∴DB=AD2+AB∵sin∠ABD=EH∴42∴EH=4∴sin∠EDH=EH故④錯誤，故答案為：①③．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．15．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．①矩形DEFG是正方形；②△GAF∽△CED；③AE+AG=2AD；④若F為AB中點，連接DF交AC于點M，則EM=523，正確的有【分析】①由“ASA”可證△EQD≌△ENF，可得ED＝EF，可證矩形DEFG是正方形；②由“SAS”可證△ADG≌△CDE，可得∠DAG＝∠DCE＝45°，進而可得∠GAF＝135°，由三角形內(nèi)角和定理可求∠DEC＜135°，則△GAF與△CED不相似；③由全等三角形的性質(zhì)可得AG＝CE，由正方形的性質(zhì)可求解；④由勾股定理可求DF的長，通過證明△DCM∽△FAM，可求HM的長，由勾股定理可求EM的長．【解答】解：如圖，作EQ⊥AD于Q，EN⊥AB于N，∵四邊形BACD為正方形，∴∠EAD＝∠EAB，EQ＝EN，∵∠EQA＝∠EQD＝∠DAB＝90°，∴四邊形ANEQ是矩形，∴∠QEN＝90°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠DEQ＝∠FEN，在△EQD和△ENF中，∠DEQ=∠FENEQ=EN∴△EQD≌△ENF（ASA），∴ED＝EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形，故①正確；∵四邊形DEFG是正方形，∴DG＝DE，∵∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，又∵AD＝DC，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG＝∠DCE＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAB＝135°，∵∠DEC+∠DCE+∠CDE＝180°，∴∠DEC＜135°，∴∠DAF≠∠DEC，∴△GAF與△CED不相似，故②錯誤；∵△ADG≌△CDE，∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+CE＝AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC=2AD∴AE+AG=2AD，故③如圖，過點E作EH⊥DF于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵點F是AB中點，∴AF＝FB，∴DF=AD2+AF∵△DEF是等腰直角三角形，∴DH＝HF＝EH=12DF∵AB∥CD，∴△DCM∽△FAM，∴MFDM∴MF=12∴DM=23×∴HM=5∴EM=HM2+EM故答案為①③④．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．16．如圖，在正方形ABCD中，E為AB上一點，過點E作EF∥AD．與AC、DC分別交于點G、F，H為CG的中點，連接DE、EH、DH、FH．下列結(jié)論：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④PH2＝AP2+CH2；⑤若AEAB=13，則3S△EDH＝5其中結(jié)論正確的有①②③④⑤．（填寫序號）【分析】①根據(jù)題意可知∠ACD＝45°，則GF＝FC，則EG＝EF﹣GF＝CD﹣FC＝DF；③由SAS證明△EHF≌△DHC；②由全等三角形的性質(zhì)得到∠HEF＝∠HDC，從而∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝180°；④由“SAS”可證△QDP≌△HDP，可得PH＝QP，∠QAD＝∠HCD＝45°，由勾股定理可得結(jié)論；⑤若AEAB=13，則AE=12BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG＝∠DHF且EH＝DH，則∠DHE＝90°，△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，設(shè)HM＝x，則DM＝2x，DH=5x，CD＝3x，則S△DHC=12×HM×CD=32x【解答】解：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，∴△CFG為等腰直角三角形，∴GF＝FC，∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，∴EG＝DF，故①正確；②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，∴FH＝CH，∠GFH=12∠GFC＝45°＝∠HCD在△EHF和△DHC中，EF=CD∠EFH=∠DCH∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；∴∠HEF＝∠HDC，∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正確；④如圖，將△DCH