2024數(shù)學(xué)核按鈕考點(diǎn)突破第四章 三角函數(shù)與解三角形

第四章三角函數(shù)與解三角形

4.1任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

L了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制

的必要性.

2.借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

1.任意角

（1）正角、負(fù)角、零角:我們規(guī)定，一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒(méi)有做

任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角.任意角包括正角、負(fù)角和零角.

（2）角的相等:設(shè)角a由射線。4繞端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)而成，角由射線02,繞端

點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等,那么就稱a=B.

（3）象限角:我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角.為了方便，使角的頂點(diǎn)與原

點(diǎn)重合，角的始邊與％軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,就說(shuō)

這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何

一個(gè)象限（常稱為軸線角）.

（4）終邊相同的角:所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)

集合S="|6=a+/J36（r,kez},即任一與角a終邊相同的角,都可以表示

成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

2.弧度制

（1）角度制：用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制.

（2）弧度制：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,弧度

單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度.一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧

度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是。.

（3）單位圓：我們把主也為的圓叫做單位圓.

（4）角度和弧度的換算

（5）半徑為r的圓中，圓心角為arad的角所對(duì)的弧長(zhǎng)公式：I=|tr|-r,

圓心角為arad的扇形的面積公式：S=^lr=^\a\'r2.

3.三角函數(shù)的概念

（1）定義:設(shè)a是一個(gè)任意角，a&R,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)

P（久,y）,則sina=2,cosa=工,tana=（（久H0）,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切

函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

（2）三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)

三角函數(shù)定義域（弧度制下）第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)

sinaR++——

cosaR+——+

71

{aIaWkn+1

tana+——+—

fc6Z}

4.特殊角的三角函數(shù)值

角a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

71TlTTn2IT37T5K371

角a的弧度數(shù)0Tl2K

2yTTT

1

sina0111110-10

2

cosa10——________-101

22

tana0_1V3不存在一百-10不存在0

【常用結(jié)論】

5.角的集合

（1）象限角的集合

象限角角的集合表示

第一象限角{x\k?360°<x<90°+fc-360°,kEZ}

第二象限角{x|90°+k?360°<%<180°+k?360°+k°fZ}

第三象限角(x|180°+k-360°<%<270°+k?360。#GZ}

第四象限角{x|270°+k.360°<%<360°+k?360°,kGZ}

（2）非象限角（軸線角）的集合

角a終邊的位置角a的集合表示

在x軸的非負(fù)半軸上{a\a=k-360。,k6Z]

在X軸的非正半軸上{a[a=/c,360°+180°,kEZ}

在y軸的非負(fù)半軸上{a|a=fc-360°+90°,fc€Z}

在y軸的非正半軸上{a|a=k-360o+270°,fcGZ)

在久軸上{a|a=k?180。水6Z}

在y軸上{a|a=H18(T+9(r,keZ}

在坐標(biāo)軸上{a|a=k?90。,/ceZ)

6.sinl5°=^^,sin75°=^^,tanl5°=2-V3,tan75°=2+V3.

7.0<a時(shí),sina<a<tana，特別地，cosl<sinl<1<tanl.

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”

(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.(X)

(2)角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).(V)

(3)終邊落在直線丫=百％上的角可以表示為A.360。+60。，/cGZ.(X)

(4)若a為第二象限角，則sinatana<0.(V)

(5)a=2MT+30。/eZ)的寫法合乎規(guī)范.(X)

2.(教材改編題)若角。滿足條件sinBcosg<0,且cos/?-sin/?<0,則/?是

(B)

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

［解析］解:因?yàn)閟in/?cos0<0,所以sin。,cos/3異號(hào),

因?yàn)閏osS—sin/?<0,即cosB<sin￡,

所以sin/?>0,cos6<0,所以夕是第二象限角.故選B.

3.(教材改編題)已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。(一4,一3),則cos?+a)的值為

(C)

4

A..--3C.-D.--

555

3

［解析］解:依題意sina=-3

V(-4)2+(-3)25

所以cos(5+a)=-sina=|.故選C.

4.已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是1或4.

