《電磁場(chǎng)與電磁波》課件第5章

第5章時(shí)變電磁場(chǎng)5.1法拉第電磁感應(yīng)定律5.2位移電流5.3麥克斯韋方程組5.4時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件5.5時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與能流5.6正弦電磁場(chǎng)5.7波動(dòng)方程5.8時(shí)變電磁場(chǎng)中的位函數(shù)

5.1法拉第電磁感應(yīng)定律

靜態(tài)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的場(chǎng)源分別是靜止的電荷和恒定電流(等速運(yùn)動(dòng)的電荷)。它們是相互獨(dú)立的，二者的基本方程之間并無(wú)聯(lián)系，然而，隨時(shí)間變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是相互聯(lián)系的。1831年英國(guó)科學(xué)家法拉第(M.Faraday)最早發(fā)現(xiàn)了時(shí)變電場(chǎng)和磁場(chǎng)間的這一深刻聯(lián)系，即時(shí)變電磁場(chǎng)產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。如果在磁場(chǎng)中有由導(dǎo)線構(gòu)成的閉合回路l，當(dāng)穿過(guò)由l所限定的曲面S的磁通發(fā)生變化時(shí)，回路中就要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而引起感應(yīng)電流。法拉第定律給出了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通時(shí)變率之間的正比關(guān)系。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向可由楞次(H.E.Lenz，俄國(guó))定律說(shuō)明:感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在導(dǎo)電回路中引起的感應(yīng)電流的方向是使它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)阻止回路中磁通的變化。法拉第定律和楞次定律的結(jié)合就是法拉第電磁感應(yīng)定律，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(5-1)其中，E為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，Φ為穿過(guò)曲面S與l鉸鏈的磁通，磁通Φ的正方向與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的正方向成右手螺旋關(guān)系，如圖5-1所示。此外，當(dāng)回路線圈不止一匝時(shí)，式(5-1)中的Φ是所謂全磁通(亦稱磁鏈ψ)。例如一個(gè)N匝線圈，可以把它看成是由N個(gè)一匝線圈串聯(lián)而成的，其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為(5-2)如果定義非保守感應(yīng)場(chǎng)Eind沿閉合路徑l的積分為l中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，那么式(5-1)可改寫為(5-3)圖5-1法拉第電磁感應(yīng)定律如果空間同時(shí)還存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場(chǎng)Ec，則總電場(chǎng)E為兩者之和，即E=Ec+Eind。但是，所以式(5-3)也可改寫為(5-4)由于式(5-4)中沒(méi)有限定回路本身的特性，所以可將式(5-4)中的l看成是任意的閉合路徑，而不一定是導(dǎo)電回路。式(5-4)為推廣了的法拉第電磁感應(yīng)定律，它是用場(chǎng)量表示的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式，適用于所有情況。引起與閉合回路鉸鏈的磁通發(fā)生變化的原因可以是磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間的變化，也可以是閉合回路l自身的運(yùn)動(dòng)(大小、形狀、位置的變化)。首先考慮靜止回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。所謂靜止回路是指回路相對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)沒(méi)有機(jī)械運(yùn)動(dòng)，只是磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，于是式(5-4)變?yōu)?/p>

(5-5)利用矢量斯托克斯定理，上式可寫為(5-6)上式對(duì)任意面積均成立，所以(5-7)式(5-7)是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式，它表明隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng)。時(shí)變電場(chǎng)是一有旋場(chǎng)，隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)是該時(shí)變電場(chǎng)的源。通常稱該電場(chǎng)為感應(yīng)電場(chǎng)，以區(qū)別于由靜止電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖場(chǎng)。感應(yīng)電場(chǎng)是漩渦場(chǎng)；而庫(kù)侖場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)即保守場(chǎng)。

接著考察運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。不失一般性，設(shè)回路相對(duì)磁場(chǎng)有機(jī)械運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度也隨時(shí)間變化。設(shè)回路l以速度v在Δt時(shí)間內(nèi)從la的位置移動(dòng)到lb的位置，此過(guò)程中掃過(guò)的體積V的側(cè)面積是Sc，如圖5-2所示，穿過(guò)該回路的磁通量的變化率為

(5-8)圖5-2磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)回路式中B(t+Δt)是在時(shí)間t+Δt時(shí)刻由lb圍住的曲面Sb上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，B(t)是在時(shí)刻t由la圍住的曲面Sa上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

若把靜磁場(chǎng)中的磁通連續(xù)性原理推廣到時(shí)變場(chǎng)，那么在時(shí)刻t+Δt通過(guò)封閉面S=Sa+Sb+Sc的磁通量為零，因此(5-9)將B(t+Δt)展開成泰勒級(jí)數(shù)，有(5-10)從而

(5-11)由于側(cè)面積Sc上的面積元dS=dl×vΔt，當(dāng)Δt→0時(shí)，(5-12)將式(5-12)、式(5-11)代入式(5-9)求得(5-13)

因此，l由la的位置運(yùn)動(dòng)到lb的位置時(shí)，穿過(guò)該回路的磁通量的時(shí)變率為這樣運(yùn)動(dòng)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為(5-14)式(5-14)中E′是和回路一起運(yùn)動(dòng)的觀察者所看到的場(chǎng)。此式表明運(yùn)動(dòng)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)由兩部分組成，一部分是由時(shí)變磁場(chǎng)引起的電動(dòng)勢(shì)(稱為感生電動(dòng)勢(shì))；另一部分是由回路運(yùn)動(dòng)引起的電動(dòng)勢(shì)(成為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì))。式(5-14)可改寫為(5-15)設(shè)靜止觀察者所看到的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，那么E=E′－v×B。因此，運(yùn)動(dòng)回路中(5-16)或(5-17)式(5-16)和式(5-17)分別是法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式和微分形式。至此我們已經(jīng)知道電場(chǎng)的源有兩種:靜止電荷與時(shí)變磁場(chǎng)。

