2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之統(tǒng)計(jì)

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之統(tǒng)計(jì)一．選擇題（共10小題）1．（2024?南開(kāi)區(qū)校級(jí)模擬）某校舉辦了數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（滿(mǎn)分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為①的值為0.005②估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75③估計(jì)這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為60④估計(jì)成績(jī)高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．42．（2024?天心區(qū)校級(jí)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)與方差分別為A．，4 B．，16 C．4，16 D．4，43．（2024?泰安模擬）已知一組數(shù)據(jù)從小到大為4，5，6，8，，13，18，30，若這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是中位數(shù)的兩倍，則A．12 B．11 C．10 D．94．（2024?安徽模擬）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)（已按從小到大的順序排列）甲組：27、28、39、40、、50；乙組：24、、34、43、48、52．若這兩組數(shù)據(jù)的30百分位數(shù)、80百分位數(shù)分別相等，則等于A． B． C． D．5．（2024?和平區(qū)校級(jí)模擬）在一段時(shí)間內(nèi)，分5次測(cè)得某種商品的價(jià)格（萬(wàn)元）和需求量之間的一組數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖如圖所示，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為根據(jù)上述信息，如下判斷正確的是價(jià)格1.41.61.822.2需求量121073A．商品的價(jià)格和需求量存在正相關(guān)關(guān)系 B．與不具有線性相關(guān)關(guān)系 C． D．價(jià)格定為1.9萬(wàn)元，預(yù)測(cè)需求量大約為6．（2024?南開(kāi)區(qū)模擬）某校抽取100名學(xué)生做體能測(cè)試，其中百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒到18秒之間，將測(cè)試結(jié)果分為五組：第一組，，第二組，，，第五組，．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績(jī)低于即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為14人，則的估計(jì)值是A．14 B．14.5 C．15 D．15.57．（2024?邢臺(tái)模擬）高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)都在，內(nèi)．估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為A．65 B．75 C．85 D．958．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高（單位：，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，由此可估計(jì)甲、乙兩班同學(xué)的身高情況，則下列結(jié)論正確的是A．甲乙兩班同學(xué)身高的極差相等 B．甲乙兩班同學(xué)身高的平均值相等 C．甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)相等 D．乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)較多9．（2024?河?xùn)|區(qū)一模）根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在（含以上時(shí)，屬醉酒駕車(chē)，處十五日以下拘留和三個(gè)月以上六個(gè)月以下暫扣駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款．某地統(tǒng)計(jì)了近五年來(lái)查處的酒后駕車(chē)和醉酒駕車(chē)共200人，如圖2，這是對(duì)這200人酒后駕車(chē)血液中酒精含量進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是A．在酒后駕車(chē)的駕駛?cè)酥凶砭岂{車(chē)比例不高因此危害不大 B．在頻率分布直方圖中每個(gè)柱的高度代表區(qū)間內(nèi)人數(shù)的頻率 C．根據(jù)頻率分布直方圖可知200人中醉酒駕車(chē)的約有30人 D．這200人酒后駕車(chē)血液中酒精含量的平均值約為10．（2024?福建模擬）若一組數(shù)據(jù)1，1，，4，5，5，6，7的75百分位數(shù)是6，則A．4 B．5 C．6 D．7二．多選題（共5小題）11．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）下列說(shuō)法中，正確的是A．一組數(shù)據(jù)5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位數(shù)為18 B．若隨機(jī)變量，且，則 C．袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從袋中不放回地依次抽取2個(gè)球，記事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，則 D．設(shè)隨機(jī)事件，，已知（A），，，則（B）12．（2024?江西一模）下列說(shuō)法正確的是A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2 B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5 C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的分位數(shù)是17 D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為1613．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)，，的平均數(shù)為6 B．?dāng)?shù)據(jù)，，的方差為9 C．?dāng)?shù)據(jù)，，，2的方差為1 D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為514．（2024?丹東模擬）已知甲乙兩人進(jìn)行射擊訓(xùn)練，兩人各試射5次，具體命中環(huán)數(shù)如下表（最高環(huán)數(shù)為10.0環(huán)），從甲試射命中的環(huán)數(shù)中任取3個(gè)，設(shè)事件表示“至多1個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，事件表示“恰有2個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是人員甲乙命中環(huán)數(shù)9.09.89.09.29.59.39.59.29.19.4A．甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)小于乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù) B．甲試射命中環(huán)數(shù)的方差大于乙試射命中環(huán)數(shù)的方差 C．乙試射命中環(huán)數(shù)的的分位數(shù)是9.2 D．事件，互為對(duì)立事件15．（2024?河南模擬）下列說(shuō)法正確的是A．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量平均減少3.6個(gè)單位 B．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，相對(duì)于樣本點(diǎn)的殘差為 C．在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越寬，其模型的擬合效果越差 D．若兩個(gè)變量的決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好三．填空題（共5小題）16．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）對(duì)于沒(méi)有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本、、、，記這個(gè)數(shù)的第百分位數(shù)為．若不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，則的所有可能值組成的集合為．