2016年專項練習(xí)題集-空間向量的加減法

2016專項練習(xí)題集-空間向量的加減法本部分主要是掌握空間向量的加法和減法法則，加法主要應(yīng)用平行四邊形法則和三角形法則，以及多邊形法則，減法主要是三角形法則，再利用加減法法則時要注意向量的起點終點。一、選擇題1．已知空間向量a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－2，2），b＝x－a，則向量x的方向上的單位向量是()A．1B．C．(-2,1，2)D．3【分值】5【答案】B【易錯點】本題容易與單位向量的長度，向量本身混淆而選擇A.C答案?！究疾榉较颉勘绢}考察了向量加法運算和單位向量的概念，屬于常見題型?！窘忸}思路】先計算出來向量x，再利用單位向量的概念轉(zhuǎn)換向量即可?！窘馕觥坑捎赽＝x－a，則x＝b＋a＝(－4，－2，2）＋(2,3，－4)＝(-2,1，2)．所以x方向上的單位向量是已知空間向量(1,1,0)，(－1,0,2)，ka＋b,2a－b，若,則k的值是()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)【分值】5【答案】D【易錯點】將向量的垂直條件和平行條件混淆。【考查方向】本題考察了空間向量的加法和減法的運算法則，以及空間向量垂直的條件。屬于高考重點?！窘忸}思路】利用空間向量的加法和減法的運算法則，以及空間向量垂直的條件：數(shù)量積是0。即可得到k的值?！窘馕觥坑捎趉a＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因為，則有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝eq\f(7,5).3、如圖，空間向量,若點P在平面ABC內(nèi)，則實數(shù)x等于（）【分值】5【答案】C【易錯點】共面向量基本定理解決共面問題時候列出三個系數(shù)的關(guān)系,之和為1,容易看成相等.【考查方向】本題考察了空間向量的加法和共面向量基本定理?！窘忸}思路】利用共面向量基本定理既可以找到三者之間的等量關(guān)系，即，所以系數(shù)值和為1.【解析】依據(jù)ABCP四點共面得到,因此x+2x-1-2=1,4、已知平面ABC內(nèi)有一個點P(1，－1,2)，平面ABC的一個法向量是n＝(6，－3,6)，F(xiàn)點在直線AB上，則點F的可能坐標是()．A．(2,3,3) B．(－2,0,1)C．(－4,4,0) D．(3，－3,4)【分值】5【答案】A【易錯點】由于平面法向量和平面內(nèi)的任意向量的數(shù)量積是0，利用這個性質(zhì)列方程組計算而得不到結(jié)果?！究疾榉较颉勘绢}考察了平面向量的法向量及其性質(zhì)?！窘忸}思路】由于平面法向量和平面內(nèi)的任意向量的數(shù)量積是0，所以逐一代入既可以得到答案?！窘馕觥俊遪＝(6，－3,6)是平面ABC的法向量，F(xiàn)在直線AB上所以F在平面ABC內(nèi)，∴n⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，在個選項中，只有選項A滿足eq\o(FP,\s\up6(→))＝(1,4,1)，∴n·eq\o(FP,\s\up6(→))＝0.5、直線AB方向向量為a＝(1,0，－1)，點C(1，-2，1),D(3,-2,-1)，且點A不在直線CD上，則AB與CD的位置關(guān)系是()．A．平行B．相交C．垂直D．平行或重合【分值】5【答案】A【易錯點】對直線方向向量的概念理解不好而求不出CD方向向量，再就是平行的條件不會用?！究疾榉较颉勘绢}考察了平面向量的減法和方向向量的概念以及兩個向量平行和直線平行的條件。【解題思路】利用平面向量的減法求出DC直線的方向向量，再利用方向向量之間的關(guān)系判斷兩個向量平行進而得到直線平行?！窘馕觥吭O(shè)直線CD的方向向量為b,二、填空題6、已知邊長為1的兩個正方形ABCD和CDEF，所成的二面角為60°，則B，E兩點間的距離是()【分值】3【答案】eq\r(2)【易錯點】求空間兩點距離可以用向量表示，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))，但是再運算時候容易出現(xiàn)直接利用長度的和得到3的答案?！究疾榉较颉勘绢}考察了空間向量的加法以及空間向量的數(shù)量積?！窘忸}思路】空間兩點距離可以用向量表示，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))，再利用向量的模的運算，即可得到答案?！窘馕觥縠q\a\vs4\al(∵\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))，∴|eq\o(BE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋eq\o(CF,\s\up6(→))2＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝1＋1＋1－1＝2，故|BE|＝eq\r(2)7．空間直角坐標系中，已知直角三角形ABC的三個頂點坐標分別為A（1，0，2），B（2，5，0），C（5,6,z）若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BC是平面ABC的法向量，則實數(shù)x+y+z的值為________．.【分值】3【答案】eq\f(53,7)【易錯點】利用法向量運算時找不到數(shù)量關(guān)系?！究疾榉较颉勘绢}考察了空間向量的加法法則和數(shù)量積的概念以及垂直的條件?！窘忸}思路】利用向量的加法和減法法則求出AB,BC的方向向量，再利用垂直的條件和法向量的性質(zhì)列出方程組即可?！窘馕觥坑深}知：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×3＋5×1＋－2×z＝0，,x－1＋5y＋－2×－3＝0，,3x－1＋y－3z＝0.))解得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7)，z＝4.所以x+y+z=eq\f(40,7)－eq\f(15,7)+4=eq\f(53,7)8、如圖，空間不共面的三個向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，點E在BC上，且BE=2EC，F(xiàn)在AD上，且AF=3FD,向量（）【分值】3【答案】【易錯點】用不共線的三個向量表示基底時候，一定要注意方向，容易出現(xiàn)符合錯誤。【考查方向】本題考察了空間向量的加法和減法，以及利用基底表示向量?！窘忸}思路】利用空間向量的加法和減法，表示向量找到基底向量即可?！窘馕觥恳李}意得：三、解答題9、把邊長為1的菱形ABCD沿對角線BD折起成直二面角，已知BD=1，點E、F分別是AB、DC的中點，點G是BD的中點，求：(1)折起后∠ADC角的余弦值．（2）EF的長；【分值】6【答案】∠ADC角的余弦值,EF的長【易錯點】容易出現(xiàn)計算上的錯誤，以及在進行加法減法運算時丟掉?！究疾榉较颉勘绢}考察了空間向量的加法和向量的模長，及其射影角定理。【解題思路】利用射影角定理直接求得∠ADC角的余弦值，再利用基底向量表示出EF的向量，從而可求得長度?！窘馕觥恳李}意，取BD中點G，連接AG,CG則是二面角的平面角，即，所以根據(jù)射影角定理可得：由于已知空間直角坐標系中，O是坐標原點，三角形三個頂點坐標分別為A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,-1,2)，點Q在直線OC上運動，當eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值時，求點Q的坐標．【分值】6【答案】Q點坐標為【易錯點】利用向量數(shù)量積求最值時候出現(xiàn)問題.【考查方向】本題考察了向量的減法和向量的數(shù)量積,以及共線向量基本定理.【解題思路】利用共線向量設(shè)出eq\o(OQ,\s\up6(→)),即可以得到Q點坐標,【解析】設(shè)Q點坐標為（x,y,z),且eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＝(λ，-λ，2λ)，所以，則eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2