5.2位移電流

法拉第電磁感應(yīng)定律表明:時(shí)變磁場(chǎng)能激發(fā)電場(chǎng)。那么，時(shí)變電場(chǎng)能不能激發(fā)磁場(chǎng)呢？回答是肯定的。法拉第在1843年用實(shí)驗(yàn)證實(shí)的電荷守恒定律在任何時(shí)刻都成立，電荷守恒定律的數(shù)學(xué)描述就是電流連續(xù)性方程，即(5-18)式中J是電流體密度，它的方向就是它所在點(diǎn)上的正電荷流動(dòng)的方向，它的大小就是在垂直于電流流動(dòng)方向的單位面積上每單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的電荷量(單位是A/m2)。因此，式(5-18)表明,每單位時(shí)間內(nèi)流出包圍體積V的閉合面S的電荷量等于S面內(nèi)每單位時(shí)間所減少的電荷量－dQ/dt。利用散度定理(也稱為高斯公式)，即

將式(5-18)用體積分表示，對(duì)靜止體積有上式對(duì)任意體積V均成立，故有(5-19)式(5-19)是電流連續(xù)性方程的微分形式。靜態(tài)場(chǎng)中的安培環(huán)路定律之積分形式和微分形式為(5-20a)和(5-20b)此外，對(duì)于任意矢量A，其旋度的散度恒為零，即

因此，對(duì)式(5-20b)兩邊取散度后得(5-21)比較式(5-19)和式(5-21)的右邊等式可見，前者和后者相矛盾。麥克斯韋首先注意到了這一矛盾，于1862年提出位移電流概念，并認(rèn)為位移電流和電荷恒速運(yùn)動(dòng)形式的電流以同一方式激發(fā)磁場(chǎng)。也就是把加到式(5-21)的右邊等式中，以使式(5-21)與式(5-19)相容在承認(rèn)

也適用于時(shí)變場(chǎng)的前提下，則有由上式可得(5-22)式(5-22)與式(5-20b)的不同是引入了因子，它的量綱是(C/m2)/s，即此因子具有電流密度的量綱，故稱之為位移電流密度，以符號(hào)Jd表示，即(5-23)由于

D=ε0E+P

所以位移電流(5-24)式(5-24)說(shuō)明，在一般介質(zhì)中位移電流由兩部分組成，一部分是由電場(chǎng)隨時(shí)間的變化引起的，它在真空中同樣存在，它并不代表任何形式的電荷運(yùn)動(dòng)，只是在產(chǎn)生磁效應(yīng)方面和一般意義下的電流等效。另一部分是由于極化強(qiáng)度的變化所引起的，被稱為極化電流，它代表束縛于原子中的電荷運(yùn)動(dòng)。式(5-22)的重要意義在于，除傳導(dǎo)電流外，時(shí)變電場(chǎng)也激發(fā)磁場(chǎng)，它成為安培-麥克斯韋全電流定律(推廣的安培環(huán)路定理)。對(duì)式(5-22)應(yīng)用斯托克斯定律，便得到積分形式(5-25)它表明，磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑所包圍曲面上的全電流。位移電流的引入加大了電流的概念。平常所說(shuō)的電流是電荷做有規(guī)則運(yùn)動(dòng)形成的。在導(dǎo)體中，它就是自由電子的定向運(yùn)動(dòng)形成的傳導(dǎo)電流。設(shè)導(dǎo)電介質(zhì)的電導(dǎo)率為σ(S/m)，其傳導(dǎo)電流密度就是Jc=σE；在真空或氣體中，帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)也形成電流，稱為運(yùn)流電流。設(shè)電荷運(yùn)動(dòng)速度為v，其運(yùn)流電流密度為Jv=ρv。位移電流并不代表電荷的運(yùn)動(dòng)，這與傳導(dǎo)電流及運(yùn)流電流不同。傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流之和稱為全電流，即

Jt=Jc+Jv+Jd

(5-26)

可見式(5-22)中的J應(yīng)包括Jc和Jv。但是，Jc和Jv分別存在于不同介質(zhì)中。對(duì)于固態(tài)導(dǎo)電介質(zhì)(σ≠0)，此時(shí)只有傳導(dǎo)電流，沒(méi)有運(yùn)流電流，所以J=Jc，Jv=0。對(duì)式(5-22)取散度知因而，對(duì)任意封閉曲面S有即(5-27)例5-1

計(jì)算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。設(shè)銅中的電場(chǎng)為E0sinωt，銅的電導(dǎo)率σ=5.8×107S/m，ε=ε0。

解銅中的傳導(dǎo)電流大小為

Jc=σE=σE0sinωt

銅中的位移電流大小為

因此，銅中的位移電流密度與傳導(dǎo)電流密度的振幅比值為例5-2

證明通過(guò)任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為零。

解根據(jù)麥克斯韋方程可知，通過(guò)任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為上式右邊應(yīng)用散度定理可以寫成而左邊的面積分為故通過(guò)任意閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為零。