17．（2024?渭南二模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿(mǎn)分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿(mǎn)分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為．18．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）記一組樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為，平均數(shù)為，則．19．（2024?煙臺(tái)模擬）數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，，6.6的第63百分位數(shù)是4.5，則實(shí)數(shù)的最小值是．20．（2024?雁峰區(qū)校級(jí)模擬）隨機(jī)數(shù)表是人們根據(jù)需要編制出來(lái)的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字組成，表中每一個(gè)數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法主要有抽簽法、拋擲骰子法和計(jì)算機(jī)生成法．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)合作在一個(gè)正二十面體（如圖）的各面寫(xiě)上這10個(gè)數(shù)字（相對(duì)的兩個(gè)面上的數(shù)字相同），這樣就得到一個(gè)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的骰子．依次投擲這個(gè)骰子，并逐個(gè)記下朝上一面的數(shù)字，就能按順序排成一個(gè)隨機(jī)數(shù)表，若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個(gè)數(shù)，三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為．四．解答題（共5小題）21．（2024?畢節(jié)市模擬）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行”開(kāi)展健步走活動(dòng)．為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，，，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率．22．（2024?峨眉山市校級(jí)模擬）亞運(yùn)聚歡潮，璀璨共此時(shí)年9月第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)在杭州舉辦，來(lái)自亞洲45個(gè)國(guó)家和地區(qū)的1萬(wàn)多名運(yùn)動(dòng)員在這里團(tuán)結(jié)交流、收獲友誼，奮勇拼搏、超越自我，共同創(chuàng)造了亞洲體育新的輝煌和榮光，贏得了亞奧理事會(huì)大家庭和國(guó)際社會(huì)的廣泛好評(píng)．亞運(yùn)會(huì)圓滿(mǎn)結(jié)束后，杭州某學(xué)校組織學(xué)生參加與本屆亞運(yùn)會(huì)有關(guān)的知識(shí)競(jìng)賽．為更好地了解該校學(xué)生對(duì)本屆亞運(yùn)會(huì)有關(guān)賽事和知識(shí)的掌握情況，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了600名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，成績(jī)?nèi)糠植荚诜种g，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)這600名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，按分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，，，的學(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人成績(jī)不低于90分的概率．23．（2024?寧化縣校級(jí)一模）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲(chóng)之一，能對(duì)柚子樹(shù)造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)關(guān)于平均溫度的回歸方程類(lèi)型？（2）由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程．（計(jì)算結(jié)果精確到附：回歸方程中，，．參考數(shù)據(jù)5215177137172781.33.6（3）根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在以下的年數(shù)占，對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲(chóng)措施；平均氣溫在至的年數(shù)占，柚子產(chǎn)量會(huì)下降；平均氣溫在以上的年數(shù)占，柚子產(chǎn)量會(huì)下降、為了更好的防治紅蜘蛛蟲(chóng)害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇．在每年價(jià)格不變，無(wú)蟲(chóng)害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬(wàn)元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益產(chǎn)值防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說(shuō)明理由．方案1：選擇防害措施，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲(chóng)害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬(wàn)；方案2：選擇防害措施，可以防治至的蜘蛛蟲(chóng)害，但無(wú)法防治以上的紅蜘蛛蟲(chóng)害，費(fèi)用是10萬(wàn)；方案3：不采取防蟲(chóng)害措施．24．（2024?靜安區(qū)二模）某高中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：，按照區(qū)間，，，，，，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如圖所示）．（1）求身高不低于的學(xué)生人數(shù)；（2）將身高在，，，，，區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為，，三個(gè)組，用分層抽樣的方法從三個(gè)組中抽取6人．①求從這三個(gè)組分別抽取的學(xué)生人數(shù)；②若要從6名學(xué)生中抽取2人，求組中至少有1人被抽中的概率．25．（2024?包頭模擬）環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)為調(diào)研汽車(chē)流量對(duì)空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)每日過(guò)往的汽車(chē)流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于，，2，3，，的散點(diǎn)圖，并用直線與將散點(diǎn)圖分成如圖所示的四個(gè)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對(duì)應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為6，20，16，8．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車(chē)日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車(chē)日流量汽車(chē)日流量合計(jì)的平均濃度的平均濃度合計(jì)（2）經(jīng)計(jì)算得回歸方程為，且這50天的汽車(chē)日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價(jià)值；②若這50天的汽車(chē)日流量滿(mǎn)足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之統(tǒng)計(jì)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?