［解析］解：設(shè)扇形的圓心角為a，半徑為r，由扇形周長(zhǎng)公式和扇形面積公式得

2r+ar=6,ar2=4,消去r得36a=4(2+a)2，即小—5a+4=0解得a=

1,a=4.故填1或4.

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一象限角與終邊相同的角

例1

(1)若a是第四象限角，則n-a是第三象限角；:是第二或四象限角.

［解析］解：因?yàn)閍是第四象限角，

所以—1+2kn<a<2kn,kEZ,

所以—2/CTT<—cc<-2/CTT+~>k€Z,

所以IT—2Icn<n—a<-2/CTT4-|ir,kEZ,

故Ti一a是第三象限角./ar<三<kn,k€Z,故§是第二或四象限角.故填三；

二或四.

(2)【多選題】下列給出的角中，與-葭n終邊相同的角有(ABD)

TTD1311「，211入297T

A.-D.C.----D.----

3333

［解析］解:與終邊相同的角為一日n+2/CTT=］+2(k-2)n,keZ,

由g+2(k—2)TT=］得k=2,A正確；

由g+2(/c-2)n=等得k=4,B正確；

由］+2(k—2)n=—號(hào)得/c=gCZ,C錯(cuò)誤；

由g+2(k-2)n=-等得k=-3,D正確.

故選ABD.

(3)(教材探究改編)在平面直角坐標(biāo)系為0y中，角a和角/?的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)

0重合，始邊均與工軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，若

cosa=-,貝ijsin夕=(B)

2C2

-V5-B---DV5-

A.3333

［解析］解：角a和角0的終邊關(guān)于直線、=-%對(duì)稱，則a+夕=2("+手)=

2fcit+藪,kEZ.sin/?=sin(2fcu+學(xué)-a)=—cosa=—|.故選B.

【點(diǎn)撥】①象限角的確定，一般先寫出不等式，由不等式性質(zhì)確定，一般需要

對(duì)女分類討論.②與角a終邊相同的角的集合為{0/=2/nr+a#eZ},常用來(lái)

判斷所給角的象限，寫終邊相同角的集合，以及求與終邊相同的相關(guān)角.

變式1.

（1）【多選題】下列說(shuō)法正確的是（CD）

A.第二象限角比第一象限角大

B.60°角與600。角是終邊相同的角

C.鈍角一定是第二象限角

D.將表的分針撥慢10min,則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為g

［解析］解：A中，如100。是第二象限角，400。是第一象限角，第二象限角比第

一象限角小，故錯(cuò)誤；

B中,因?yàn)?00。Hk?360。+60。#6Z,所以60。角與600。角終邊不同，故錯(cuò)

誤；

C中，因?yàn)殁g角的范圍為C，7T）,所以鈍角是第二象限角，故正確；

D顯然正確.故選CD.

（2）終邊在直線y=上，且在［-2n）內(nèi)的角a的集合為

f5n2nn

13'333'，

［解析］解：如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線y=V5x,可以發(fā)現(xiàn)它與支軸的夾角是

p在［0,2IT）內(nèi)，終邊在直線y=上的角有兩個(gè)：/詈；在［一211,0）內(nèi)滿

足條件的角有兩個(gè)：-早，-y,故滿足條件的角a構(gòu)成的集合為

「5n2nn|./rr,^c5TT2nn4%

13，3’3’3,皿火I3，3'3'3，,

（3）［2023屆江蘇如皋一調(diào)］“角a與角￡的終邊關(guān)于直線y=%對(duì)稱”是

“sin（a+6）=1”的（A）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

［'解析］解：角a與角。的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則a+夕=2(kn+：)=2ku4-

5,keZ,sin(a+0)=1，則a+^=^+2kn,k&Z.故前者與后者互為充要

條件.故選A.

考點(diǎn)二扇形的弧長(zhǎng)與面積問(wèn)題

例2已知扇形力0B的周長(zhǎng)為8,則扇形40B的面積的最大值是2，此時(shí)弦長(zhǎng)

AB=4sinl.

［解析］解：由題意，設(shè)扇形40B的半徑為r,則弧長(zhǎng)l=8-2r,圓心角a=

8-2r8?

