湖南省長(zhǎng)沙市2024屆高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

長(zhǎng)沙市2024年新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.請(qǐng)保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合集合的子集概念即可得解.【詳解】由題意集合，，所以.故選：C.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算以及幾何意義即可得解.【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.3.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)列方程即可得參數(shù)值.【詳解】由題意拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得.故選：D.4.下圖是函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圖象易得值和周期，從而可求，代入最值點(diǎn)坐標(biāo)確定，即得.【詳解】由圖可得：，即，即，觀察各選項(xiàng)可知，本題考慮即可，則，把點(diǎn)代入中，可得：，故，即，所以.故選：C.5.已知甲盒中有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，乙盒中有2個(gè)紅球和1個(gè)黃球.現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)球放入乙盒中，攪拌均勻后，再?gòu)囊液兄谐槿?個(gè)球，此球恰為紅球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全概率公式即可求解.【詳解】若從甲盒中抽到黃球放入乙盒，則從乙盒中抽到紅球的概率為；若從甲盒中抽到紅球放入乙盒，則從乙盒中抽到紅球的概率為.因此，從乙盒中抽到的紅球的概率為.故選；D6.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式以及兩角和等三角恒等變換公式化簡(jiǎn)運(yùn)算即可得解.【詳解】由已知得，即（），則.從而.故選：A.7.已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于，兩點(diǎn).設(shè)為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分別求得，，即，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，從而求解.【詳解】，且由，，可得，，則.設(shè)，，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有極大值也最大值，即的最大值為，故A正確.故選：A.8.在平面四邊形中，，分別為，的中點(diǎn).若，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的數(shù)量積以及模長(zhǎng)運(yùn)算公式即可得解.【詳解】連接，，如圖，可知.由，即，可得.從而，，所以.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由奇函數(shù)定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故A滿足題意；對(duì)于B，若，則，故B不滿足題意；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故C滿足題意；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故D滿足題意.故選：ACD.10.某彗星的運(yùn)行軌道是以太陽(yáng)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.測(cè)得軌道的近日點(diǎn)（距離太陽(yáng)最近的點(diǎn)）與太陽(yáng)中心的距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的點(diǎn)）與太陽(yáng)中心的距離為，并且近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)及太陽(yáng)中心在同一條直線上，則（）A.軌道的焦距為 B.軌道的離心率為C.軌道的短軸長(zhǎng)為 D.當(dāng)越大時(shí)，軌道越扁【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件得到，，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，解得，，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)檐壍赖慕咕酁?，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)殡x心率為，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)檐壍赖亩梯S長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，則越大時(shí)，離心率越小，則軌道越圓，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.11.在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，則（）A.存在點(diǎn)，使得面B.存在點(diǎn)，使得面C.當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有面D.當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有面【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于B，一方面若面，則，結(jié)合即可判斷；對(duì)于CD，由線面平行，線面垂直的相關(guān)知識(shí)判斷即可.【詳解】當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由，而面，面，可知面，即A正確.若面，注意到面，則，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，，所以，與矛盾，即B錯(cuò)誤.當(dāng)不是的中點(diǎn)時(shí)，由，且面，面，可知面，又直線為面與面的交線，則，又面，面，從而可得面，即C正確.同上，有，又面，面，所以，又面，所以面，則面，即D正確.故選：ACD.12.設(shè)等比數(shù)列公比為，前項(xiàng)積為，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且為數(shù)列的唯一最大項(xiàng)，則D.若，且，則使得成立的的最大值為20【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)前項(xiàng)積的定義和性質(zhì)即可結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可逐一求解.詳解】若，則，可得，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；而，即選項(xiàng)B正確.若，且是數(shù)列的唯一最大項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，即，解得，即選項(xiàng)C正確.若，當(dāng)時(shí)，，又，不滿足，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，，，所以，，則為單調(diào)遞減數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，故，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，又，，，所以使得成立的的最大值為20，即選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：由首項(xiàng)和公比確定等比數(shù)列的單調(diào)性的幾種情況：（1），時(shí)，等比數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，（2），時(shí)，等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，（3），時(shí)，等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，（4），時(shí)，等比數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，（5）時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，（6）時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量的分布列如下：1230.10.70.2則數(shù)學(xué)期望______.【答案】2.1【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，即可求得答案.【詳解】由題意得數(shù)學(xué)期望，故答案為：2.114.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后得，由在上為增函數(shù)，所以，從而在上為增函數(shù)，又由，從而可求解.【詳解】由題意知在上為增函數(shù)，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，所以的解集為.故答案為：.15.已知，，，若在圓（）上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，求出點(diǎn)的軌跡為，從而轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)，利用圓與圓的位置關(guān)系從而可求解.【詳解】設(shè)，將坐標(biāo)代入式子，可得，即，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.依題意，兩圓有公共點(diǎn)，則，解得.