2024高考數(shù)學(xué)解答題專項訓(xùn)練十五（共94題）附答案解析

備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)解答題專項訓(xùn)練題(共94題)附答案解析

1.設(shè)〃%)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)X,y滿足f(久-y)=f(%)+f(y)+久y-1恒成

⑴求/(0),/"⑴;

(2)求函數(shù)/(%)的解析式；

(3)若方程/[f(2x)]=k恰有兩個實數(shù)根在(-2,2))內(nèi)，求實數(shù)k的取值范圍.

2.已知△ABC的外接圓的半徑為R=2b，角4B,C的對邊分別為a,b,c,又向量記=(sim4—

sinC,V3(b—a)),n=(sinX+sinf,Ji-m1n-

(1)求角C；

(2)求4ABC的面積S的最大值，并求此時4ABC的周長.

3.已知函數(shù)〃無)=|2%一；|+|久一|「

(1)若f(x)Na對任意x6[1,+oo)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

(2)證明：/(%)+/—2%>3.

4.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形.AB||CD,ZABC=90。，AB=2內(nèi)BC=

CD=V21APAD為等邊三角形，平面24。1平面ABCD.

(1)若M為PB的中點，證明：CM||面PAD；

(2)求三棱錐C—PBD的體積.

5.已知函數(shù)/(x)滿足2f(久)+f(—%)=%+。0).

(1)求y=f(久)的解析式；

(2)若對V/、%2G(2,4)且久久2,都有警營口>與(卜6/?)成立，求實數(shù)k的取值

x2-xlx2'xl

范圍.

6.求值:

/i\.TT.57r

⑴sm適sm近；

(2)tan20°+tan40°+V3tan20°tan40°.

?7T

7.如圖，在銳角△ABC中，B=五,AB=3顯,AC=6,點。在BC邊的延長線上，且CD=10.

(1)求N4CB；

（2）求△ACD的周長.

8.已知橢圓C：今+，=l（a>b>0）,離心率為;，&,4分別為橢圓C的左、右頂點，過焦點且

垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為3.

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）當直線m過橢圓C的左焦點%以及上頂點P時，直線m與橢圓C交于另一點Q,求此時的弦長

1^1.

（3）設(shè)直線/過點久,且與％軸垂直，M,N為直線/上關(guān)于％軸對稱的兩點，直線42M與橢圓。相

交于異于①的點。，直線ON與久軸的交點為E,當與AMEN的面積之差取得最大值時，求直

線42M的方程.

9.成都是全國聞名的旅游城市，有許多很有特色的旅游景區(qū).某景區(qū)為了提升服務(wù)品質(zhì)，對過去

100天每天的游客數(shù)進行了統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)這100天每天的游客數(shù)都沒有超出八千人，統(tǒng)計結(jié)果見下

面的頻率分布直方圖：

八頻率/組距

012345678每天人數(shù)/千人

為了研究每天的游客數(shù)是否和當天的最高氣溫有關(guān)，從這一百天中隨機抽取了5天，統(tǒng)計出這5天

的游客數(shù)（千人）分別為0.8、3,7、5,1、5.6、6.8,已知這5天的最高氣溫（。。依次為8、18、22、24、

28.

參考公式：由最小二乘法所得回歸直線的方程是/其中：仁節(jié)言/

2nXiy1—nxy

Xnxj-nx2，a=y-bx

2

本題參考數(shù)據(jù)：Ei=i（%；-%）（y；-y）=70,（x;-%）=232.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求游客數(shù)y關(guān)于當天最高氣溫％的線性回歸方程（系數(shù)保留一位小數(shù)）；

（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，估計該景區(qū)這100天中最高氣溫在2CTC?26K內(nèi)的天數(shù)（保留整數(shù)

）

10.在平面直角坐標系xOy中，4（孝，:）在以原點。為圓心半徑等1的圓上，將射線OA繞

原點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)a后交該圓于點B,設(shè)點B的橫坐標為/（a）,縱坐標g（a）.

（1）如果sina=m,0Vm<l,求/（a）+g（a）的值（用m表示）；

（2）如果揣=2,求/（a）-g（a）的值.

11.如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC,MNXMB.

（1）求證：平面AMB//平面DNC；

(2)若MC_LCB,求證：BC±AC.

12.某科技公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費，需了解年研發(fā)費x（單位：萬元）對年銷售

量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現(xiàn)對近6年的年研發(fā)費久》和年銷售量%

（i=l,2,…，6）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

5101520年研發(fā)費/萬元

工6666

62（%一元）（匕

2（/-口）2

Xy口i=li=l1=1i=l

i=l

_元）2-y）2-y）-y）

157.5168004.51254270

12.52223.5

-116

表中網(wǎng)=〃=6/t"i.