=2,

rr

扇形面積S=jr/=—r2+4r=—(r—2)2+4,

所以當(dāng)r=2時(shí)，有Smax=4,

此時(shí)弦長(zhǎng)|AB|=2rsin|=4sinl.故填4;4sinl.

【點(diǎn)撥】直接用公式Z=|a|R可求弧長(zhǎng)，利用S=1|a|N可求扇形面積，利用

S弓=5扇-SA可求弓形面積.關(guān)于扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式有角度制與弧度

制這兩種形式，一般使用弧度制.

變式2.

(1)一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的弧長(zhǎng)，則扇形的圓

心角是Tt—2弧度；扇形的面積是-2)r2.

［解析］解：設(shè)圓心角大小為a,

根據(jù)題意,2r+ra=irr，解得a=TT-2.

故扇形面積為S=1ar2=-2)r2.

故填Ti-2(n-2)r2.

(2)［2023屆浙江名校協(xié)作體高三上適應(yīng)考］如圖，是由杭州2022年第19屆亞

運(yùn)會(huì)會(huì)徽抽象出的幾何圖形.設(shè)弧AD的長(zhǎng)度是k，弧BC的長(zhǎng)度是辦，幾何圖形

ABCD的面積為Si,扇形BOC的面積為S2,若*=2,則￡=(C)

AD

B、/C

、、、/

O

［解析］解：設(shè)z/OD=6,OA=r1,OB=r2,

所以，1=。X「1,<2=。X「2，而，=2,

所以a=2,即B是。/的中點(diǎn)，

r2

Si=怖。（療-rz）=,S2=\0rl,

所以fl=3.故選C.

$2

考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

例3【多選題】已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，

它的終邊過(guò)點(diǎn)P(-|,-6，將角a的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到角S，則下列結(jié)論

正確的是(AC)

A.tana=-B.cos0=—

C.sin（a—夕）=—1

［解析］解：對(duì)于A,由題得tana=3=，所以A正確;

對(duì)于B,由題得夕=a+；,所以cos/?=cos(a+；)=-sina=，所以B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,sin(a-0)=sin(—；)=—1，或由題得cos￡=1,sin￡=sin(a+~)=

cosa二一|,所以sin(a-夕)=——(―|)x(—|)=—1,所以C正確；

對(duì)于D,sin0+E)=-|x涯+：x^=①，所以D錯(cuò)誤.故選AC.

4525210

【點(diǎn)撥】三角函數(shù)定義應(yīng)用問(wèn)題的解題思路：①直接利用三角函數(shù)的定義，找

到或根據(jù)已知給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)

角的三角函數(shù)值;②已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過(guò)三角函數(shù)的定義列出

關(guān)于參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.牢記各象限三角函數(shù)值的符號(hào)，在計(jì)算或化簡(jiǎn)三

角函數(shù)關(guān)系時(shí)，要注意對(duì)角的范圍以及三角函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行必要的討論.

變式3.

(1)［2023屆江蘇南京、鎮(zhèn)江部分學(xué)校十月調(diào)研］已知點(diǎn)P(cos?,l)是角a終

邊上一點(diǎn)，則cosa=(B)

［解析］解：依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一31)，QP|=J(-1)2+l2=y,cosa=

■#=.故選B.

~2

(2)［2023屆河南高三上第四次段考］在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，將向量a=

(73,-1)繞原點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)夕后得到向量南=(m,n)，則nrn=

6

［解析］解：設(shè)以X軸正半軸為始邊，。4為終邊，對(duì)應(yīng)的角為a(0<a<2K),

根據(jù)題意，瓦？=(遮,—1)在第四象限，|瓦?|=2,得cosa=?,sina=

則仇=生，

26

所以m=2cos(---)=1,n=2sin(——-)=—V3,從而nm=-V3.故

6666

填-遮.

學(xué)科素養(yǎng)?三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化

典例

(1)［2022年全國(guó)甲卷］沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其

中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖，眉是以。為圓心，。4為半徑的圓

弧，C是的中點(diǎn)，。在晶上，CD.“會(huì)圓術(shù)”給出前的弧長(zhǎng)的近似

值s的計(jì)算公式：s=4B+衛(wèi).當(dāng)04=2,乙40B=60。時(shí)，s=(B)

11-3V3D*

2

［解析］解：如圖，連接OC,因?yàn)镃是的中點(diǎn)，所以。CJ.AB,又CD_L

AB,所以O(shè),C,D三點(diǎn)共線，即。0=04=08=2,又440B=60。，所以

AB=OA=0B=2,則。。=8，故CO=2-遮，所以s=+竺=2+

0A

(2-V3)2_11-473

.故選B.