例5-3

在坐標(biāo)原點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)，傳導(dǎo)電流密度為

J=ar10r－1.5A/m2。求:

(1)通過(guò)半徑r=1mm的球面的電流值；

(2)在r=1mm的球面上電荷密度的增加率；

(3)在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率。

解

(1)根據(jù)電流密度的定義有

(2)因?yàn)?/p>

由電流連續(xù)性方程(5-19)，得到

(3)在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率為例5-4

在無(wú)源的自由空間中，已知磁場(chǎng)強(qiáng)度

H=ey2.63×10－5cos(3×109t－10z)(A/m)求位移電流密度Jd。解無(wú)源的自由空間中J=0，式(5-22)變?yōu)樗?，?/p>

5.3麥克斯韋方程組

5.3.1麥克斯韋方程組的微積分形式

依據(jù)前兩節(jié)的分析結(jié)果，現(xiàn)在可以寫出描述宏觀電磁場(chǎng)現(xiàn)象基本特性的一組微分方程及其名稱如下:(全電流定律)

(5-28a)(推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律)

(5-28b)(磁通連續(xù)性原理)

(5-28c)(高斯定理)

(5-28d)稱上述四式的聯(lián)立為麥克斯韋方程組的微分形式。它們建立在庫(kù)侖、安培、法拉第所提供的實(shí)驗(yàn)事實(shí)和麥克斯韋假設(shè)的位移電流概念的基礎(chǔ)上，也把任何時(shí)刻在空間任一點(diǎn)上的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的時(shí)空關(guān)系與同一時(shí)空點(diǎn)的場(chǎng)源聯(lián)系在一起。方程組(5-28)所對(duì)應(yīng)的積分形式是

(5-29a)(5-29b)(5-29c)(5-29d)它是麥克斯韋方程組的積分形式。從麥克斯韋方程組可見:

(1)麥克斯韋方程組(5-28a)或(5-29a)是修正后的安培環(huán)路定律，表明電流和時(shí)變電場(chǎng)能激發(fā)磁場(chǎng)；麥克斯韋方程組(5-28b)或(5-29b)是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律，表明時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)這一重要事實(shí)。這兩個(gè)方程是麥克斯韋方程的核心，說(shuō)明時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)互相激發(fā)，并可以脫離場(chǎng)源而獨(dú)立存在形成電磁波。麥克斯韋導(dǎo)出了電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，波動(dòng)方程表明電磁波的傳播速度與已測(cè)出的光速是一樣的。進(jìn)而推斷，光也是一種電磁波，并預(yù)言可能存在與可見光不同的其他電磁波。這一著名預(yù)見在1887年為德國(guó)物理學(xué)家赫茲的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，并導(dǎo)致馬可尼在1895年和波波夫在1896年成功地進(jìn)行了無(wú)線電報(bào)傳送實(shí)驗(yàn)，從而開創(chuàng)了人類應(yīng)用無(wú)線電波的新紀(jì)元。

(2)麥克斯韋方程(5-28c)或(5-29c)表示磁通的連續(xù)性，即磁力線既沒(méi)有起點(diǎn)也沒(méi)有終點(diǎn)。從物理意義上說(shuō)，意味著空間不存在自由磁荷，或者嚴(yán)格地說(shuō)在人類研究所達(dá)到的區(qū)域中至今還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)自由磁荷。麥克斯韋方程(5-28d)或(5-29d)是電場(chǎng)的高斯定律，對(duì)時(shí)變電荷與靜止電荷都成立。它表明電場(chǎng)是有源的場(chǎng)。

(3)時(shí)變場(chǎng)中電場(chǎng)的散度和旋度都不為零，所以電力線起始于正電荷終止于負(fù)電荷；而磁場(chǎng)的散度恒為零，旋度不為零，所以磁力線是與電流交鏈的閉合曲線，并且磁力線與電力線兩者還互相交鏈。但是，在遠(yuǎn)離場(chǎng)源的無(wú)源區(qū)域中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的散度都為零，這時(shí)電力線和磁力線將自行閉合、相互交鏈，在空間形成電磁波。

(4)在一般情況下，時(shí)變電磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量和源既是空間坐標(biāo)的函數(shù)又是時(shí)間的函數(shù)。若場(chǎng)矢量不隨時(shí)間變化(不是時(shí)間的函數(shù))，那么式(5-28)、式(5-29)退化為靜態(tài)場(chǎng)方程。

(5)在線性媒質(zhì)中，麥克斯韋方程組是線性方程組，可以用疊加原理。

應(yīng)該指出，麥克斯韋方程組中的四個(gè)方程并不都是獨(dú)立的。例如對(duì)式(5-28b)兩邊取散度，則有由于上式左邊恒等于零，所以得如果我們假設(shè)過(guò)去或?qū)?lái)某一時(shí)刻，在空間每一點(diǎn)上都為零，則在任何時(shí)刻處處為零，所以有

即式(5-28c)。因此，在麥克斯韋方程組中只有三個(gè)獨(dú)立的方程:(5-28a)、(5-28b)、(5-28d)。同理，如果將方程(5-28a)兩邊取散度，帶入方程(5-28d)，那么可以得到