（1）根據(jù)散點圖判斷y=a+bx與y=c+d\nx哪一個更適宜作為年研發(fā)費x的回歸方程類

型；（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程;

（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z=0.5y-x，根據(jù)（2）的結(jié)果，當年研發(fā)費為多少時，年利潤z

的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)（Wj_,女），（卬2，V2），…，（Wn,Vn），其回歸直線V

合財（%一力

a+^w的斜率和截距的最小二乘估計分別為6=-----二^，a=v-pw.

〉（叫一刃）

13.貝塞爾曲線是計算機圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線.法國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對貝塞爾曲

線進行了圖形化應(yīng)用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點，根據(jù)對應(yīng)的比例，使用遞推

畫法，可以畫出地物線.反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論.

,其中p>0為一給定的實數(shù)..

（1）寫出拋物線r的焦點坐標及準線方程;

(2)若直線Z：y=kx-2pk+2p與拋物線只有一個公共點，求實數(shù)k的值；

(3)如圖，A,B,C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點D,E,F,

證明股—四史

川：力：西■一西—一1商2’-

14.在平面直角坐標系xOy中，曲線的的參數(shù)方程為(a為參數(shù)).以0為極點，x軸

的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線。2的極坐標方程為pcos(8+l)=m.

(1)求Ci的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)若Ci與Q交于相異兩點A,B,且|AB|=2g,求m的值.

15.已知函數(shù)/(%)=|%—1|—|久—2|,g(x)=|2x—1|.

(1)求函數(shù)/(%)的值域；

11

(2)若a>0,b>0,且次+廬=1,不等式4/(%)<三工+—恒成立，求實數(shù)％的取值范圍.

乙a2b

16.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，平面4BCD1平面

ABEF,AD//BC,AF//BE,AD1AB,AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

(1)已知點G為AF上一點，且AG=1,求證：BG〃平面DCE；

(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為絡(luò)，求平面DCE與平面BDF所成銳二面角的

余弦值.

17.如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=AC=2,44]=4,ABLAC,BEIAB1交血a于點

E,D為CG的中點.

/二-if

(1)求證:BE1平面力BiC；

(2)求直線BD與平面4BiC所成角的正弦值.

18.已知橢圓G：4+與=l(a>b〉O)的離心率為冬經(jīng)過點B(0,1).設(shè)橢圓G的右頂點為

A,過原點O的直線1與橢圓G交于P,Q兩點(點Q在第一象限)，且與線段AB交于點M.

(1)求橢圓G的標準方程；

(2)是否存在直線1,使得ABOP的面積是ABMQ的面積的3倍？若存在，求直線1的方程；

若不存在，請說明理由.

19.設(shè)y=f(%)是定義域為R的函數(shù)，如果對任意的久1、尤26做久1。％2)，-/(%2)1<

|%1-劃均成立，則稱y=/(久)是“平緩函數(shù)”.

1一

⑴若九(久)=三五，/2(%)=sin久，試判斷y-AW和y-f2(x)是否為"平緩函數(shù)”？

并說明理由；(參考公式：久>0時，sin%<%恒成立)

(2)若函數(shù)y=/(久)是“平緩函數(shù)"，且y=f(x)是以1為周期的周期函數(shù)，

證明：對任意的久1、X2ER,均有|/(%1)-/(%2)|<|；

(3)設(shè)y=g(x)為定義在R上函數(shù)，且存在正常數(shù)A>1使得函數(shù)y=4?g(x)為“平緩

函數(shù)

現(xiàn)定義數(shù)列｛久n｝滿足：x1-0,xn=g(xn_D(n=2,3,4,...),

試證明：對任意的正整數(shù)n,g(~)〈華理1-

20.北京2022年冬奧會，向全世界傳遞了挑戰(zhàn)自我、積極向上的體育精神，引導(dǎo)了健康、文明、快樂

的生活方式.為了激發(fā)學(xué)生的體育運動興趣，助力全面健康成長，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展以“筑夢奧

運，一起向未來”為主題的體育實踐活動.為了解該校學(xué)生參與活動的情況，隨機抽取100名學(xué)生作為

樣本，統(tǒng)計他們參加體育實踐活動時間(單位：分鐘)，得到下表：

[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

類3《數(shù)

男51213898

，性別

女69101064

初中10

學(xué)段

高中m1312754

(1)從該校隨機抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計該學(xué)生參加體育實踐活動時間在

［50,60)的概率；

(2)從參加體育實踐活動時間在［80,90)和［90,100)的學(xué)生中各隨機抽取1人，其中初中學(xué)生

的人數(shù)記為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實踐活動時間的

平均數(shù)記為“°，初中、高中學(xué)生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)分別記為“J林2,當m滿足什么條件

時，“02”2(結(jié)論不要求證明)

21.已知函數(shù)/(%)=axex—x2—x.