22

(2)［2020年北京卷］2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日(nDay).歷史

上，求圓周率TT的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似.數(shù)學(xué)家阿

爾?卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)71充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6九邊形的周長(zhǎng)

和外切正6n邊形(各邊均與圓相切的正6九邊形)的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均

數(shù)作為211的近似值.按照阿爾?卡西的方法，IT的近似值的表達(dá)式是(A)

A.3n(sin手+tan手)B.6n(sin手+tan手)

C.3n(sin*+tan*)D.6n(sin^-+tan^-)

［解析］解：?jiǎn)挝粓A內(nèi)接正6n邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角為塔=空，每條邊

nx6n

長(zhǎng)為2sin”，

n

所以，單位圓內(nèi)接正6九邊形的周長(zhǎng)為12nsin竺，

n

單位圓的外切正6n邊形的每條邊長(zhǎng)為2tan"，其周長(zhǎng)為12/itan”，

nn

仆?30°-r+30°

”,,12nsin——+12ntan——QQ0300『,30。30°

所以2n=-------------------=6n(sin—+tan—),貝Uir=3n(sin—4-tan—).

故選A.

【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)文化廣義上是指數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)與生活的交叉應(yīng)用、數(shù)學(xué)

與各種文化的關(guān)系以及這些因素的交互作用所構(gòu)成的龐大體系，狹義上是指數(shù)

學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、語(yǔ)言等的形成和拓展.在長(zhǎng)期的發(fā)

展過(guò)程中，數(shù)學(xué)文化形成了注重思維、強(qiáng)調(diào)實(shí)用、講究算法、關(guān)注數(shù)學(xué)審美價(jià)

值等重要特點(diǎn).第一小題以《夢(mèng)溪筆談》為背景，該書內(nèi)容包含了數(shù)學(xué)、天文、

物理、音樂(lè)、文學(xué)、工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域，反映了中國(guó)古代，特別是北宋時(shí)期

自然及人文科學(xué)的輝煌成就，被譽(yù)為“中國(guó)科學(xué)史上的里程碑”.第二小題以數(shù)

學(xué)中美妙而又神秘的圓周率為基礎(chǔ)，以國(guó)際圓周率日為背景，通過(guò)給出中外為

求得圓周率而采用的經(jīng)典“割圓術(shù)”思想，讓考生求出其近似表達(dá)式，從而考

查考生用三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力.在考生讀題、解題的過(guò)程

中，能充分體會(huì)數(shù)學(xué)思想之妙，感悟數(shù)學(xué)文化之美.

變式.

(1)《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名

強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近

似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為？m,肩寬約為

“弓”所在圓的半徑約為1.25m,試估測(cè)擲鐵餅者雙手之間的距離約為

8

(V2?1.414,73?1.732)(B)

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

STC

［解析］解：由題意，“弓”所在弧長(zhǎng)2=：+?+三=￥，其所對(duì)圓心角a=￥=

4488-

4

1，雙手之間的距離d=V2x1.25?1.768.故選B.

（2）劉徽（約225—295）割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正九邊形等分

成九個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)n變得很大時(shí)，這n個(gè)等腰三角形的面積之

和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想得到sin3°的近似值為（D）

［解析］解：將一個(gè)單位圓分成120個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為3。，

因?yàn)檫@120個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積，

所以120X工X1X1xsin3°=60sin30々n,

2

所以sin3°?工.故選D.

60

課時(shí)作業(yè)

【鞏固強(qiáng)化】

1.【多選題】下面說(shuō)法正確的有（AD）

A.角g與角一|互終邊相同

B.終邊在直線y=-%上的角a的取值集合可表示為｛a|a=k-360°-45。,kG

為

C.若角a的終邊在直線y=-2%上，則sina=等

D.67。30'化成弧度是萼

8

［解析］解：角］與角-相差211,終邊相同，故A正確；

終邊在直線y=-x上的角a的取值集合可表示為｛a［a=k-180°-45。,ke

Z］,故B錯(cuò)誤；

若角a的終邊在直線y=-2%上，則sina的取值為土學(xué)，故C錯(cuò)誤；

67。30,化成弧度是萼，故D正確.