南開(kāi)區(qū)校級(jí)模擬）某校舉辦了數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（滿(mǎn)分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為①的值為0.005②估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75③估計(jì)這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為60④估計(jì)成績(jī)高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【考點(diǎn)】補(bǔ)全頻率分布直方圖【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合法；數(shù)形結(jié)合；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)判斷①；利用眾數(shù)、百分位數(shù)的求法判斷②③；根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算可估計(jì)總體判斷④．【解答】解：由頻率分布直方圖可知，解得，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在區(qū)間，，用區(qū)間中點(diǎn)表示眾數(shù)，即眾數(shù)為75，故②正確；前兩組頻率之和為，這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為60，故③正確；成績(jī)高于80分的頻率為，估計(jì)總體成績(jī)高于80分的有人，故④正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖、眾數(shù)、百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2024?天心區(qū)校級(jí)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)與方差分別為A．，4 B．，16 C．4，16 D．4，4【答案】【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；整體思想【分析】利用平均數(shù)和方差的性質(zhì)求解．【解答】解：樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)和方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?泰安模擬）已知一組數(shù)據(jù)從小到大為4，5，6，8，，13，18，30，若這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是中位數(shù)的兩倍，則A．12 B．11 C．10 D．9【答案】【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【專(zhuān)題】定義法；對(duì)應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】首先求出中位數(shù)，再找到第分位數(shù)，即可得到方程，解得即可．【解答】解：由題意得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)，即18，則，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中位數(shù)，百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?安徽模擬）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)（已按從小到大的順序排列）甲組：27、28、39、40、、50；乙組：24、、34、43、48、52．若這兩組數(shù)據(jù)的30百分位數(shù)、80百分位數(shù)分別相等，則等于A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】百分位數(shù)【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義并結(jié)合已知條件求出，的值，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)?，，所以乙組的30百分位數(shù)為，甲組的80百分位數(shù)為，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了百分位的求解，解題的關(guān)鍵是掌握百分位數(shù)的定義以及求解方法，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?和平區(qū)校級(jí)模擬）在一段時(shí)間內(nèi)，分5次測(cè)得某種商品的價(jià)格（萬(wàn)元）和需求量之間的一組數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖如圖所示，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為根據(jù)上述信息，如下判斷正確的是價(jià)格1.41.61.822.2需求量121073A．商品的價(jià)格和需求量存在正相關(guān)關(guān)系 B．與不具有線性相關(guān)關(guān)系 C． D．價(jià)格定為1.9萬(wàn)元，預(yù)測(cè)需求量大約為【答案】【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線【專(zhuān)題】方程思想；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)模型法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由圖判定；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程判斷；求出樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)代入線性回歸方程求解值判斷；在線性回歸方程中，取求得值判斷．【解答】解：由圖表可知，商品的價(jià)格和需求量存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；，，則，解得，故錯(cuò)誤；取，得，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．6．（2024?南開(kāi)區(qū)模擬）某校抽取100名學(xué)生做體能測(cè)試，其中百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒到18秒之間，將測(cè)試結(jié)果分為五組：第一組，，第二組，，，第五組，．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績(jī)低于即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為14人，則的估計(jì)值是A．14 B．14.5 C．15 D．15.5【答案】【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由頻率分布直方圖，先求出低于的頻率，然后求出成績(jī)?cè)冢瑑?nèi)的頻率，由此列式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可得，成績(jī)低于的頻率為，由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)?，?nèi)的頻率為，則的估計(jì)值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握頻率分布直方圖中頻率的求解方法，掌握頻率、頻數(shù)、樣本容量之間的關(guān)系，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?邢臺(tái)模擬）高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)都在，內(nèi)．估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為A．65 B．75 C．85 D．95【答案】【考點(diǎn)】百分位數(shù)【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法【分析】利用頻率分布直方圖、百分位數(shù)的定義直接求解．【解答】解：因?yàn)閰①惓煽?jī)位于，內(nèi)的頻率為，所以第75百分位數(shù)在，內(nèi)，設(shè)為，則，解得，即第75百分位數(shù)為85．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高（單位：，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，由此可估計(jì)甲、乙兩班同學(xué)的身高情況，則下列結(jié)論正確的是A．甲乙兩班同學(xué)身高的極差相等 B．甲乙兩班同學(xué)身高的平均值相等 C．甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)相等 D．乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)較多【答案】【考點(diǎn)】莖葉圖；用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；整體思想【分析】根據(jù)莖葉圖和極差、平均數(shù)、中位數(shù)等概念逐一計(jì)算，即可判斷選項(xiàng)是否正確．