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，可得△DAQ，連接QP，∴△DAQ≌△DCH，∴AQ＝CH，DQ＝DH，∠ADQ＝∠CDH，∵△EHF≌△DHC，∴EH＝DH，∠EHF＝∠DHC，∴∠DHE＝∠FHC＝90°，∴∠EDH＝45°，∴∠ADP+∠CDH＝45°，∴∠ADP+∠ADQ＝45°＝∠EDH，又∵QD＝DH，DP＝DP，∴△QDP≌△HDP（SAS），∴PH＝QP，∠QAD＝∠HCD＝45°，∴∠QAP＝90°，∴QA2+AP2＝QP2，∴PH2＝AP2+CH2，故④正確；⑤∵AEAB∴AE=12∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，∴FH＝GH，∠FHG＝90°，∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD，在△EGH和△DFH中，EG=DF∠EGH=∠HFD∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°，∴△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：設(shè)HM＝x，則DM＝2x，DH=5x，CD＝3x則S△DHC=12×HM×CD=32x2，S△EDH=12×DH2=1∴3S△EDH＝5S△DHC，故⑤正確；故答案為：①②③④⑤．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．17．如圖，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，過D作DC⊥BE交BE的延長線于點C，連接BH并延長交DC于點F，連接DE交BF于點O．下列結(jié)論，其中正確的是①②④⑤．①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③CD＝HF；④BC﹣CF＝2CE；⑤H是BF的中點，【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAE＝∠AEB＝45°，AD＝AE=2BE，DH＝BE，AH＝AB，∠ABE＝∠AHD＝90°，通過證明四邊形ABCD是矩形，可得AB＝CD＝DH，AD＝BC=2BE，∠BCD＝∠DHE＝90°，由“HL”可證Rt△DEC≌Rt△DEH，可得HE＝EC，∠AED＝∠DEC＝67.5°，∠CDE＝∠HDE＝22.5°，可判斷①；由角的數(shù)量關(guān)系和等腰三角形的判定和性質(zhì)，可判斷②⑤；由相似三角形的判定和性質(zhì)可得CF＝2HN＝（2?2）BE，由線段的和差關(guān)系可判斷④；由∠HFD≠∠HDF，可得HF≠DH【解答】解：∵∠ABE＝90°，AB＝BE，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，AE=2BE∵將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，∴∠DAE＝∠AEB＝45°，AD＝AE=2BE，DH＝BE，AH＝AB，∠ABE＝∠AHD∴∠DAB＝∠ABE＝90°，AH＝DH＝AB＝BE，又∵DC⊥BE，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝DH，AD＝BC=2BE，∠BCD＝∠DHE∵DH＝DC，DE＝DE，∴Rt△DEC≌Rt△DEH（HL），∴HE＝EC，∠AED＝∠DEC＝67.5°，∠CDE＝∠HDE＝22.5°，∴DE平分∠HDC，故①正確；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴∠ABH＝∠AHB＝67.5°，∴∠OHE＝∠OEH＝67.5°，∴OH＝OE，∠DHO＝22.5°＝∠HDO，∴DO＝HO，∴OE＝OD，故②正確；如圖，連接CH，∵∠ABH＝67.5°，∴∠CBH＝22.5°，∴∠BFC＝67.5°，∵HE＝EC，∠AEB＝45°，∴∠ECH＝∠EHC＝22.5°，∴∠HBC＝∠HCE，∠FCH＝67.5°，∴BH＝CH，∠FCH＝∠BFC，∴HC＝HF，∴BH＝HF，∴點H是BF的中點，故⑤正確，如圖，過點H作HN⊥BC于N，∴HN∥CD，∴△BHN∽△BFC，∴BHBF∴FC＝2HN，∵AE=2BE，AH＝BE∴HE＝（2?1）BE＝CE∵HN⊥BC，∠AEB＝45°，∴HN=22HE=22（∴CF＝2HN＝（2?2）BE∵BC﹣CF＝BE+CE﹣CF＝BE+（2?1）BE﹣（2?2）BE＝2（2?∴BC﹣CF＝2CE，故④正確；∵∠HFD＝180°﹣67.5＝112.5°，∠HDF＝45°，∴∠HFD≠∠HDF，∴HF≠DH，∴HF≠CD，故③不合題意，故答案為：①②④⑤．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．18．如圖，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3．把AD沿AE折疊，使點D恰好落在AB邊上的D′處，再將△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α，得到△A'ED″，使得EA′恰好經(jīng)過BD′的中點F．A′D″交AB于點G，連接AA′．