(1)討論/(%)在(0,+8)上的單調(diào)性；

(2)若時，方程/(%)=In%-有兩個不等實根％1，冷，求證：>e2TL%2.

22.已知數(shù)列的前幾項和為S小且無+i=Sn+an+2f.請在①的+=26；，

。9成等比數(shù)列；③520=420,這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.

(1)求數(shù)列｛a"的通項公式；

71

(2)若幻=粵_,記數(shù)列｛e｝的前n項和為7?,求證：Tn<2.

23.記△ABC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos替=25譏9

(1)證明：a+c=2b；

S

(2)若△4BC的面積為S,求77的最大值.

24.如圖，在三棱錐P—TIBC中，AP1BP,AP1CP,^BCP=45°,AP=BP=CP.

B

（1）證明：CP1平面45P；

（2）點E,F分別位于線段AB,PC上（不含端點），連接EF,若需=囂=匕直線EF與平面

ZBC所成的角為30。，求k的值.

25.如圖，在三棱錐尸一4BC中，AB1BC,AB=BC=2,PA=PC=V10,PB=V14,設(shè)點Q為

PB上的動點.

（1）求AQ/C面積的最小值；

（2）求平面P4B與平面ABC的夾角的余弦值.

26.若函數(shù)/（久）=cosQx—招）—V5cos（3久+$），其中3>0.

（1）若3=2,求/（3）；

（2）若/（久）在區(qū)間6，電上沒有零點，求3的取值范圍.

27.已知數(shù)列的前71項的和為Sn，Sn=92+%,數(shù)列也｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且有比+

b4=9,b2,b3=8.

（1）求數(shù)列｛即｝,｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足cn=a2n_i，設(shè)｛%"｝的前幾項的和為Tn，求〃的值.

28.在AABC中，角4,B,C的對邊為a,b,c,c-sinA=a-cosC,設(shè)AABC的面積為S,S=

（1）求角B的大小;

(2)若a=3,過△ABC的重心點G的直線Z與邊a,c的交點分別為E,F,~BC=ABE,BA

面,請計算2+4的值.

29.已知雙曲線C：4一4=1，直線/過C的右焦點F且與C交于M,N兩點.

412

11

(1)若M,N兩點均在雙曲線C的右支上，求證：+|NF|為定值;

(2)試判斷以MN為直徑的圓是否過定點？若經(jīng)過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理

由.

30.如圖，在△ABC中，點4(—1,0),5(1,0).圓/是△ABC的內(nèi)切圓，且C/延長線交AB于點D,若

(1)求點C的軌跡。的方程；

(2)若橢圓,+5=l(a>b>0)上點(q，見)處的切線方程是誓+*=1,

①過直線Ax=4上一點”引。的兩條切線，切點分別是P、Q,求證：直線PQ恒過定點N；

②是否存在實數(shù)九使得|PN|+|QN|=4|PN|?|QN|,若存在，求出4的值，若不存在，說明理

由.

31.隨著5G商用進程的不斷加快，手機廠商之間圍繞5G用戶的爭奪越來越激烈，5G手機也頻頻

降價飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開市場，計劃先在公司進行“抽獎免費送5G手機”優(yōu)惠活動

方案的內(nèi)部測試，測試成功后將在全市進行推廣.

(1)公司內(nèi)部測試的活動方案設(shè)置了第i(iCN+)次抽獎中獎的名額為3i+2,抽中的用戶退出

活動，同時補充新的用戶，補充新用戶的名額比上一次中獎用戶的名額少2個.若某次抽獎，剩余

全部用戶均中獎，則活動結(jié)束.參加本次內(nèi)部測試第一次抽獎的有15人，甲、乙均在其中.

①請求甲在第一次中獎和乙在第二次中獎的概率分別是多少？

②請求甲參加抽獎活動次數(shù)的分布列和期望？

(2)由于該活動方案在公司內(nèi)部的測試非常順利，現(xiàn)將在全市進行推廣.報名參加第一次抽獎活

動的有20萬用戶，該公司設(shè)置了第。C%)次抽獎中獎的概率為P=9+日1)'，每次中獎的用戶退

出活動，同時補充相同人數(shù)的新用戶，抽獎活動共進行2九(九CN+)次.已知用戶丙參加了第一次抽

獎，并在這2n次抽獎活動中中獎了，在此條件下，求證：用戶丙參加抽獎活動次數(shù)的均值小于安

32.在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且2asinA=(2b-c)sinB+c(2sinC-

sinB).