【解答】解：由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的極差為，乙班同學(xué)身高的極差為，兩班身高極差不相等，故錯(cuò)誤；甲班同學(xué)身高的平均值為，乙班同學(xué)身高的平均值為，顯然，甲乙兩班同學(xué)身高的平均值不相等，即錯(cuò)誤；根據(jù)莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為，乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為：，所以甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)不相等，即錯(cuò)誤；由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高在以上的人數(shù)為3人，乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)為4人，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，考查了極差、平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?河?xùn)|區(qū)一模）根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在（含以上時(shí)，屬醉酒駕車(chē)，處十五日以下拘留和三個(gè)月以上六個(gè)月以下暫扣駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款．某地統(tǒng)計(jì)了近五年來(lái)查處的酒后駕車(chē)和醉酒駕車(chē)共200人，如圖2，這是對(duì)這200人酒后駕車(chē)血液中酒精含量進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是A．在酒后駕車(chē)的駕駛?cè)酥凶砭岂{車(chē)比例不高因此危害不大 B．在頻率分布直方圖中每個(gè)柱的高度代表區(qū)間內(nèi)人數(shù)的頻率 C．根據(jù)頻率分布直方圖可知200人中醉酒駕車(chē)的約有30人 D．這200人酒后駕車(chē)血液中酒精含量的平均值約為【答案】【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可判斷，根據(jù)平均數(shù)的定義可判斷．【解答】解：對(duì)于，醉酒駕車(chē)發(fā)生車(chē)禍的概率非常大，所以醉酒駕車(chē)的危害很大，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由頻率分布直方圖可知，在頻率分布直方圖中每個(gè)柱的面積代表區(qū)間內(nèi)人數(shù)的頻率，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)頻率分布直方圖可知200人中醉酒駕車(chē)的頻率為，所以200人中醉酒駕車(chē)的人數(shù)約有人，故正確；對(duì)于，這200人酒后駕車(chē)血液中酒精含量的平均值約為，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?福建模擬）若一組數(shù)據(jù)1，1，，4，5，5，6，7的75百分位數(shù)是6，則A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【考點(diǎn)】百分位數(shù)【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：這組數(shù)據(jù)為：1，1，，4，5，5，6，7，但大小不定，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大的順序的第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，只有符合．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）下列說(shuō)法中，正確的是A．一組數(shù)據(jù)5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位數(shù)為18 B．若隨機(jī)變量，且，則 C．袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從袋中不放回地依次抽取2個(gè)球，記事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，則 D．設(shè)隨機(jī)事件，，已知（A），，，則（B）【答案】【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；求解條件概率；百分位數(shù)【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可判斷選項(xiàng)；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可判斷選項(xiàng)；根據(jù)條件概率的計(jì)算方法求解即可判斷選項(xiàng)；根據(jù)條件概率與對(duì)立事件的計(jì)算公式計(jì)算即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于，共有10個(gè)數(shù)，，所以數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為16和20的平均數(shù)，即為18，故正確．對(duì)于，因?yàn)?，且，所以，則，故正確．對(duì)于，因?yàn)?，所以，則，故錯(cuò)誤．對(duì)于，因?yàn)椋ˋ），，所以（A），又因?yàn)椋ˋ），所以，則，所以，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查百分位數(shù)的求解，正態(tài)分布的性質(zhì)，條件概率問(wèn)題，屬中檔題．12．（2024?江西一模）下列說(shuō)法正確的是A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2 B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5 C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的分位數(shù)是17 D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為16【答案】【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；整體思想【分析】利用概率的定義即可判斷；根據(jù)平均數(shù)求得的值，然后利用方差公式求解即可判斷；根據(jù)百分位數(shù)的求法即可判斷；利用方差公式求解即可判斷．【解答】解：對(duì)于，一個(gè)總體含有50個(gè)個(gè)體，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，故正確；對(duì)于，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)的方差是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，8個(gè)數(shù)據(jù)50百分位為，第50百分位數(shù)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，依題意，，則，所以數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為16，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)、百分位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)，，的平均數(shù)為6 B．?dāng)?shù)據(jù)，，的方差為9 C．?dāng)?shù)據(jù)，，，2的方差為1 D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為5【答案】【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)【專(zhuān)題】定義法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；方程思想【分析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)求解．【解答】解：樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，對(duì)于，數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，數(shù)據(jù)，，的方差為，故正確；對(duì)于，數(shù)據(jù)，，，2的方差為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，，，，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．（2024?丹東模擬）已知甲乙兩人進(jìn)行射擊訓(xùn)練，兩人各試射5次，具體命中環(huán)數(shù)如下表（最高環(huán)數(shù)為10.0環(huán)），從甲試射命中的環(huán)數(shù)中任取3個(gè)，設(shè)事件表示“至多1個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，事件表示“恰有2個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是人員甲乙命中環(huán)數(shù)9.09.89.09.29.59.39.59.29.19.4A．甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)小于乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù) B．甲試射命中環(huán)數(shù)的方差大于乙試射命中環(huán)數(shù)的方差 C．乙試射命中環(huán)數(shù)的的分位數(shù)是9.2 D．事件，互為對(duì)立事件【答案】【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；整體思想【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差和百分位數(shù)的定義可判斷，根據(jù)對(duì)立事件的定義可判斷．【解答】解：對(duì)于，甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，所以甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)等于乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，甲試射命中環(huán)數(shù)的方差為，乙試射命中環(huán)數(shù)的方差為，所以甲試射命中環(huán)數(shù)的方差大于乙試射命中環(huán)數(shù)的方差，故正確；對(duì)于，乙試射命中環(huán)數(shù)從小到大排列為9.1，9.2，9.3，9.4，9.5，因?yàn)?，所以乙試射命中環(huán)數(shù)的的分位數(shù)是9.2，故正確；對(duì)于，甲試射命中的環(huán)數(shù)中有2個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)，所以事件與事件是對(duì)立事件，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)、方差和百分位數(shù)的定義，考查了對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?河南模擬）下列說(shuō)法正確的是A．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量平均減少3.6個(gè)單位 B．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，相對(duì)于樣本點(diǎn)的殘差為 C．在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越寬，其模型的擬合效果越差 D．若兩個(gè)變量的決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好【答案】【考點(diǎn)】樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線；回歸分析【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)抽象；對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】由線性回歸方程判斷；由殘差的定義判斷；由殘差圖與擬合效果間的關(guān)系判斷；根據(jù)決定系數(shù)的意義判斷．【解答】解：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量平均減少0.65個(gè)單位，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，相對(duì)于樣本點(diǎn)的殘差為，故選項(xiàng)正確；在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越寬，其模型的擬合效果越差，故選項(xiàng)正確；若兩個(gè)變量的決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共5小題）16．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）對(duì)于沒(méi)有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本、、、，記這個(gè)數(shù)的第百分位數(shù)為．若不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，則的所有可能值組成的集合為，．【答案】，．【考點(diǎn)】百分位數(shù)【專(zhuān)題】函數(shù)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析【分析】根據(jù)是否為正整數(shù)分類(lèi)討論，若為正整數(shù)，則5個(gè)數(shù)分別為，，，若不為整數(shù)，則5個(gè)數(shù)分別為，，，根據(jù)，的范圍分類(lèi)計(jì)算．【解答】解：設(shè)，則不在這組數(shù)據(jù)，為正整數(shù)，，，在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，故這個(gè)5個(gè)數(shù)分別為，，，即，當(dāng)，6，7，當(dāng)時(shí)，，，，即為，，，，共5個(gè)，符合；當(dāng)時(shí)，，，，即為，，，，，，共6個(gè)，不符合；當(dāng)時(shí)，，，，，，，，共7個(gè)，不符合，若為整數(shù)，可得，即有；若不為整數(shù)，故，其中為正奇數(shù)，設(shè)，其中為正整數(shù)，則，且，故，，，在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，這5個(gè)數(shù)分別為，，，，即，但當(dāng)，，此時(shí)，，至少有6個(gè)，，6，7，當(dāng)時(shí)，，，即為，，，，，共5個(gè)，符合，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，即為，，，，，，共6個(gè)，不符合；當(dāng)時(shí)，，，即為，，，，，，，共7個(gè)，不符合．綜上，符合條件的為50，55．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查百分位數(shù)的定義和集合的表示，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（2024?渭南二模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿(mǎn)分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿(mǎn)分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為11分．【答案】11分．【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；綜合法【分析】根據(jù)題意，求出小明同學(xué)多選題所有可能總得分，再結(jié)合中位數(shù)的定義求解．【解答】解：由題意可知，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題得6分，第二小題可能得0分或4分或6分，第三小題可能得0分或2分或3分，所以小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：6分，8分，9分，10分，12分，13分，14分，15分，所以中位數(shù)為分．故答案為：11分．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）記一組樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為，平均數(shù)為，則．【答案】．【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【專(zhuān)題】綜合法；整體思想；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用中位數(shù)和平均數(shù)的定義求解．【解答】解：數(shù)據(jù)從小到大排列為：4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位數(shù)，平均數(shù)，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?煙臺(tái)模擬）數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，，6.6的第63百分位數(shù)是4.5，則實(shí)數(shù)的最小值是4.5．【答案】4.5．【考點(diǎn)】百分位數(shù)【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：由題意可知這組數(shù)據(jù)一個(gè)有8個(gè)，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)第63百分位數(shù)是這組數(shù)據(jù)從小到大排列的第6個(gè)數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)第63百分位數(shù)是4.5，所以實(shí)數(shù)的最小值是4.5，故答案為：4.