有如下結(jié)論：①A′F的長度是6?2；②弧D'D″的長度是5312π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，可證四邊形ADED'是正方形，可得AD＝AD'＝D'E＝DE=3，AE=2AD=6，∠EAD'＝∠AED'＝45°，由勾股定理可求EF的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝A'E=6，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，可求A'F=6?2，可判斷①；由銳角三角函數(shù)可求∠FED'＝30°，由弧長公式可求弧D'D″的長度，可判斷②；由等腰三角形的性質(zhì)可求∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∠A'AF＝7.5°，可判斷③；由“HL”可證Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∴∠D'GE＝∠D''GE＝52.5°，可證△【解答】解：∵把AD沿AE折疊，使點D恰好落在AB邊上的D′處，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四邊形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'=3∴四邊形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE=3，AE=2AD=6，∠EAD∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵點F是BD'中點，∴D'F＝1，∴EF=D'E∵將△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α，∴AE＝A'E=6，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD∴A'F=6?2，故∵tan∠FED'=D'F∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的長度=75°×π×3180°=∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠A'AF≠∠EA'G，∠AFA'＝120°≠∠EA'G，∴△A'AF與△A'GE不全等，故③錯誤；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AFA'＝∠EFG，∴△AFA'∽△EFG，故④正確，故答案為：①②④．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，弧長公式，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理證明是本題的關(guān)鍵．19．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E在AD上，且DE＝CD，連接OE，∠ABE=12∠ACB，若AE＝2，則OE的長為13【分析】注意到∠ABE=12ACB，于是作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F．設(shè)BE與AC的交點為G．推出△CBG與△AGE均為等腰三角形，設(shè)矩形的寬為x，然后表示出BC和AC的長度，由勾股定理列方程解出x，接下來利用∠ADB的正弦值和余弦值求出EF和OF，EF的長度，【解答】解：如圖，作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F．設(shè)BE與AC的交點為G．則∠HBC+∠BCH＝∠BHC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AC＝BD∴∠ABE+∠CBH＝90°，∴∠ABE＝∠BCH，∵∠ABE=12∠∴∠BCH＝∠GCH，∴BH＝GH，BC＝CG，∠CBH＝∠CGH，設(shè)AB＝x，則ED＝CD＝AB＝x，∵AE＝2，所以AD＝AE+ED＝2+x，∴CG＝CB＝2+x，∵AD∥BC，∴∠AEG＝∠CBH＝∠CGH＝∠AGE，∴AG＝AE＝2，∴AC＝AG+CG＝4+x，在Rt△ABC中：AB2+BC2＝AC2，∴x2+（x+2）2＝（x+4）2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍），∴AB＝CD＝6，AD＝AC＝8，AC＝BD＝10，∵AC與BD交于點O，∴AO＝BO＝CO＝DO＝5，∵sin∠BDA=ABBD=EF∴EF=35ED=185，∴OF＝OD﹣DF＝5?在Rt△EFO中：OE2＝OF2+EF2＝（15）2+（185）2∴OE=13故答案為：13【點評】本題為四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等重要知識點．證明△CBG和△AEG均為等腰三角形是解答本題的要點和關(guān)鍵所在．20．矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知B（23，2），點A在x軸上，點C在y軸上，P是對角線OB上一動點（不與原點重合），連接PC，過點P作PD⊥PC，交x軸于點D，下列結(jié)論：①OA＝BC＝23；②當(dāng)點D運動到OA的中點處時，PC2+PD2＝6；③在運動過程中，∠CDP是一個定值；④當(dāng)△ODP為等腰三角形時，點D的坐標(biāo)為(233，0)．其中結(jié)論正確的是【分析】①根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到OA＝BC＝23；故①正確；②由點D為OA的中點，得到OD=12OA=3，根據(jù)勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（3）2③如圖，過點P作PF⊥OA于F，F(xiàn)P的延長線交BC于E，PE＝a，則PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE=3PE=3a，求得CE＝BC﹣BE＝23?3a=3（2﹣a），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到FD=④當(dāng)△ODP為等腰三角形時，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD=33OC=233，Ⅱ、OP＝OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合題意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合題意舍去；于是得到當(dāng)△ODP【解答】解：①∵四邊形OABC是矩形，B（23，2），∴OA＝BC＝23；故①正確；②∵點D為OA的中點，∴OD=12OA∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（3）2＝7，故②錯誤；③如圖，過點P作PF⊥OA于F，F(xiàn)P的延長線交BC于E，∴PE⊥BC，四邊形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝2，設(shè)PE＝a，則PF＝EF﹣PE＝2﹣a，在Rt△BEP中，tan∠CBO=PE∴BE=3PE=3∴CE＝BC﹣BE＝23?3a=3∵PD⊥PC，∴∠CPE+∠FPD＝90°，∵∠CPE+∠PCE＝90°，∴∠FPD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠PFD＝90°，∴△CEP∽△PFD，∴CEPF∴tan∠PDC=PC∴∠PDC＝60°，故③正確；④∵B（23，2），四邊形OABC是矩形，∴OA＝23，AB＝2，∵tan∠AOB=AB∴∠AOB＝30°，當(dāng)△ODP為等腰三角形時，Ⅰ、OD＝PD，∴∠DOP＝∠DPO＝30°，∴∠ODP＝120°，∴∠ODC＝60°，∴OD=33OCⅡ、當(dāng)D在x軸的正半軸上時，OP＝OD，∴∠ODP＝∠OPD＝75°，∵∠COD＝∠CPD＝90°，∴∠OCP＝105°＞90°，故不合題意舍去；當(dāng)D在x軸的負(fù)半軸上時，OP＝OD，∠OCP＝15°，∴BC＝BP′＝23，∴OD′＝OP′＝4﹣23，∴D（23?Ⅲ、OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝30°，∴∠OCP＝150°＞90°故不合題意舍去，∴當(dāng)△ODP為等腰三角形時，點D的坐標(biāo)為（233，0）或D（23?故答案為：①③．【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出相似三角形表示出CP和PD是解本題的關(guān)鍵．21．正方形ABCD中的邊長為6，對角線AC、BD交于點O，E為DC邊上一點，連接AE交BD于F，BG⊥AE于點G，連接OG，若∠DGE＝45°，則S△FGO＝65【分析】過D作DM⊥BG，交BG的延長線于M，BM交AD于H，過D作DN⊥AE于N，由AAS可證△ABH≌△DAE，得AH＝DE，由全等三角形的性質(zhì)可求AH＝DH＝2＝DE，通過相似三角形的性質(zhì)可求求AF和FG的長，根據(jù)同高三角形面積的比等于對應(yīng)邊的比可得結(jié)論．【解答】解：過D作DM⊥BG，交BG的延長線于M，BM交AD于H，過D作DN⊥AE于N，∵AE⊥BG，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADE＝90°，∴∠BAG+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠ABG，在△ABH和△DAE中，∠BAH=∠ADEAB=AD∴△ABH≌△DAE（ASA），∴AH＝DE，同理得：△AGH≌△DNE，∴AG＝DN，∵∠DGE＝45°=12∠MGE＝∠∴DM＝DN，∴AG＝DM＝DN，又∵∠M＝∠AGH，∠AHG＝∠DHM，∴△AGH≌△DMH（AAS），∴AH＝DH＝3＝DE，由勾股定理得：BD=62+62=62，∵AB∥DE，∴△ABF∽△EDF，∴ABDE∴AF＝2EF，∵AF+EF＝35，∴AF＝25，同理得：DF＝42，OF＝42?32∵sin∠ABG=AG∴AG6∴AG=6∴FG＝AF﹣AG＝25?