(1)求A；

(2)點D在邊BC上，且BD=3CC,AD=4,求AZBC面積的最大值.

33.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCC是棱長為2的菱形，乙BAD=60°,PD=逐，若ZPDC=

乙PDB,且尸。與平面ZBCD所成的角為45。，E為4。的中點，點尸在線段24上，且PC〃平面BEF.

⑴求親

(2)求平面PBE與平面BEP夾角的余弦值.

2

34.已知圓。：/+y2=5,橢圓廠卷+y2=1的左右焦點為F1，尸2，如圖P為圓上任意一點，過

P分別作橢圓兩條切線切橢圓于4B兩點.

(1)若直線24的斜率為2,求直線PB的斜率；

(2)作PQ，AB于點Q,判斷點P在運動的過程中，的面積是否存在最大值，如果存在,

求出最大值，如果不存在，說明理由.

35.設(shè)函數(shù)/■(久)=+a久2,其中aCR.

(1)討論/(久)的單調(diào)性；

(2)若/(久)存在兩個極值點，設(shè)極大值點為近，為/(%)的零點，求證：%0-xi>ln2.

36.已知數(shù)列｛加｝的前n項和為Sn,且5?=2"+1.

(1)求｛時｝的通項公式；

(2)保持中各項先后順序不變，在縱與以+i之間插入k個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個

新的數(shù)列｛%｝,記｛%｝的前n項和為Tn,求Tioo的值(用數(shù)字作答).

37.記數(shù)列｛廝｝的前n項和為Sn,的=1,—?給出下列兩個條件：條件①：數(shù)列尺支和數(shù)列｛Sn+

4｝均為等比數(shù)列；條件②：2%i+2592+…+2斯=試在上面的兩個條件中任選一個，補

充在上面的橫線上，完成下列兩問的解答：

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)

(1)求數(shù)列的通項公式；

\~n2n

(2)記正項數(shù)列｛6n｝的前ri項和為7\,匕1=。2，b2=a3,4Tn-bn-bn+1,求〉[(一1)也瓦+J

38.籃球職業(yè)聯(lián)賽通常分為常規(guī)賽和季后賽兩個階段.常規(guī)賽采用循環(huán)賽，勝率高或者積分高的球隊

進入季后賽，季后賽是淘汰賽，采用三局兩勝制進行淘汰，最終決出總冠軍.三局兩勝制是指當比賽

一方先贏得兩局比賽時該方獲勝，比賽結(jié)束.

2

附./_n(ad-bc)

?八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

(1)下表是甲隊在常規(guī)賽80場比賽中的比賽結(jié)果記錄表，由表中信息，依據(jù)a=0.05的獨立性

檢驗，分析“主場”是否會增加勝率(計算結(jié)果保留兩位小數(shù)).

月份比賽次數(shù)主場次數(shù)獲勝次數(shù)主場獲勝次數(shù)

10月8363

11月151088

12月14785

1月134113

2月11765

3月14673

4月5343

(2)甲隊和乙隊在季后賽中相遇，經(jīng)過統(tǒng)計甲隊在主場獲勝的概率為尚，客場獲勝的概率為最每

43

場比賽場地為上一場比賽的獲勝方的場地.

(i)若第一場比賽在甲隊的主場進行，設(shè)整個比賽的進行的局數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望；

(ii)設(shè)選擇第一場為甲隊的主場的概率為p,問當P為何值時，無論第一場比賽的場地在哪里，

甲隊最終獲勝的概率相同，并求出此時甲隊獲勝的概率.

39.已知函數(shù)/'(久)=e*—a伉(。久+1)—1,其中a>0,x>0.

(1)當a=l時，求函數(shù)/(久)的零點；

(2)若函數(shù)〃K)>0恒成立，求a的取值范圍.

40.已知點4為直線/：%+1=0上的動點，過點4作射線4尸(點P位于直線/的右側(cè))使得API

I,F(l,0),設(shè)線段4尸的中點為B,設(shè)直線PB與x軸的交點為T,PF=TF.

(1)求動點P的軌跡C的方程.

(2)設(shè)過點Q(0,2)的兩條射線分別與曲線C交于點M,N，設(shè)直線QM,QN的斜率分別為歷，

k2,若看+看=2,請判斷直線MN的斜率是否為定值以及其是否過定點，若斜率為定值，請計算出

定值；若過定點，請計算出定點.

41.在銳角中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c>S.2c2=(a2+c2—b2)(tanA+tanB).

(1)求角A的大??；

(2)若邊a=/,邊BC的中點為。，求中線4D長的取值范圍.

42.已知函數(shù)=a(l—\)一等+(久一1)2.