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?雁峰區(qū)校級(jí)模擬）隨機(jī)數(shù)表是人們根據(jù)需要編制出來(lái)的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字組成，表中每一個(gè)數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法主要有抽簽法、拋擲骰子法和計(jì)算機(jī)生成法．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)合作在一個(gè)正二十面體（如圖）的各面寫(xiě)上這10個(gè)數(shù)字（相對(duì)的兩個(gè)面上的數(shù)字相同），這樣就得到一個(gè)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的骰子．依次投擲這個(gè)骰子，并逐個(gè)記下朝上一面的數(shù)字，就能按順序排成一個(gè)隨機(jī)數(shù)表，若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個(gè)數(shù)，三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為．【答案】．【考點(diǎn)】抽簽法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及其步驟【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；整體思想【分析】甲投1次，記下數(shù)字有10種可能，乙投1次也有10種可能；丙投1次也有10種可能，所以甲、乙、丙依次投擲1次，由分步乘法原理可得所有記下數(shù)字的總情況數(shù)，再列舉出等差數(shù)列的公差為0，1，2，3，4的所有情況，將公差為1，2，3，4的等差數(shù)列中的第1項(xiàng)和第3項(xiàng)的數(shù)字交換，分別構(gòu)成公差為，，，的等差數(shù)列，可得出構(gòu)成等差數(shù)列的可能情況數(shù)，根據(jù)古典概率公式計(jì)算可得選項(xiàng)．【解答】解：甲投1次，記下數(shù)字有10種可能，乙投1次也有10種可能；丙投1次也有10種可能，所以甲、乙、丙依次投擲1次，記下數(shù)字有種情況，這10個(gè)數(shù)字中選3個(gè)，能構(gòu)成等差數(shù)列的情況如下：公差為0的等差數(shù)列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；；9，9，9共10種情況；公差為1的等差數(shù)列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共8種情況；公差為2的等差數(shù)列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6種情況；公差為3的等差數(shù)列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9共4種情況；公差為4的等差數(shù)列有：0，4，8；1，5，9共2種情況；公差為1，2，3，4的等差數(shù)列中的第1項(xiàng)和第3項(xiàng)的數(shù)字交換，分別構(gòu)成公差為，，，的等差數(shù)列，所以構(gòu)成等差數(shù)列的可能情況有種，所以若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個(gè)數(shù)，三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?畢節(jié)市模擬）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行”開(kāi)展健步走活動(dòng)．為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，，，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率．【答案】（Ⅰ）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為14.5；（Ⅱ）在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率為0.38．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)；轉(zhuǎn)化思想【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合結(jié)合百分位數(shù)的定義運(yùn)算求解即可；（Ⅱ）先列舉出所有的基本事件，再?gòu)闹姓页龇蠗l件的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式運(yùn)算求解．【解答】解：（Ⅰ）由于在，的樣本數(shù)據(jù)比例為：，樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在，內(nèi)，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為：；（Ⅱ）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在，，，，，中分別設(shè)為事件，，，，，，設(shè)事件在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人體檢為“健康”，，即在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率為0.38．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖和百分位數(shù)的求法問(wèn)題，也考查列舉法求概率，是基礎(chǔ)題．22．（2024?峨眉山市校級(jí)模擬）亞運(yùn)聚歡潮，璀璨共此時(shí)年9月第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)在杭州舉辦，來(lái)自亞洲45個(gè)國(guó)家和地區(qū)的1萬(wàn)多名運(yùn)動(dòng)員在這里團(tuán)結(jié)交流、收獲友誼，奮勇拼搏、超越自我，共同創(chuàng)造了亞洲體育新的輝煌和榮光，贏得了亞奧理事會(huì)大家庭和國(guó)際社會(huì)的廣泛好評(píng)．亞運(yùn)會(huì)圓滿(mǎn)結(jié)束后，杭州某學(xué)校組織學(xué)生參加與本屆亞運(yùn)會(huì)有關(guān)的知識(shí)競(jìng)賽．為更好地了解該校學(xué)生對(duì)本屆亞運(yùn)會(huì)有關(guān)賽事和知識(shí)的掌握情況，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了600名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，成績(jī)?nèi)糠植荚诜种g，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)這600名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，按分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，，，的學(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人成績(jī)不低于90分的概率．【答案】（1）；（2）80；（3）．【考點(diǎn)】補(bǔ)全頻率分布直方圖【專(zhuān)題】定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)各矩形面積之和為1，列式計(jì)算，即可求得的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合中位數(shù)的求解方法，即可求得答案；（3）求出，，，內(nèi)的人數(shù)之比，根據(jù)分層抽樣可求得兩組各抽取的人數(shù)，列舉出從這5人中任意選取2人的所有可能情況，再列舉出這2人中至少有1人成績(jī)不低于90分的情況，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得，解得；（2）由頻率分布直方圖，得，，則估計(jì)這600名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為80；（3）由題意得，成績(jī)?cè)?，的頻率為，成績(jī)?cè)?，的頻率為，頻率之比為，所以按分層抽樣的方法從中選取5人，成績(jī)?cè)?，的學(xué)生有2人，分別記為，，成績(jī)?cè)?，的學(xué)生有3人，分別記為，，，從這5人中任意選取2人，有，，，，，，，，，，共10種選法，其中至少有1人成績(jī)不低于90分的選法有，，，，，，，，，共9種，所以這2人中至少有1人成績(jī)不低于90分的概率．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖、中位數(shù)、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．23．（2024?寧化縣校級(jí)一模）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲(chóng)之一，能對(duì)柚子樹(shù)造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)關(guān)于平均溫度的回歸方程類(lèi)型？