故選AD.

2.［2023屆河北九師聯(lián)盟高三10月考］如圖所示的時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為4:30,設(shè)

半個(gè)小時(shí)后時(shí)針與分針的夾角為a（0<a<-ri）,則a=（B）

AIlirD5nC3TTc2Tt

A.D.—C?—D.—

12643

［解析］解：半小時(shí)后是5：00,時(shí)針指向5,分針指向12,a=x2TT=

故選B.

6

3.［2020全國(guó)n卷］若a為第四象限角,則（D）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

［解析］解：（方法一）由a為第四象限角，可得：+2/cn<a<2TT+2kn,/c€

Z,所以3TT+4MT<2a<4n+4Mr,keZ,此時(shí)2a的終邊落在第三、四象限

及y軸的非正半軸上，所以sin2a<0.

（方法二）由a在第四象限可得,sina<0,cosa>0,則sin2a=2sinacosa<

0.故選D.

4.已知角a的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（sin等,cos詈），則角a的最小正值為（A）

A.-B.—C.-D.-

6663

［解析］解：由題意sina=cosg=—9,又sing<0,點(diǎn)（sin蕓cos*）在第三

象限，即a是第三象限角，所以a=?+2Mr,kWZ,最小正值為?.故選A.

5.若600。角的終邊上有一點(diǎn)（-4,a）,則a的值是（C）

A.4V3B.±4V3C.-4V3D.V3

［解析］解：因?yàn)?00。角的終邊上有一點(diǎn)(-4,a),根據(jù)三角函數(shù)的定義可得

tan600°=三，即。=-4tan600°=-4tan(540°+60°)=-4tan600=-4V3.

故選C.

6.［2023屆重慶南開中學(xué)高三上9月考］【多選題】已知角a的終邊落在第二象

限，則下列不等式一定成立的是(BD)

A.sin-<0B.tan->0C.sin->cos-D.Isin-1>

2222121

|cos||

［解析］解：由題設(shè)2/cn+：<a<2/CTT+n,keZ,故/nr+；<］<kn+］,

kEZ,所以三在如圖陰影部分(不含邊界)，

叫

!/

?/

——

/IX

ZI

/:

?

故sin§與cos?符號(hào)不定且大小不定，而tan?>0,|sin§|>|cos?|.

所以A,C錯(cuò)誤，B,D正確.故選BD.

7.【多選題】下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的有(ABD)

A.點(diǎn)P(tana,cosa)在第三象限，則a是第二象限角

B.若三角形的兩內(nèi)角/,B滿足sinAcosB<0,則此三角形必為鈍角三角形

C.扇形的周長(zhǎng)是12cm,面積是8cm2,則圓心角的弧度數(shù)是1

D.sin3cos4tan5>0

［解析］解：由題意知，tana<0且cosa<0,所以a是第二象限角，A正確；

A,BE(0,n)，若sin4cosB<0,則sinA>0,cosB<0,B正確；

(2r+ar=12,_

設(shè)扇形半徑為r,圓心角弧度數(shù)為a,則由題意得I”*a所以ffr9或

-ocr=o,ia=4

12

俄卜錯(cuò)誤；

因?yàn)?<3<7T,IT<4<—,—<5<2n,所以sin3>0，cos4<0,

222

tan5<0,sin3cos4tan5>0,D正確.故選ABD.

8.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3m-9,m+2).

(1)若m=2,求5sina+3tana的值；

［答案］解：因?yàn)閙=2,所以P(-3,4),所以％=-3,y=4,r=5.所以sina=

y4.

-=-,tana=一y=—4.

r5x3

所以5sina+3tana=5xg+3x(-1)=0.

(2)若cosa<0且sina>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

7n

［答案］因?yàn)閏osa<0且sina>0,所以戶二。<0,所以一2<m<3.