(1)當a=M寸,求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明：當0<a<2時，對任意久一1,+8),總有/。—2產(chǎn).

43.如圖，在四棱錐P-4BCD中，AD//BC,AB=BC=2,AD=PD=4,Z.BAD=60%AB=

BC=2,點E為24的中點.

(1)求證：BE〃平面PCD；

(2)若平面24。1平面ABCD,求直線CD與平面24c所成角的正弦值.

44.設(shè)Sn為數(shù)列的前n項和，已知VnCN*,an>0,欣+1=2%1s貯

(1)求an；

(2)求證：czn+1<an.

45.某款自營生活平臺以及提供配送服務(wù)的生活類軟件主要提供的產(chǎn)品有水產(chǎn)海鮮，水果，蔬菜，

食品，日常用品等.某機構(gòu)為調(diào)查顧客對該軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機訪問了100人，訪問結(jié)

果如下表所示.

使用人數(shù)未使用人數(shù)

女性顧客4020

男性顧客2020

(1)從被訪問的100人中隨機抽取2名，求所抽取的都是女性顧客且使用該軟件的概率；

(2)用隨機抽樣的方法從該地區(qū)抽取10名市民，這10名市民中使用該軟件的人數(shù)記為X,問

k(k=0,1,2,10)為何值時，尸(X=k)的值最大？

46.已知雙曲線C：鳥一4=1缶>0,b>0)的離心率為卓，且經(jīng)過點M(2,0).

ab.

(1)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；

(2)已知過點G(X],月)的直線=：久.+4yly=4與過點H(久2,月)(久2。久1)的直線6：X2X+

4y2y=4的交點N在雙曲線C上，直線GH與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，證明

引。一|OP『—|OQ『為定值，并求出定值.

2x

47.已知函數(shù)/(%)=看”，g(久)=asinx—x+1.

(1)求"久)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)％(久)=〃￡)-。(久)在(0,兀)上有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍.

48.某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選

擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類

問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回

答正確得m(0<m<100,m￡N)分,否則得。分；B類問題中的每個問題回答正確得n(0<九M

100,neN)分,否則得。分.已知學(xué)生甲能正確回答A類問題的概率為P1，能正確回答B(yǎng)類問題

的概率為P2,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若學(xué)生甲先回答A類問題，m=20,n=80,p1=0.8,p2=0.6,記X為學(xué)生甲的累計得

分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)從下面的兩組條件中選擇一組作為已知條件.學(xué)生甲應(yīng)選擇先回答哪類問題，使得累計得分

的數(shù)學(xué)期望最大？并證明你的結(jié)論.=Pi>P2；②Pi=P2,m>n.

49.已知函數(shù)/'(%)=2%—alnx.

(1)若/(%)>0恒成立，求。的取值范圍；

(2)當a=l時，若3|。=坐@=標，其中久1<冷，證明：丫x32T6.

50.如圖，是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木

塊，小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道

口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入編號為f的球

槽內(nèi).用X表示小球經(jīng)過第7層通過的空隙編號(從左向右的空隙編號依次為0,1,2,6),

(1)若進行一次高爾頓板試驗，求小球落入第7層第3個空隙處的概率;

(2)若放入80個小球，求落入1號球槽的小球個數(shù)Z的均值與方差.

51.已知函數(shù)/(%)=久2(in久一|a),a為實數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)在%=e處取得極值，/'(%)是函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)，且/'Qi)=%1<%2,

證明：2<+犯<?

52.如圖，已知四棱臺ABC。的體積為笠，且滿足。C〃4B,BCIBA,=

BBi=BC=CD=1,AB=2,E為棱AB上的一點，且Cm〃平面

（1）設(shè)該棱臺的高為八，求證：h=ArE-,

（2）求直線CiE與平面BCG/所成角的正弦值.

53.為迎接“五一小長假”的到來，某商場開展一項促銷活動，凡在商場消費金額滿200元的顧客可

以免費抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球，其中，紅

球2個，白球3個，黃球5個，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個球，根據(jù)摸出球的顏色情況分

別進行兌獎.將顧客摸出的2個球的顏色分成以下四種情況：41個紅球1個白球，B：2個紅球，

C：2個白球，D-.至少一個黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對應(yīng)一等獎，二等

獎，三等獎，不中獎.

（1）求顧客在某次抽獎中，第二個球摸到為紅球的概率

（2）求顧客分別獲一、二、三等獎時對應(yīng)的概率；

（3）若三名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立.記中獎的人數(shù)為X,求X的分布列和期

望.