5.3.2麥克斯韋方程的輔助方程——本構(gòu)關(guān)系

在麥克斯韋方程組(5-28a)~(5-28d)中，沒(méi)有限定E、D、B和H之間的關(guān)系，稱為非限定形式。但是，麥克斯韋方程組中有E、D、B、H、J五個(gè)矢量和一個(gè)標(biāo)量ρ，每個(gè)矢量各有三個(gè)分量，也就是說(shuō)總共有十六個(gè)標(biāo)量，而獨(dú)立的標(biāo)量方程只有七個(gè)。因此，僅由方程(5-28a)~(5-28d)還不能完全確定四個(gè)場(chǎng)矢量E、D、B和H，還需要知道E、D、B和H之間的關(guān)系。為求解這一組方程，則必須另外提供九個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程，這九個(gè)標(biāo)量方程就是描述電磁媒質(zhì)與場(chǎng)矢量之間關(guān)系的本構(gòu)關(guān)系。它們作為輔助方程與麥克斯韋方程一起構(gòu)成一組自洽的方程。一般而言，表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，式(5-30)可以寫為(5-31)(5-30)5.3.3洛侖茲力

電荷(運(yùn)動(dòng)或靜止)激發(fā)電磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)反過(guò)來(lái)對(duì)電荷有作用力。當(dāng)空間同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，以恒速v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q所受的力為

F=q(E+v×B)

(5-32)

如果電荷是連續(xù)分布的，其密度為ρ，則電荷系統(tǒng)所受的電磁場(chǎng)力密度為

f=ρ(E+v×B)=ρE+J×B

上式稱為洛侖茲力公式。近代物理學(xué)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了洛侖茲力公式對(duì)任意運(yùn)動(dòng)速度的帶電粒子都是適應(yīng)的。麥克斯韋方程組和洛侖茲力公式正確反映了電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及場(chǎng)與帶電物質(zhì)的相互作用規(guī)律，構(gòu)成了經(jīng)典電磁理論的基礎(chǔ)。例5-5

已知在無(wú)源的自由空間中，

E=exE0cos(ωt－βz)

其中E0、β為常數(shù)。求H。

解所謂無(wú)源，就是所研究區(qū)域內(nèi)沒(méi)有場(chǎng)源電流和電荷，即J=0、ρ=0。將上式帶入麥克斯韋方程式(5-28b)可得

由上式可以寫出：

5.4時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件

取媒質(zhì)分界面的任一橫截面，如圖5-3所示。設(shè)n是分界面上任一點(diǎn)處的法向單位矢量；F表示該點(diǎn)的某一場(chǎng)矢量(例如D、B…)，它可以分解為沿n方向和垂直n方向的兩個(gè)分量。因?yàn)槭噶亢愕仁?/p>

n×(n×F)=n(n·F)－F(n·n)

所以

F=n(n·F)－n×(n×F)

上式第一項(xiàng)沿n方向，稱為法向分量；第二項(xiàng)垂直于n方向，切于分界面，稱為切向分量。下面分別討論場(chǎng)矢量的法向分量和切向分量越過(guò)分界面時(shí)的變化規(guī)律。圖5-3法向分量邊界條件5.4.1一般情況

法向分量的邊界條件可由麥克斯韋方程(5-29c)、(5-29d)導(dǎo)出。參看圖5-3，設(shè)n自媒質(zhì)1指向媒質(zhì)2。在分界面上取一很小的、截面為ΔS、高為h的扁圓柱體封閉面，圓柱體上下底面分別位于分界面兩側(cè)且緊靠分界面(h→0)。將式(5-29d)用于此圓柱體，計(jì)算穿出圓柱體表面的電通量，并考慮到ΔS很小以致可以認(rèn)為底面上的電位移矢量是均勻的，分別以D1、D2表示媒質(zhì)1及媒質(zhì)2中圓柱體底面上的電位移矢量,因?yàn)閔→0而電位移矢量是有限值，所以圓柱體側(cè)面上的積分趨于零，從而得

如果分界面的薄層內(nèi)有自由電荷，則圓柱面內(nèi)包圍的總電荷為

由上面兩式，得電位移矢量的法向分量邊界條件的矢量形式為(5-33a)或者有如下的標(biāo)量形式:(5-33b)若分界面上沒(méi)有自由面電荷，則有(5-34)由于D=εE，因此(5-35)同理將式用于圖5-3的圓柱體，計(jì)算穿過(guò)圓柱體封閉面的磁通量，可以得到磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為

n·(B1－B2)=0

(5-36a)

或者有如下的標(biāo)量形式的邊界條件:

B1n=B2n

(5-36b)

由于B=μH，因此

μ1H1n=μ2H2n

(5-37)

由上式可見，越過(guò)分界面時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量Bn連續(xù)，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的法向分量Hn不連續(xù)。

切向分量的邊界條件可由麥克斯韋方程(5-29a)、(5-29b)導(dǎo)出。取相鄰媒質(zhì)的任一截面，如圖5-4所示。在分界面上取一無(wú)限小的矩陣回路，其帶寬為Δl，上下兩底分別位于分界面兩側(cè)并且均緊切于分界面，側(cè)邊長(zhǎng)度h→0。設(shè)n(由媒質(zhì)1指向媒質(zhì)2)、l分別是Δl重點(diǎn)處分界面的法向單位矢量和切向單位矢量，b是垂直于n且與矩形回路成右手螺旋關(guān)系的單位矢量，三者的關(guān)系為

l=b×n

(5-38)

將麥克斯韋方程用于圖5-4所示的矩形回路。因h→0，如分界面處磁場(chǎng)強(qiáng)度H有限，則H在回路側(cè)邊上的積分可以不計(jì)；同時(shí)因Δl很小，所以