4-2>0.

【綜合運(yùn)用】

9.已知集合2={x\x=kx180°+(-l)fcx90°,kGZ},B={x\x=kx360°+

90°,keZ},則4,B的關(guān)系為(C)

A.B§AB.A^BC.A=BD.AHB

［解析］解：集合4中，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，x=kx180。一90。，keZ,終邊落在y

軸的非負(fù)半軸上；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，x=/cxl80°+90°,/ceZ,終邊落在y軸的

非負(fù)半軸上；集合B表示的角的終邊也落在y軸的非負(fù)半軸上.故/=B.故選C.

10.［2023屆河南豫南名校高三上9月質(zhì)檢］古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇

上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán).已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外

弧線的長(zhǎng)為60cm,內(nèi)弧線的長(zhǎng)為20cm,連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為

16cm,則該扇形的中心角的弧度數(shù)為(B)

A.2.3B.2.5C.2.4D,2.6

1解析〕解：如圖，依題意可得歷的長(zhǎng)為60cm,CD的長(zhǎng)為20cm,則黑=

—=3,即。/=3OC.

20

因?yàn)?c=16cm,所以。C=8cm,

所以該扇形的中心角的弧度數(shù)a=V=2.5.

8

故選B.

B'A

DC

11.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)

/(l,a)，8(2,b),且cos2a=|,則|a-b|=(B)

A.-B.—C.—D.1

555

［解析］解：由題意，可知。，A,B三點(diǎn)共線，從而得到b=2a,

因?yàn)閏os2a=2cos2a-1=2-(-7==)2—1=-?

Wa2+ly3

解得a?=(,BP|a|=y,所以|a—b|=|a-2al=，.故選B.

12.將圓心角為斗，半徑為8的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的母線與底面所

4

成角的余弦值為，

O

［解析］解：設(shè)母線長(zhǎng)為2,底面半徑為r,依題意知2=8,則由手/=2可，得

4

r=3,因此所求角的余弦值為故填?

13.［2023屆湖北名校聯(lián)盟高三一測(cè)］如圖，/是自行車靜止時(shí)前輪外邊沿與地面

接觸的一點(diǎn)，前輪半徑為0.25m,若單車向前直行6.80m時(shí)(車輪向前順時(shí)針

滾動(dòng)，無(wú)滑動(dòng))，點(diǎn)A在前輪的(na3.14)(C)

A.左下位置，距離地面約為0.125mB.右下位置，距離地面約為0.125m

C.左上位置，距離地面約為0.375mD.右上位置，距離地面約為0.375m

［解析］解：自行車在向前直行的過(guò)程中，點(diǎn)4在前輪上按照順時(shí)針的方向在旋

轉(zhuǎn)，—=27.2?-TT=8TT+-.

0.2533

以前輪的圓心為原點(diǎn)，以向前的方向?yàn)楣ぽS的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，

則向前直行6.80m后，射線04轉(zhuǎn)到OB的位置，點(diǎn)B在前輪的左上方，距離地

面約為025+0.25sin-=0.375(m).故選C.

6

【拓廣探索】

14.[2023屆江蘇南通高三上一檢]如圖是一個(gè)近似扇形的湖面，其中。4=0B=

r,48的長(zhǎng)為W<r).為了方便觀光，欲在4￡兩點(diǎn)之間修建一條筆直的走廊

48.若當(dāng)OVxV^時(shí)，sinx?%,扇形。48的面積記為S,則等的值約為

(B)

D.—

r

在△0AB中，^=2rsinj=2rsin^,

又S=-lr

29

所畔=嗜=沁沙

2

又0V工V工，

2r2

所畔=2:能一年I一3

故選B.

4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：siMx+cos?%=1,處三=tan%,

cosX

2.借助單位圓的對(duì)稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(a土;,a±n的正弦、

余弦、正切).

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

siMa+cos2。:1.

出絲二tana(afcix+-,fcGZ).

cosa'2y

這就是說(shuō)，同一個(gè)角a的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角a的正切.