55.已知雙曲線C：*1的漸近線方程為％±2y=0,左右頂點為A,B,設(shè)點P（—1,t）,直

線ZP,分別與雙曲線交于M,N兩點（不同于4B）,

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)AABP,AMNP的面積分別為Si，S2，若=6S0求直線MN方程.（寫出一條即可）

56.某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次投中的概率均為0.5.

附：若n表示投籃的次數(shù)，，表示投中的次數(shù)，則投中的頻率為*若4?N（0,1）,則

1.28）=0.9,P（T]<1,645）=0.95.

（1）若該同學(xué)進行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X

為三次總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）已知當隨機變量f服從二項分布B（n,p）時，若"充分大，則隨機變量年=]np（i_p）服從標準

正態(tài)分布N（0,1）.若保證投中的頻率在0.4與0.6之間的概率不低于90%,求該同學(xué)至少要投多少次.

57.為了拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組

織學(xué)生參加航空航天科普知識答題競賽.每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分的方法如下：第1次答

題，答對得20分，答錯得10分：從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10

分.學(xué)生甲參加答題競賽，每次答對的概率為9各次答題結(jié)果互不影響.

(1)求甲同學(xué)前3次答題得分之和為70分的概率；

(2)在甲同學(xué)完成5次答題，且第2次答題答對的條件下，求答題得分之和不大于90分的概率；

(3)記甲同學(xué)第i次答題所得分數(shù)X&CN*)的數(shù)學(xué)期望為E(X)求E(Xi),并寫出與

E(Xj+i)滿足的等量關(guān)系式(直接寫出結(jié)果，不必證明).

58.已知4(一1,0),5(1,0),直線AM,BM相交于M，且直線AM,BM的斜率之積為2.

(1)求動點M的軌跡方程；

(2)設(shè)尸，Q是點M軌跡上不同的兩點且都在y軸的右側(cè)，直線4P,BQ在y軸上的截距之比為

1：2,求證：直線PQ經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標.

59.某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5,二等的概率為

0.4,若達不到一、二級，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨立.已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤

如下表：

等級一等二等三等

利潤(萬元/每件)0.80.6-0.3

(1)求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；

(2)求該公司每天所獲利潤f(萬元)的數(shù)學(xué)期望；

(3)若該工廠要增加日產(chǎn)能，公司工廠需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加n件產(chǎn)能，其成本也將相

應(yīng)提升n-Inn(萬元)，假如你作為工廠決策者，你覺得該廠目前該不該增產(chǎn)？請回答，并說明理

由.(In2?0.69,ln3?1.1)

60.如圖，正三棱柱ABC-Ci的所有棱長均為6,。為A&的中點，E為BC上一點,

(1)若CE=2,證明：DC|呼面ABiE；

(2)當直線BD與平面/ED所成角的正弦值為需，求CE的長度.

61.設(shè)函數(shù)/(%)=加(％+1)—義。％2,^(x)=^ax2—axex其中aeR.

(1)當口=斷寸，求函數(shù)/Q)的值域；

(2)設(shè)尸(x)=/(%)+或%)，當0<a<1時，

①證明：函數(shù)F(久)恰有兩個零點；

②若%o為函數(shù)F(x)的極值點，久1為函數(shù)?(久)的零點，且久1>%0，證明：2q>久「

62.在AABC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2@2一。2)+c2=0

sinAcosB

(1)求的值;

cosAsinB

(2)求力—B的最大值.

63.如圖，在多面體ABCDE中，DE1平面BCD,△力BC為正三角形，△BCD為等腰Rt4,乙BDC

90°,AB=2,DE=V2.

(1)求證：AE1BC；

(2)若AE//平面BCD,求直線BE與平面ABC所成的線面角的正弦值.

64.設(shè)數(shù)列｛%J的前n項和為Sn,數(shù)列｛j2Sn—n｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)設(shè)，=。2%求數(shù)列｛(—1尸如｝的前幾項和〃?

65.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為平行四邊形，ZPAB="CD=￡側(cè)面P4B1底

面ABCD,PA=AB=2,且二面角P-CD-4的大小是泉

41

（1）證明：AC1CD；

（2）求二面角B—PC-。的正弦值.

66.某校開展“學(xué)習(xí)二十大，永遠跟黨走”網(wǎng)絡(luò)知識競賽.每人可參加多輪答題活動，每輪答題情況互

不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對，方可進行第二組答

題，否則本輪答題結(jié)束.已知甲同學(xué)第一組每道題答對的概率均為當?shù)诙M每道題答對的概率均為

4

兩組題至少答對3題才可獲得一枚紀念章.

（1）記甲同學(xué)在一輪比賽答對的題目數(shù)為X,請寫出X的分布列，并求E（X）；

（2）若甲同學(xué)進行了10輪答題，試問獲得多少枚紀念章的概率最大.