（2）由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程．（計(jì)算結(jié)果精確到附：回歸方程中，，．參考數(shù)據(jù)5215177137172781.33.6（3）根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在以下的年數(shù)占，對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲(chóng)措施；平均氣溫在至的年數(shù)占，柚子產(chǎn)量會(huì)下降；平均氣溫在以上的年數(shù)占，柚子產(chǎn)量會(huì)下降、為了更好的防治紅蜘蛛蟲(chóng)害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇．在每年價(jià)格不變，無(wú)蟲(chóng)害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬(wàn)元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益產(chǎn)值防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說(shuō)明理由．方案1：選擇防害措施，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲(chóng)害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬(wàn)；方案2：選擇防害措施，可以防治至的蜘蛛蟲(chóng)害，但無(wú)法防治以上的紅蜘蛛蟲(chóng)害，費(fèi)用是10萬(wàn)；方案3：不采取防蟲(chóng)害措施．【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線【專(zhuān)題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由題意，結(jié)合散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷即可；（2）結(jié)合（1）中的判斷結(jié)果以及題目所給信息求出的值，進(jìn)而即可求解；（3）用，，分別表示選擇三種方案的收益，分別求出每種方案中的最高收益，再進(jìn)行比較即可求解．【解答】解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類(lèi)型；（2）將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得，令，易知，，所以，則，故關(guān)于的回歸方程為；（3）不妨用，，分別表示選擇三種方案的收益，若采用第1種方案，無(wú)論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬(wàn)，即；若采用第2種方案，在不發(fā)生以上的紅蜘蛛蟲(chóng)害，收益為萬(wàn)，如果發(fā)生，則收益為萬(wàn)，即；若采用第3種方案，可得，所以，，，因?yàn)椋赃x擇方案1最佳．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．24．（2024?靜安區(qū)二模）某高中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：，按照區(qū)間，，，，，，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如圖所示）．（1）求身高不低于的學(xué)生人數(shù)；（2）將身高在，，，，，區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為，，三個(gè)組，用分層抽樣的方法從三個(gè)組中抽取6人．①求從這三個(gè)組分別抽取的學(xué)生人數(shù)；②若要從6名學(xué)生中抽取2人，求組中至少有1人被抽中的概率．【答案】（1）60．（2）①3，2，1．②．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】（1）先求出，的頻率可得結(jié)果．（2）由分層抽樣可得各組的人數(shù)，分別列舉各種情況可得概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，所以．身高在以上的學(xué)生人數(shù)為（人．（2），，三組的人數(shù)分別為30人，20人，10人．因此應(yīng)該從，，三組中每組各抽?。ㄈ耍ㄈ耍ㄈ耍O(shè)組的3位同學(xué)為，，，組的2位同學(xué)為，，組的1位同學(xué)為，則從6名學(xué)生中抽取2人有15種可能：，，，，，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中組的2位學(xué)生至少有1人被抽中有9種可能：，，，，，，，，，，，，，，，，，．所以組中至少有1人被抽中的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖和分層抽樣，屬于中檔題．25．（2024?包頭模擬）環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)為調(diào)研汽車(chē)流量對(duì)空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)每日過(guò)往的汽車(chē)流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于，，2，3，，的散點(diǎn)圖，并用直線與將散點(diǎn)圖分成如圖所示的四個(gè)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對(duì)應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為6，20，16，8．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車(chē)日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車(chē)日流量汽車(chē)日流量合計(jì)的平均濃度的平均濃度合計(jì)（2）經(jīng)計(jì)算得回歸方程為，且這50天的汽車(chē)日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價(jià)值；②若這50天的汽車(chē)日流量滿(mǎn)足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，至少有的把握；（2）①0.84，有價(jià)值；②．【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計(jì)算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果．（2）代入公式計(jì)算可判斷與的相關(guān)性強(qiáng)弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過(guò)樣本中心可求得的值．【解答】解：（1）列聯(lián)表如下：汽車(chē)日流量汽車(chē)日流量合計(jì)的平均濃度16824的平均濃度62026合計(jì)222850零假設(shè)：“平均濃度不小于”與“汽車(chē)日流量不小于1500輛”無(wú)關(guān)，因?yàn)?，所以至少有的把握（但還不能有的把握）認(rèn)為“平均濃度不小于”與“汽車(chē)日流量不小于1500輛有關(guān)”．（2）①因?yàn)榛貧w方程為，所以，又因?yàn)?，，所以．，與有較強(qiáng)的相關(guān)性，該回歸方程有價(jià)值．②，解得而樣本中心點(diǎn)位于回歸直線上，因此可推算．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．互斥事件與對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對(duì)立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做．注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對(duì)立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題．例2：下列說(shuō)法正確的是（）A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問(wèn)題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．求解條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，記作P（A|B）．﹣計(jì)算：其中P（B）＞0．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算條件概率時(shí)，確定事件B的發(fā)生對(duì)事件A的影響，通過(guò)交事件的概率和條件事件的概率進(jìn)行計(jì)算．【命題方向】﹣主要考察條件概率的計(jì)算及其應(yīng)用問(wèn)題．3．