2.誘導(dǎo)公式

公式一公式二公式三公式四公式五公式六

角a4-2E(kEZ)n4-a―CC1T—Ct——CL

2

與a終邊關(guān)系相同關(guān)于原點(diǎn)對(duì)關(guān)于X關(guān)于y軸對(duì)關(guān)于直線y=

稱軸對(duì)稱稱X對(duì)稱

正弦sina—sina—sinasisacosaCOSQ

余弦cosa一cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana—tana

記憶規(guī)律函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

奇變偶不變,符號(hào)看象限

3.同角關(guān)系的幾種變形

(1)sin2a=1一cos2a=(1+cosa)(l—cosa);

cos2a=1—sin2a=(1+sina)(l—sintz).

(2)since=tanacosa(a芯;+kir,keZ).

/「、.7sin2atan2a

(3)sinza=—-------=—;----.

sinza+coszatan-a+1

、2

(/4d)cos?za=—c；-os--a-=—；-1--.

sm-a+cosN。tanza+l

【常用結(jié)論】_

4.sina+cosa,sinacosa,sina-cosa三者之間的關(guān)系

(1)(sina+cosa)2=1+sin2a.

(2)(sina—cosa)2=1—sin2a.

(3)(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2.

(4)(sina+cosa)2—(sina-cosa)2=2sin2a.

5.誘導(dǎo)公式可推廣歸結(jié)為要求角a的三角函數(shù)值，只需直接求a的三

角函數(shù)值，其轉(zhuǎn)化過(guò)程及所得結(jié)果滿足：奇變偶不變，符號(hào)看象限.其中“奇變

偶不變”中的奇、偶分別是指k的奇和偶，變與不變是指函數(shù)名稱的變化.若是

奇數(shù)倍，則正、余弦互變；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變.“符號(hào)看象限”是把

a當(dāng)成銳角時(shí)，原三角函數(shù)式中的角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào).

自主評(píng)價(jià)?牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”.

(1)若a,0為銳角，則sin2a+cos2jff=1.(X)

(2)若a6R,則tana=恒成立.(X)

cosa

(3)sin(Tt+a)=-sina成立的條件是a為銳角.(X)

(4)若tana=tan/?,則a—p=kn,fceZ.(V)

sin。l+cos02

(5)+

1+COS0singsin?

2.(教材改編題)已知sina+cosa=:,則sin2a=(D)

24

.A12.-----C「.—D.—24

252525

1解析］解：將sina+cosa=g兩邊平方得，

sin2a+2sinacosa+cos2a=1+sin2a=—

25

所以sin2a=..故選D.

3.（教材習(xí)題）已知tana=3,則四空￡吧=(B)

sina-cosa

A.1B.2C.-1D.-2

［解析］解:sina+cosa_tana+1>=2.故選B.

sina-cosatana-13—1

4.（教材題改編）已知sin（r+a）=：,則cosa=

255

［解析］解：sin(T+a)=sin(y+a)=-cosa=|，所以cosa=一看.故填一|.

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用

命題角度1sin。,cosa,tana三者知一求二問(wèn)題

例1

（1）已知△/BC中，tanA=-2,貝Ucos/=（B）

12

.12

A.—B-3

13嗚

［解析］解:因?yàn)閠an/=—卷＜0,所以/G(pii),則cosAV0,且

sinA一卷=sinA=—cosA,又sin??!+cos27l=1,解得cosA=—^|.故選

cos/1

B.

(2)若點(diǎn)尸(cosa,sina)在直線y=-2%上，則cos(2a+；)=(B)

A--?c--lDI

［解析］解：由題知sina=-2cosa，sin2a+cos2a=1,則4cos2a+cos2a=

1,所以cos2a=|.又cos(2a+］)=-sin2a=—2sinacosa=4cos2a=|.故選

B.

【點(diǎn)撥】這類知一求二問(wèn)題，注意判斷角的范圍，另外熟記以下常見勾股數(shù)，

可以提高解題速度：①32+42=52,62+82=102,92+122=152,...；

②52+122=132,82+152=172,724-242=252.

變式1.

(1)已知sina=_9,且ae(］泮)，則tana=(B)

A.-4B.-3C-.--3D.+-3

344-4

［解析］解：因?yàn)閟ina=—,且。€(，亨)，所以a為第三象限角，所以cosa=

--,故tana==-.故選B.