上式中H1、H2分別表示媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量，并且使用了式(5-37)。因?yàn)橛邢?，而h→0，所以圖5-4切向分量邊界條件如果分界面的薄層內(nèi)有自由電流，則在回路所圍的面積上綜合以上三式得

b·n×(H1－H2)=JS·bb是任意單位矢量，且n×H與JS共面(均切于分界面)，所以

n×(H1－H2)=JS

(5-39a)依據(jù)式(5-32)，上式可以寫成［n×(H1－H2)］×n=JS×n與式(5-38a)相應(yīng)的標(biāo)量形式為

H2t－H1t=JS

(5-39b)如果分界面處沒(méi)有自由面電流，那么

H2t=H1t

由上式可以獲得

同理將麥克斯韋方程(5-29b)用于圖5-4，可得電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量的邊界條件的矢量形式和標(biāo)量形式如下

n×(E1－E2)=0

(5-40a)

E1t=E2t

(5-40b)式(5-40b)可寫為必須指出，分界面上的邊界條件不是獨(dú)立的?？梢宰C明，在時(shí)變場(chǎng)條件下，只要電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量邊界條件滿足式(5-39a)和(5-40a)，那么磁感應(yīng)強(qiáng)度和電位移的法向分量邊界條件(5-36a)和(5-32a)必然成立。上面列出的一般形式的時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件中，自由面電流密度和自由面電荷密度滿足電流連續(xù)性方程(5-41)式中表示對(duì)分界面平行的二維坐標(biāo)變量求散度。5.4.2兩種特殊情況

下面我們討論兩種重要的特殊情況:兩種理想媒質(zhì)，即理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的邊界。理想介質(zhì)是指無(wú)損耗的簡(jiǎn)單媒質(zhì)。在兩種理想介質(zhì)的分界面上沒(méi)有自由面電流和自由面電荷存在，即JS=0，ρS=0。從而得相應(yīng)的邊界條件如下:

n×(H1－H2)=0

n×(E1－E2)=0

n·(B1－B2)=0

n·(D1－D2)=0

它們相應(yīng)的標(biāo)量形式為

H1t－H2t=0

E1t－E2t=0

B1n－B2n=0

D1n－D2n=0

理想導(dǎo)體是指σ→∞，所以在理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)。此外，在時(shí)變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部也不存在磁場(chǎng)。即所有場(chǎng)量為零。設(shè)n是理想導(dǎo)體的外法向矢量，E、H、D、B為理想導(dǎo)體外部的電磁場(chǎng)，那么理想導(dǎo)體表面的邊界條件為

n×H=JS

n×E=0

n·B=0

n·D=ρS

由此可見，電力線垂直于理想導(dǎo)體表面；磁力線平行于理想導(dǎo)體表面。例5-6

設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z<0一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

H(x，y，0，t)=exH0sinaxcos(ωt－ay)

試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解根據(jù)理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件，可求得理想導(dǎo)體表面上的電流分布

由分界面上的電流連續(xù)性方程(5-40)有假設(shè)t=0時(shí)，ρS=0，由邊界條件以及n·D=ρS的方向可得

例5-7

證明在無(wú)初值的時(shí)諧場(chǎng)條件下，法向分量的邊界條件已含于切向分量的邊界條件之中，即只有兩個(gè)切向分量的邊界條件是獨(dú)立的。因此，在解電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題時(shí)只需代入兩個(gè)切向分量的邊界條件就可以解決問(wèn)題。解在分界面兩側(cè)的媒質(zhì)中將矢性微分算符和場(chǎng)矢量都分解為切向分量和法向分量，即令

于是有由上式可見，對(duì)于媒質(zhì)1和媒質(zhì)2有上面兩式相減得

代入切向分量的邊界條件為n×(E1－E2)=0即E1t=E2t有從而有

如果t=0時(shí)的初值B1、B2都為零，那么C=0，故

n·(B1－B2)=0

即

B1n=B2n

同理，將式中的場(chǎng)量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展開取其中的法向分量，有此式對(duì)分界面兩側(cè)的媒質(zhì)區(qū)域都成立，故有

將兩式相減并用代入，得再將切向分量的邊界條件n×(H1－H2)=JS代入，得即考慮到(分界面處的電流連續(xù)性方程)因此有如果t=0時(shí)的初值為D1=0、D2=0、ρS=0，那么n·(D1－D2)=ρS

成立。例5-8

設(shè)區(qū)域Ⅰ(z<0)的媒質(zhì)參數(shù)εr1=1、μr1=1、σ1=0;區(qū)域Ⅱ(z>0)的媒質(zhì)參數(shù)εr2=5、μr2=20、σ2=0。區(qū)域Ⅰ中的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E1=ex［60cos(15×108t－5z)+20cos(15×108t+5z)］(V/m)

區(qū)域Ⅱ中的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E2=exA·cos(15×108t－5z)(V/m)

試求：

(1)常數(shù)A；

(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度H1和H2；

(3)證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件。解：(1)在無(wú)耗媒質(zhì)的分界面z=0處，有

E1=ex[60·cos(15×108t)+20·cos(15×108t)]

=ex80·cos(15×108t)

E2=exA·cos(15×108t)

由于E1和E2恰好為切向電場(chǎng)，根據(jù)邊界條件式(5-39b)，得

A=80V/m

(2)根據(jù)麥克斯韋方程

有所以同理，可得

H2=ey［0.1061·cos(15×108t－50z)］(A/m)