丫2”2

67.已知拋物線的：y2=4為一4與雙曲線。2：±____y=1(1Va<2)相交于兩點4B,F是C2的

a24—a2

右焦點，直線ZF分別交Ci，。2于C,D（不同于4B點），直線3C,8。分別交工軸于尸，Q兩點.

（1）設(shè)4（%i，y）。（%2，為?求證：y/z是定值;

（2）求圈的取值范圍.

68.已知拋物線C：/=2py（p>0）的焦點為F,過點F斜率為1的直線與拋物線相交所截得的弦長

為2.

（1）求p的值并寫出拋物線焦點F的坐標；

（2）設(shè)點P是拋物線外任意一點，過點P作拋物線C的切線，切點分別為Q、R,探究：是否存在以

點Q為直角頂點的等腰直角三角形PQR.若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

69.如圖，四面體ABCD,AD1CD,AD=CD,AC=2,AB=3,ZCAB=60°,E為AB上的點，

且AC_LDE,DE與平面ABC所成角為30°,

D

(1)求三棱錐?！狟CE的體積；

(2)求二面角B—CD—E的余弦值.

70.已知函數(shù)〃K)=-今)在區(qū)間［0,爭上恰有3個零點，其中3為正整數(shù).

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)將函數(shù)/(%)的圖象向左平移當個單位得到函數(shù)g(>)的圖象，求函數(shù)尸(%)=給的單調(diào)區(qū)間.

4J\.x)

71.已知數(shù)列｛an｝,｛“｝滿足臼=阮=1,an+1=bn+2,bn+1=2an.

(1)求｛%J,—的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足金=卜"即<“，求｛%｝的前幾項和治.

、如,c1n>bn.

72.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且滿足(a+b+c)(a+b—c)=3ab.

(1)求角C的大小；

(2)若AABC是銳角三角形，求生磔的取值范圍.

C

73.在四棱錐P—4BCD中，底面ABCD為梯形，AD||BC,AD=2BC,E為PB上的點，且PE=2EB.

(2)若PA_L面ABCD,AB1AD,PA^AD,面PBD1面PAC,求二面角4-CE-D的正弦值.

74.某手機APP公司對喜歡使用該APP的用戶年齡情況進行調(diào)查，隨機抽取了100名喜歡使用該

APP的用戶，年齡均在［15,65］周歲內(nèi)，按照年齡分組得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃，cr2),貝!1：P(〃—er<X<〃+cr)長0.6827,P(/z—2cr<

X<〃+2c)u0.9545,PQi—3cr<X<〃+3cr)?0.9973

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計使用該視頻APP用戶的平均年齡的第85%分位數(shù)(小數(shù)點后保

留2位);

(2)若所有用戶年齡X近似服從正態(tài)分布N(〃，M),其中〃為樣本平均數(shù)的估計值，?！?0.5,

試估計喜歡使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的比例；

(3)用樣本的頻率估計概率，從所有喜歡使用該APP的用戶中隨機抽取8名用戶，用P(X=k)

表示這8名用戶中恰有k名用戶的年齡在區(qū)間［25,35)歲的概率，求P(X=k)取最大值時對應(yīng)的k的

值；

75.已知橢圓C：鳥+4=l(a>b>0)的焦距為2,且經(jīng)過點E(L|).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若橢圓C內(nèi)接四邊形MNQP的對角線交于點7(1,1),滿足圈=掰=3,試問：直線

MN的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

76.設(shè)正項等比數(shù)列的前建項和為射，若S3=7,a3=4.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)在數(shù)列｛S"中是否存在不同的三項構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.

2

77.已知數(shù)列｛%｝,｛%｝的前n項和分別為Sn，Tn,且比=；,Sn=1n+|n,當n>1時，滿足

2bnan_I—bn_^an.

(1)求a九；

(2)求

78.已知a,b,c分別為△力中三內(nèi)角A,B,C的對邊，且b=1,acosC+V3asinC=1+c,D

為直線BC上一動點.

(1)求A；

(2)在①c=3,②S-BC=竽，③sinB=等這三個條件中任選一個，求線段AD長度的最

小值.

79.已知等差數(shù)列｛%｝的前71項的和為An，且。1+。2=3,75=15,數(shù)列｛%｝滿足勾=an■[1+

(―l)nn](nGN*).

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前?1項和為Bn，集合P=｛n|nW100且BnW100,nEN*),求P中所有元素的

和S.

80.已知過點P(a,b)可以作曲線/(x)=e*+依(kCR)的兩條切線，切點分別為力、B,線段AB的

中點坐標為(和，y0),其中e=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若a=0,證明：0<b<1；

⑵若)<0,證明：(x0—a)(y0—b)<0

、,___________]

x2

81.已知函數(shù)/(%)=ax—e+y/x+1—bfg(%)=1—cosx—x.