∵S△AOF=12×AO×∴S△FGO=455故答案為：65【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造四邊形MGND，將△FGO的面積轉(zhuǎn)化為△AOF的面積，根據(jù)比例解決問題．22．如圖，已知邊長為4的菱形ABCD中，AC＝BC，E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上的動點，滿足BE＝AF，連接EF交AC于點G，CE、CF分別交BD與點M，N，給出下列結(jié)論：①∠AFC＝∠AGE；②EF＝BE+DF；③△ECF面積的最小值為33，④若AF＝2，則BM＝MN＝DN；⑤若AF＝1，則EF＝3FG；其中所有正確結(jié)論的序號是①③④．【分析】由“SAS”可證△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可證△EFC是等邊三角形，由外角的性質(zhì)可證∠AFC＝∠AGE；由點E在AB上運動，可得BE+DF≥EF；由等邊三角形的性質(zhì)可得△ECF面積的34EC2，則當(dāng)EC⊥AB時，△ECF的最小值為33；由等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求MN＝DN＝BM=433；由平行線分線段成比例可求【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∵AC＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC，△ACD是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，∴△BEC≌△AFC（SAS）∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△EFC是等邊三角形，∴∠EFC＝60°，∵∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+∠AFE，∠AGE＝∠AFE+∠CAD＝60°+∠AFE，∴∠AFC＝∠AGE，故①正確；∵BE+DF＝AF+DF＝AD，EF＝CF≤AC，∴BE+DF≥EF（當(dāng)點E與點B重合時，BE+DF＝EF），故②不正確；∵△ECF是等邊三角形，∴△ECF面積的34EC2∴當(dāng)EC⊥AB時，△ECF面積有最小值，此時，EC＝23，△ECF面積的最小值為33，故③正確；如圖，設(shè)AC與BD的交點為O，若AF＝2，則FD＝BE＝AE＝2，∴點E為AB中點，點F為AD中點，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO=12∠∴AO=12AB＝2，BO=3AO∴BD＝43，∵△ABC是等邊三角形，BE＝AE＝2，∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，∴BE=3EM＝2，BM＝2EM∴BM=4同理可得DN=4∴MN＝BD﹣BM﹣DN=4∴BM＝MN＝DN，故④正確；如圖，過點E作EH∥AD，交AC于H，∵AF＝BE＝1，∴AE＝3，∵EH∥AD∥BC，∴∠AEH＝∠ABC＝60°，∠AHE＝∠ACB＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴EH＝AE＝3，∵AD∥EH，∴AFEH∴EG＝3FG，故⑤錯誤，故答案為：①③④．【點評】本題是四邊形綜合題，考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題23．如圖①，菱形ABCD中，AB＝43，連接BD，點P是線段BC上一點（不與點B重合），AP與對角線BD交于點E，連接EC．（1）求證：∠BAE＝∠BCE；（2）若∠ABC＝60°，BP=3，求BE（3）在（2）的條件下，如圖②，點M、N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同速度沿BC、CA向終點C和A運動，連接AM和BN交于點G，當(dāng)tan∠CBN=35時，求△【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，證明△ABE≌△CBE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）連接AC交BD于點O，由勾股定理求出OB＝6，證明△AED∽△PEB，由相似三角形的性質(zhì)得出ADBP（3）設(shè)BM＝CN＝a，過點N作NH⊥BC于點H，證明△BMG∽△BNC，得出MG=77a，BG=37【解答】（1）證明：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，又BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BAE＝∠BCE；（2）解：連接AC交BD于點O，∵AC是菱形的對角線，∴AC⊥BO，在Rt△BOC中，AB＝BC＝43，∠CBO＝30°，∴CO＝23，∵BO2+CO2＝BC2，∴OB＝6，BD＝12，∵AD∥BP，∴△AED∽△PEB，∴ADBP∵AD＝43，BP=3∴43∴BE=12（3）設(shè)BM＝CN＝a，過點N作NH⊥BC于點