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)μ和σ（σ＞0）為參數(shù)，我們稱(chēng)φμ，σ（x）的圖象（如圖）為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線．（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為﹣．2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，則稱(chēng)X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，σ2）．（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性質(zhì)：（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）＝，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（）A．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱(chēng)，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.6826＝0.1587．故選B．題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為．（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對(duì)稱(chēng)軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響．典例2：設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計(jì)算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.9544﹣0.6826）＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝×（1﹣0.9544）＝0.0228．求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上．典例2：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝．解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用典例1：2011年中國(guó)汽車(chē)銷(xiāo)售量達(dá)到1700萬(wàn)輛，汽車(chē)耗油量對(duì)汽車(chē)的銷(xiāo)售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車(chē)制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車(chē)制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車(chē)的耗油情況，共抽查了1200名車(chē)主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車(chē)的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車(chē)的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車(chē)大約有輛．解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對(duì)稱(chēng)軸，又因?yàn)镻（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車(chē)大約有1200×0.15＝180輛．點(diǎn)評(píng)：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時(shí)必然有＝μ，這是解決正態(tài)分布類(lèi)試題的一個(gè)重要結(jié)論．典例2：工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，），問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間（3，5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（個(gè)），即不屬于區(qū)間（3，5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)．4．抽簽法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及其步驟【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣抽簽法：將每個(gè)個(gè)體標(biāo)記，隨機(jī)抽取一定數(shù)量的標(biāo)記來(lái)選擇樣本．【解題方法點(diǎn)撥】﹣步驟包括列出所有個(gè)體、編號(hào)、隨機(jī)抽取標(biāo)記．【命題方向】﹣主要考察隨機(jī)抽樣的操作步驟和方法．5．補(bǔ)全頻率分布直方圖【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣補(bǔ)全：解決直方圖中圖形或數(shù)據(jù)缺失的問(wèn)題．【解題方法點(diǎn)撥】﹣補(bǔ)全：通過(guò)對(duì)頻率分布表的檢查，找出并填補(bǔ)直方圖中的缺失部分．【命題方向】﹣常見(jiàn)于直方圖的制作和數(shù)據(jù)補(bǔ)全問(wèn)題中．6．頻率分布直方圖的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣應(yīng)用：用于數(shù)據(jù)的分布可視化，幫助分析數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)、離散程度等．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析：通過(guò)直方圖觀察數(shù)據(jù)的分布特征，識(shí)別數(shù)據(jù)的集中區(qū)域和離散程度．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察如何解讀頻率分布直方圖及其對(duì)數(shù)據(jù)分析的貢獻(xiàn)．7．莖葉圖【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．莖葉圖：將樣本數(shù)據(jù)有條理地列出來(lái)，從中觀察樣本分布情況的圖稱(chēng)為莖葉圖．例：某籃球運(yùn)動(dòng)員在某賽季各場(chǎng)比賽的得分情況：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50得分表示成莖葉圖如下：2．莖葉圖的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：（1）所有信息都可以從莖葉圖上得到（2）莖葉圖便于記錄和表示缺點(diǎn)：分析粗略，對(duì)差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析；表示三位數(shù)以上的數(shù)據(jù)時(shí)不夠方便．【解題方法點(diǎn)撥】莖葉圖的制作步驟：（1）將每個(gè)數(shù)據(jù)分為“莖”（高位）和“葉”（低位）兩部分（2）將最小的莖和最大的莖之間的數(shù)按小大次序排成一列（3）將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谇o右（左）側(cè)第1步中，①如果是兩位數(shù)字，則莖為十位上的數(shù)字，葉為個(gè)位上的數(shù)字，如89，莖：8，葉：9．②如果是三位數(shù)字，則莖為百位上的數(shù)字，葉為十位和個(gè)位上的數(shù)字，如123，莖：1，葉：23．對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，同一數(shù)據(jù)出現(xiàn)幾次，就要在圖中體現(xiàn)幾次．8．用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)【解題方法點(diǎn)撥】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選取：（1）平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；（2）中位數(shù)不受極端值影響，有時(shí)用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）；（3）眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況（即多數(shù)水平）．根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是眾數(shù)．（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．（3）平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點(diǎn)．平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（組中值）之和．9．用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)