(1)若。=?—1,b=：,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：g(%)<0；

(3)若a=Wcosy/^E,證明：/(%)<0.

82.記△力BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知s譏。=V^s譏4s譏B

,7T

(1)若4=可，求taziB；

(2)若c=3,求△ABC的面積.

83.設(shè)a<會已知函數(shù)/'(%)=(尤-2)e久一a(久2一2久)+2有3個不同零點.

(1)當a=0時，求函數(shù)門>)的最小值：

(2)求實數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)〃久)的三個零點分別為久1、冷、％3,且支「％3<。，證明：存在唯一的實數(shù)a,使得

久1、冷、久3成等差數(shù)列.

84.在△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，已知a=3cosC,b=1.

（1）證明：tanC=2tanB；

(2)再從條件①、②這兩個條件中選擇一個作為已知，求cos2B的值.

條件①：△ABC的面積取到最大值；

條件②：c=零.

(注：如果選擇條件①、②分別解答，那么按照第一個解答計分.)

2an，n=2k，

85.設(shè)數(shù)列?｝滿足：an+1=，(keN*)，，，。2是的，03的等比中項.

an+1,n=2k—1.

(1)求的值;

(2)求數(shù)列｛a"的前20項的和.

86.在銳角△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知s譏(24+B)=2sim4(l-cosC).

(1)證明：b=2a；

22

(2)j|^3sinX+sinB的取值范圍?

2sinAsinC「cosB

87.某雜志社對投稿的稿件要進行評審，評審的程序如下：先由兩位專家進行初審.若兩位專家的

初審都通過，則予以錄用；若兩位專家的初審都不通過，則不予錄用；若恰能通過一位專家的初

審，則再由另外的兩位專家進行復(fù)審，若兩位專家的復(fù)審都通過，則予以錄用，否則不予錄用.假

設(shè)投稿的稿件能通過各位專家初審的概率均為5復(fù)審的稿件能通過各位專家復(fù)審的概率均為5且

每位專家的評審結(jié)果相互獨立.

(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；

(2)記X表示投到該雜志的3篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望.

88.某企業(yè)舉行招聘考試，共有1000人參加，分為初試和復(fù)試，初試成績總分100分，初試通過后參

加復(fù)試.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃，(r2),貝!I：P(〃—c<X<〃+c)=0.6827,P(〃—2c<

X<〃+2<T)=0.9545,P(ji—3<J<X<〃+3cr)=0.9973.

(1)若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(“，M),其中〃=65,。=15,試估計初試成

績不低于80分的人數(shù)；(精確到個位數(shù))

(2)復(fù)試共三道題，每答對一題得10分，答錯得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成

績.已知某考生進入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對的概率為之后兩題答對的概率均為看且每道題

回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試成績?yōu)樨扒笱镜姆植剂屑捌谕?

89.在△ABC中，角力，B,C所對的邊分別a,b,c，且bcos力+acosB=2ccos力

(1)求角A的值；

(2)已知。在邊BC上，且BD=3DC,AD=3,求△ABC的面積的最大值

90.坐標平面久。y中，P(3,1)是橢圓C：,+*l(a>b>0)上一點，經(jīng)過。的直線(不過P點)

與C交于力，B兩點，直線24與PB的斜率乘積為一全

(1)求C的方程；

(2)直線/與C交于點M,N,且PM1PN.當點P到直線［的距離最大時，求直線］的方程.

91.已知數(shù)列的前n項和為Sn,且滿足劭=2,S?+i=2Sn+2.

(1)求數(shù)列的通項公式.

(2)記既=(葉明+2)，求數(shù)列出"的前幾項和

92.若存在實數(shù)k,b,使得函數(shù)/(%)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x同時滿足：/(x)20c+b且

g(x)<kx+b,則稱直線：I：y=fcr+b為函數(shù)/(%)和g(x)的"隔離直線已知/(%)=久2,g(x)=

2elnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).試問：

(1)函數(shù)/(久)和g(x)的圖象是否存在公共點，若存在，求出交點坐標，若不存在，說明理由；

(2)函數(shù)〃久)和。(%)是否存在“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的方程；若不存在，請說

明理由.

93.在△ABC中，角力，B,C所對邊分別記為a,b,c.條件①：］，也在jin2g條件②：

sinCsin(B-力)=sinBsin(C-4).從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.

(1)證明：B=C；

(2)求他助+工的最小值.

ccosB

(X-t+—

94.在平面直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為｛；(t為參數(shù)