(3)將z=0代入(2)中得

H1=ey［0.106cos(15×108t)］

H2=ey［0.106cos(15×108t)］這里H1和H2正好是分界面上的切向分量，兩者相等。由于分界面上JS=0，故H1和H2滿足邊界條件。

5.5時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與能流

假設(shè)電磁場(chǎng)存在于有耗的導(dǎo)電媒質(zhì)中，媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ，電場(chǎng)會(huì)在此有耗導(dǎo)電媒質(zhì)中引起傳導(dǎo)電流J=σE。根據(jù)焦耳定律，在體積V內(nèi)由于傳導(dǎo)電流引起的功率損耗是

P=∫VJ·EdV

(5-42)

這部分功率表示轉(zhuǎn)化為焦耳熱能的那部分能量損失，由能量守恒定律可知，這時(shí)體積V內(nèi)的電磁能量必有一相應(yīng)的減少，或者體積V內(nèi)有相應(yīng)的外部能量補(bǔ)充以達(dá)到能量平衡。為了定量描述這一能量平衡的關(guān)系，將進(jìn)行如下推導(dǎo):由麥克斯韋方程(5-28a)知代入式(5-41)得(5-43)利用矢量恒等式及麥克斯韋方程式(5-28b)，得將上式代入式(5-43)得利用散度定理，上式可改寫為

(5-44)這就是適合一般媒質(zhì)的坡印廷定理。利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)于D=εE、B=μH、J=σE的各向同性的線性媒質(zhì)有同理將它們代入式(5-44)，并設(shè)體積V的邊界條件不隨時(shí)間變化，則以上各式中對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)和對(duì)空間的積分運(yùn)算順序可交換。所以，對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，坡印廷定理表示如下：(5-45)為了說(shuō)明式(5-45)的物理意義，我們首先假設(shè)儲(chǔ)存在時(shí)變電磁場(chǎng)中的電磁能量密度的表示形式和靜態(tài)場(chǎng)的相同，即w=we+wm。其中，we=1/2(D·E)為電場(chǎng)能量密度，wm=1/2(B·H)為磁場(chǎng)能量密度，它們的單位都是J/m3。另外，引入一個(gè)新矢量

S=E×H

(5-46)稱為坡印廷矢量，單位是W/m2。據(jù)此,坡印廷定理可以寫成(5-47)例5-9

試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為σ，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理。

解如圖5-5所示，一段長(zhǎng)度為l的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，直流電流均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有

在導(dǎo)線表面因此，導(dǎo)線表面上的坡印廷矢量圖5-5坡印廷定理驗(yàn)證它的方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，有式中R為導(dǎo)線段的電阻。上式表明:從導(dǎo)線表面流入的電磁能流等于導(dǎo)線內(nèi)部焦耳熱損耗功率，這符合坡印廷定理。例5-10

一同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，載有直流電流I，內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和能流密度矢量。

解分別根據(jù)高斯定理和安培環(huán)路定律，可以求出同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)為

內(nèi)外導(dǎo)體間任意橫截面上的能流密度為上式說(shuō)明電磁能量沿z軸方向流動(dòng)，由電源向負(fù)載傳輸。通過(guò)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間任一橫截面的功率為這一結(jié)果與電路理論中熟知的結(jié)果一致。然而，這個(gè)結(jié)果是在不包括導(dǎo)體本身在內(nèi)的橫截面上積分得到的，它說(shuō)明功率全部是從內(nèi)外導(dǎo)體之間的空間通過(guò)的，導(dǎo)體本身并不傳輸能量，導(dǎo)體的作用只是引導(dǎo)電磁能量，這一點(diǎn)只能用電磁場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)解釋而電路理論是無(wú)能為力的。

5.6正弦電磁場(chǎng)

5.6.1正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示法

時(shí)變電磁場(chǎng)的任一坐標(biāo)分量隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，其振幅和初相也都是空間坐標(biāo)的函數(shù)。以電場(chǎng)強(qiáng)度為例，在直角坐標(biāo)系中可表示為

E(x,y,z,t)=exEx(x,y,z,t)+eyEy(x,y,z,t)+ezEz(x,y,z,t)

式中，電場(chǎng)強(qiáng)度的各個(gè)坐標(biāo)分量為上式中Exm、Eym、Ezm分別為各坐標(biāo)分量的振幅值；fx、fy、fz分別為各坐標(biāo)分量的初相位；ω是角頻率。

與電路理論中的分析相似，利用復(fù)數(shù)或相量來(lái)描述正弦電磁場(chǎng)場(chǎng)量，可使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)化，即對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行降階(把微積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程)減元(消去各項(xiàng)的共同時(shí)間因子ejωt)。例如，(5-48)

式中，稱為復(fù)振幅，它僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間t完全無(wú)關(guān)。因?yàn)樗瑘?chǎng)量的初相位，故也稱為相量。Ex為實(shí)數(shù)，而是復(fù)數(shù)，但是只要將其乘以因子ejωt并且取其實(shí)部便可得到前者，這樣(5-49)因此，我們也把稱為Ex(x，y，z，t)=Exm(x，y，z)cos［ωt+fx(x，y，z)］的復(fù)數(shù)形式。按照式(5-47)，給定函數(shù)