故答案為：.16.已知正四棱錐的頂點(diǎn)均在球的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球體積的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】由底面外接圓的半徑、正四棱錐的高以及外接球的半徑的關(guān)系，結(jié)合已知條件可得，故只需求出外接球半徑的最小值即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為，.如圖，球心在正四棱錐內(nèi)時(shí)，由，可得，即（*）.球心在正四棱錐外時(shí)，亦能得到（*）式.又正四棱錐的體積為，則，代入（*）式可得.通過對(duì)關(guān)于的函數(shù)求導(dǎo)，即，易得函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.從而，球的體積的最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先得到，從而通過導(dǎo)數(shù)求得外接球半徑的最小值即可順利得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）變形給定的遞推公式，再利用等比數(shù)列定義推理即得.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用分組求和法求解即得.【小問1詳解】由，得，又，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，即，所以.18.如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對(duì)角線進(jìn)行翻折，得到如圖2所示的三棱錐.（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面和平面的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）要求，可考慮解三角形，因已知，故想到求，結(jié)合條件可證即得；（2）利用面面垂直構(gòu)建平面的垂線，從而建系，求相關(guān)量，得各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)平面的法向量，運(yùn)用兩空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【小問1詳解】由，，且，平面，可得平面，又平面，則，在中，根據(jù)勾股定理，.【小問2詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由代值易得：.由平面平面，平面平面，平面，可知平面.在平面中，過點(diǎn)作的垂線為軸，，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，有，，，.設(shè)平面的法向量，則，令，解得其中一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，解得其中一個(gè)法向量.于是，，故平面和平面夾角的余弦值為.19.某廠為了考察設(shè)備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率，質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本測(cè)試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前2416更新后4812（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析設(shè)備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率？（2）如果以這次測(cè)試中設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率.質(zhì)檢部門再次從設(shè)備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進(jìn)行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品，則認(rèn)為設(shè)備更新成功，提高了優(yōu)質(zhì)率；否則認(rèn)為設(shè)備更新失敗.①求經(jīng)核查認(rèn)定設(shè)備更新失敗的概率；②根據(jù)的大小解釋核查方案是否合理.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】19.可以認(rèn)為設(shè)備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率20.①0.05792；②合理【解析】【分析】（1）先計(jì)算出的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想對(duì)照臨界值得結(jié)論；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的有關(guān)計(jì)算公式，求出對(duì)應(yīng)的概率，并根據(jù)對(duì)應(yīng)概率的大小，作出正確的判斷.【小問1詳解】零假設(shè)為：設(shè)備更新與產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率獨(dú)立，即設(shè)備更新前與更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率沒有差異.由列聯(lián)表可計(jì)算，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以推斷不成立，因此可以認(rèn)為設(shè)備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率.【小問2詳解】根據(jù)題意，設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)率為0.8.可以認(rèn)為從生產(chǎn)線中抽出的5件產(chǎn)品是否優(yōu)質(zhì)是相互獨(dú)立的.①設(shè)表示這5件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，則，可得②實(shí)際上設(shè)備更新后提高了優(yōu)質(zhì)率.當(dāng)這5件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)不超過2件時(shí)，認(rèn)為更新失敗，此時(shí)作出了錯(cuò)誤的判斷，由于作出錯(cuò)誤判斷的概率很小，則核查方案是合理的.20.在中，角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足.（1）證明：；（2）如圖，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究是否為定值？【答案】（1）證明見解析（2）為定值.【解析】【分析】（1）利用正弦定理與余弦定理的邊角變換即可得證；（2）利用誘導(dǎo)公式與余弦定理，結(jié)合（1）中結(jié)論化得，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，再由余弦定得得，整理?【小問2詳解】因?yàn)榛パa(bǔ)，所以，結(jié)合余弦定理可得，因?yàn)?，，則，整理得，又，則，從而，故為定值.21已知函數(shù).（1）若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將題目轉(zhuǎn)化為有一個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，思路1：討論判斷判別式判斷單調(diào)性，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；思路2：根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論和兩種情況，判單調(diào)性求解；（2）利用（1）取得不等式，再賦值證明即可.【小問1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?由，可得.設(shè)，則，，且與有相同的零點(diǎn)個(gè)數(shù).思路1：令，，則.當(dāng)時(shí)，，則，即，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，顯然，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，解得，，且.當(dāng)時(shí)，，即，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，則單調(diào)遞減.不難得知，，（令，故在單調(diào)遞減，故，即，），則在有一個(gè)零點(diǎn)，可知不只一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.綜上，可知.思路2：令，.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，有，即，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.若，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn).若，存在，且，使得.后續(xù)過程同思路1.綜上，可知【小問2詳解】取，當(dāng)時(shí)，，有，即，則.令，，則，即，從而.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn),解決第二問的關(guān)鍵是利用（1）的結(jié)論賦值得不等關(guān)系，從而進(jìn)行求和證明.22.已知雙曲線與直線：（）有唯一的公共點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，在第一象限.（1）探求參數(shù)，滿足的關(guān)系式；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.【答案】22.23.證明見解析【解析】【分析】（1）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，因只有一個(gè)切點(diǎn)從而可得，從而求解.（2）將直線分別與雙