5cosa4

(2)已知a為銳角，目.sin,a—cos4a=1,則tana=(B)

A.yB.V2C.2D.2V2

［解析］解：由題意得si/a—cos2a=；,與siMa+cos2a=1聯(lián)立可得siMa=

I,cos2a=I,則tan2a=2=tana=±V2,由a為銳角可得tana=y/2.故選

B.

命題角度2sina+cosa,sina-cosa,sinacosa三者知一求二問(wèn)題

例2

(1)已知sin。+cos。=g,。6C(),則sin。一cos。的值為(D)

A.--B.-C.--D.—

3333

［解析］解：因?yàn)閟in。+cos0=-,所以(sin。+cos0)2=14-2sin0cos0=—,

39

,7

所以2sin0cose=-,

所以(sin?！猚os0)2=1—2sin0cos0=|,

因?yàn)?。e(：,1)，所以sin。>cos0,即sin。一cos0>0,

所以sin。一cos0=y.故選D.

(2)已知a€(口；毛)，且工sin2a+sina+cosa=一空,則2na=(A)

k2y225

A.3或三B.2或。C.1D/或3

34323

&123

［解析］解：因?yàn)?sin2a+sina+cosa=sinacosa+sina+cosa=——,所以

(sina+cosa)2-l.23

Fsina+cosa=-----.

2------------------------------------25

令sina+cosa=t,

所以彳^+1=-n?解得t=—|或t1.

當(dāng)"—g時(shí)，sina+cosa=-|,此時(shí)sinacosa=—於V0,不合題意，舍去.

當(dāng)t二一(時(shí)，sina+cosa=一5，止匕時(shí)sinacosa=||，得sina=-g或

—,cosa=-7或一|，所以tana=|或;.故選A.

【點(diǎn)撥】對(duì)于已知sina±cosa的求值問(wèn)題，一般應(yīng)用三角恒等式，利用整體代

入的方法來(lái)解，涉及的三角恒等式有(sina±cosa)2=1±2sinacosa,(sina+

cosa)2+(sina—cosa)2=2,(sina+cosa)2—(sina—cosa)2=4sinacosa

等.

變式2.

(1)已知sin。+cosd=1,0e(0,n),則siM。—cos20的值為5.

［解析］解：因?yàn)閟in?+cos0=|,所以sinOcos。=j(sin?+cos。)？—||x

25225

所以sin。和cos。異號(hào),又eE(0,7i),所以。GG，n).所以sin?！猚os0=

V1—2sin0cos0=7

5

所以siMe—cos20=(sind+cos0)(sin0—cos。)="x-=—.故填..

552525

(2)已知tan°+高=4,則sin"+C=(D)

AA.-3BC.-D,

8I4

22

［解析］解：tanO+七二與+等=sin0+cos0_1=4,貝!JsinJcos。=

tan。cosdsin?sinGcosOsinJcos?

1

4.

sin40+cos40=(sin20+cos20)2-2sin20cos20=1—2x2=Z.故選D.

168

(3)已知函數(shù)f(%)=sin%+cosx+2sinxcosx+2,則/(%)的最大值為3+

返.

［解析懈:設(shè)t=sinx+cosx,則

.(sinx+cosx)2-lt2-l

sinxcosx=-----------=----,

22

t=sinx+cosx=V2sin(x+^)6［—-\/2,V2］,

f(x)=^(t)=t+t2-1+2=(t+1)2+1,

當(dāng)t=/時(shí)，9(t)有最大值g(t)max=V2+2+l=3+V2,即/'(X)max=3+

V2.

故填3+V2.

命題角度3關(guān)于sini,cosa的齊次式問(wèn)題

例3

tanasina-3cosa5

(1)已知-1,則

tana-1sina+cosa3

［解析］解：由已知得tana=1.

sina-3cosa_tana-35

sina+cosatana+13

⑵［2。21年新高考I卷］若tan”一2,則喘翳=(C)

AA.--6B「|cD

5-il

22

［解析］解:sin8(l+sin28)_sin0(sin0+cos0+2sin0cos0)=sin0(sin0+cos0)=

sin8+cos。sinJ+cos?

sin6(sin6+cos6)