Ex(x,y,z,t)=Exm(x,y,z)cos[ωt+fx(x,y,z)]有唯一的復(fù)數(shù)振幅與之對(duì)應(yīng)；反之亦然。由于

所以，采用復(fù)數(shù)表示時(shí)，正弦量對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)等價(jià)于該正弦量的復(fù)數(shù)形式乘以jω，即同理，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量也可用復(fù)數(shù)表示為(5-50)式中稱為電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)振幅矢量或復(fù)矢量，它只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)。這樣我們就把時(shí)間t和空間x、y、z的四維(x，y，z，t)矢量函數(shù)簡(jiǎn)化成了空間(x，y，z)的三維函數(shù)，即若要得出瞬時(shí)值，只要將其復(fù)振幅矢量乘以ejωt并取實(shí)部，便得到其相應(yīng)的瞬時(shí)值：例5-11

將下列用復(fù)數(shù)形式表示的場(chǎng)矢量變換成瞬時(shí)值，或作相反的變換。

(1)；

(2)；

(3)E=exE0cos(ωt－kz)+ey2E0sin(ωt－kz)。

解

(1)E(x，y，z，t)=Re[exE0ejfxejωt]=exE0cos(ωt+fx)

(2)(3)例5-12

將下列場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)形式寫為瞬時(shí)值形式。

(1)E=ezE0sin(kxx)·sin(kyy)·e－jkzz；

(2)E=exj2E0sinθ·cos(kxcosθ)·e－jkzsinθ。

解

(1)根據(jù)式(5-47)，可得瞬時(shí)值形式為(2)瞬時(shí)值形式：5.6.2麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式

在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，對(duì)復(fù)數(shù)的微分和積分運(yùn)算是分別對(duì)其實(shí)部和虛部進(jìn)行的，并不改變其實(shí)部和虛部的性質(zhì)，故

式中L為實(shí)線性算子，例如、、∫、…、dt等。因此考慮到復(fù)數(shù)運(yùn)算有故對(duì)t任意時(shí)，(5-51a)同理，可得式(5-28b)~式(5-28d)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為(5-51b)(5-51c)(5-51d)以及電流連續(xù)性方程的復(fù)數(shù)形式為(5-52)5.6.3復(fù)坡印廷矢量

坡印廷矢量S(t)=E(t)×H(t)表示瞬時(shí)電磁功率流密度，它沒(méi)有指定電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的方式。對(duì)于正弦電磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的每一坐標(biāo)分量都隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化，這時(shí)，每一點(diǎn)的瞬時(shí)電磁功率流密度的時(shí)間平均值更具有實(shí)際意義，下面討論這個(gè)問(wèn)題。

對(duì)正弦電磁場(chǎng)，當(dāng)場(chǎng)矢量用復(fù)數(shù)表示時(shí)則有

從而坡印廷矢量瞬時(shí)值可寫為

它在一個(gè)周期T=2π/ω內(nèi)的平均值為式中(5-53)S(r)稱為復(fù)坡印廷矢量，它與時(shí)間t無(wú)關(guān)，表示復(fù)功率流密度，其實(shí)部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛部為無(wú)功功率流密度。特別需要注意的是式中的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度是復(fù)振幅值而不是有效值；E*、H*是E、H的共軛

復(fù)數(shù)，Sav稱為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。

類似地可得到電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度和導(dǎo)電損耗功率密度的表示式：

(5-54)(5-55)(5-56)上面各式中，右邊第一項(xiàng)是各對(duì)應(yīng)量的時(shí)間平均值，它們都僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)。單位體積電場(chǎng)和磁場(chǎng)儲(chǔ)能、導(dǎo)電損耗功率密度在一周期T內(nèi)的時(shí)間平均值為5.6.4復(fù)介電常數(shù)與復(fù)磁導(dǎo)率

媒質(zhì)在電磁場(chǎng)作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài):極化、磁化和傳導(dǎo)，它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征，即介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。在靜態(tài)場(chǎng)中這些參數(shù)都是實(shí)常數(shù)；而在時(shí)變電磁場(chǎng)作用下，反映媒質(zhì)電磁特性的宏觀參數(shù)與場(chǎng)的時(shí)間變化有關(guān)，對(duì)正弦電磁場(chǎng)即與頻率有關(guān)。研究表明:一般情況下(特別在高頻場(chǎng)作用下)，描述媒質(zhì)色散特性的宏觀參數(shù)為復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)，且虛部總是大于零的正數(shù)，即

其中εc、μc分別稱為復(fù)介電常數(shù)和復(fù)磁導(dǎo)率；必須指出，金屬導(dǎo)體的電導(dǎo)率在直流到紅外線的整個(gè)頻率范圍內(nèi)均可看做實(shí)數(shù)，且與頻率無(wú)關(guān)。這些復(fù)數(shù)宏觀電磁參數(shù)表明，同一介質(zhì)在不同頻率的場(chǎng)作用下，可以呈現(xiàn)不同的介質(zhì)特性。

為了說(shuō)明復(fù)介電常數(shù)的虛部反映介質(zhì)的極化損耗，我們考慮電介質(zhì)單位體積極化功率損耗的時(shí)間平均值為其中Em為振幅值，由上可見單位體積的極化損耗功率與ε″(ω)成正比；同樣μ″(ω)反映介質(zhì)的磁化損耗，且與磁化損耗功率成正比。復(fù)介電常數(shù)和復(fù)磁導(dǎo)率的幅角稱為損耗角，分別用δε和δμ表示。且把稱為損耗角正切。由給定頻率上的損耗角正切的大小可以說(shuō)明介質(zhì)在該頻率上的損耗大小。對(duì)于具有復(fù)介電常數(shù)的導(dǎo)電介質(zhì)，考慮到傳導(dǎo)電流J=σE，式(5-28a)變?yōu)?5-57)上式表明，導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流和位移電流可以用一個(gè)等效的位移電流代替；導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率和介電常數(shù)的總效應(yīng)可用一個(gè)等效復(fù)介電常數(shù)表示，即(5-58)式(5-58)表明ε″與σ/ω的損耗作用等效，且σ/ω代表介質(zhì)的導(dǎo)電損耗。引入等效復(fù)介電常數(shù)的概念后，電導(dǎo)率變成等效復(fù)介電常數(shù)的虛數(shù)部分，因此可以把導(dǎo)體也視為一種等效的有耗電介質(zhì)。引入復(fù)介電常數(shù)和復(fù)磁導(dǎo)率后，有耗介質(zhì)和理想介質(zhì)中的麥克斯韋方程組在形式上就完全相同了，因此可以采用同一種方法分析有耗介質(zhì)和理想介質(zhì)中的電磁波特性，只須用εr和μc分別代替理想介質(zhì)情況下的ε和μ。5.6.5復(fù)坡印廷定理

下面我們來(lái)研究場(chǎng)量用復(fù)數(shù)表示坡印廷定理的表示式——復(fù)坡印廷定理。利用矢量恒等式

可知將式(5-50a)和式(5-50b)代入上式得整理上式有這個(gè)公式表示了作為點(diǎn)函數(shù)的功率密度關(guān)系。對(duì)其兩端取體積分，并應(yīng)用散度定理得

(5-59)這就是用復(fù)矢量表示的坡印廷定理，稱為復(fù)坡印廷定理。設(shè)宏觀電磁參數(shù)σ為實(shí)數(shù)，磁導(dǎo)率和介電常數(shù)為復(fù)數(shù)，則有將以上各式代入式(5-59)，得式中，pavc、pave、pavm分別是單位體積內(nèi)的導(dǎo)電損耗功率、極化損耗功率和磁化損耗功率的時(shí)間平均值；

例5-13

已知無(wú)源(ρ=0，J=0)的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為

E(z)=eyE0e－jkz(V/m)

式中，k、E0為常數(shù)。求：

(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量；

(2)坡印廷矢量的瞬時(shí)值；

(3)平均坡印廷矢量。

解

(1)由得

(2)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為

所以，坡印廷矢量的瞬時(shí)值為(3)平均坡印廷矢量為5.6.6時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理

當(dāng)我們用麥克斯韋方程組求解某一具體電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，首先要明確的一個(gè)問(wèn)題是:我們所得到的解是否唯一？在什么條件下所得到的解是唯一的？這就是時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理要回答的問(wèn)題。

時(shí)變電磁場(chǎng)解的唯一性定理表述如下:對(duì)于t>0的所有時(shí)刻，由曲面S所圍成的閉合區(qū)域V內(nèi)的電磁場(chǎng)是由V內(nèi)的電磁場(chǎng)E、H在t=0時(shí)刻的初始值，以及t≥0時(shí)刻邊界面S上的切向電場(chǎng)或者切向磁場(chǎng)所唯一確定。證明時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理的方法，同靜態(tài)場(chǎng)的唯一性定理的證明方法一樣，仍采用反證法，即設(shè)兩組解E1、H1和E2、H2都是體積V中滿足麥克斯韋方程組和邊界條件的解，在t=0時(shí)刻它們?cè)赩內(nèi)所有點(diǎn)上都相等，但t>0的所有時(shí)刻它們不相等。設(shè)介質(zhì)是線性介質(zhì)，則麥克斯韋方程組也是線性的。根據(jù)麥克斯韋方程組的線性性質(zhì)，這兩組解的差ΔE=E2－E1、ΔH=H2－H1也必定是麥克斯韋方程組的解。對(duì)于這組差值解，應(yīng)用坡印廷定理有因?yàn)樵谶吔缑鍿上，電場(chǎng)的切向分量或者磁場(chǎng)的切向分量已經(jīng)給定，所以電場(chǎng)ΔE的切向分量或者磁場(chǎng)ΔH的切向分量必為零，這就是說(shuō)

n·ΔE=0或者n·ΔH=0

故必有

n·(ΔE×ΔH)=ΔH·(n×ΔE)=ΔE·(ΔH×n)=0

所以ΔE×ΔH在邊界面S上的法向分量為零，即應(yīng)用坡

印廷定理所得表示式左端的積分為零。因此

5.7波動(dòng)方程

考慮媒質(zhì)均勻、線性、各向同性的無(wú)源區(qū)域(J=0，ρ=0)且σ=0的情況，這時(shí)麥克斯韋方程變?yōu)?/p>

(5-61a)(5-61b)(5-61c)(5-61d)對(duì)式(5-61b)兩邊取旋度，并利用矢量恒等式得將式(5-61a)和式(5-61d)代入上式，得整理后有(5-62)類似地，可推導(dǎo)出(5-63)式(5-62)和式(5-63)是E和H滿足的無(wú)源空間的瞬時(shí)值矢量齊次波動(dòng)方程。其中為矢量拉普拉斯算符。無(wú)源、無(wú)耗區(qū)域中E或H可以通過(guò)式(5-62)或式(5-63)得到。求解這類矢量方程有兩種方法，一種是直接尋找滿足該矢量方程的解；另一種是設(shè)法將矢量