2025屆山西省祁縣二中高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

2025屆山西省祁縣二中高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列中，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．2．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數(shù)之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．3．關于函數(shù)，有下列三個結論:①是的一個周期；②在上單調遞增；③的值域為.則上述結論中，正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．4．若復數(shù)，則（）A． B． C． D．205．設，隨機變量的分布列是01則當在內增大時，（）A．減小，減小 B．減小，增大C．增大，減小 D．增大，增大6．已知邊長為4的菱形，，為的中點，為平面內一點，若，則（）A．16 B．14 C．12 D．87．如圖所示，三國時代數(shù)學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內角為，若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，?。?，則落在小正方形（陰影）內的米粒數(shù)大約為（）A．134 B．67 C．182 D．1088．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．49．已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點P，以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切，切點為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．10．設復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知函數(shù)，對任意的，，當時，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對稱軸是 D．函數(shù)的一個對稱中心是12．不等式的解集記為，有下面四個命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，所有的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為-64，則實數(shù)的值為__________.14．如圖梯形為直角梯形，，圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形，向直角梯形內投入一質點，質點落入陰影部分的概率是_____________15．在等比數(shù)列中，，則________．16．展開式中，含項的系數(shù)為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點；（2）在上恒成立，求的取值范圍.18．（12分）如圖，過點且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D，直線AC、BD分別交直線于點E、F，求證：是定值.19．（12分）某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i=1,2,?,12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）設ui和yi的相關系數(shù)為r1，xi和（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額y需達到90億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據(jù)：308=4×77，90≈9.4868，e20．（12分）如圖，在直角中，，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）點是線段上一點，，且，求的值.21．（12分）已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實數(shù)a;若不能,請說明理由.(2)若在處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先根據(jù)題意，對原式進行化簡可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉化為恒成立，再利用函數(shù)性質解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質的運用，屬于綜合性較強的題目，解題的關鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉化函數(shù)，屬于難題.2、C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標事件的概率.故選：C.【點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析；當情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.3、B【解析】

利用三角函數(shù)的性質，逐個判斷即可求出．【詳解】①因為，所以是的一個周期，①正確；②因為，，所以在上不單調遞增，②錯誤；③因為，所以是偶函數(shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域．當時，，在上單調遞增，所以，的值域為，③錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質應用．4、B【解析】

化簡得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，復數(shù)的模，意在考查學生的計算能力.5、C【解析】

，，判斷其在內的單調性即可．【詳解】解：根據(jù)題意在內遞增，，是以為對稱軸，開口向下的拋物線，所以在上單調遞減，故選：C．【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差，屬于中檔題．6、B【解析】

取中點，可確定；根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則可求得，利用可求得結果.【詳解】取中點，連接，，，即.，，，則.故選：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題，涉及到平面向量的線性運算，關鍵是能夠將所求向量進行拆解，進而利用平面向量數(shù)量積的運算性質進行求解.7、B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【詳解】解：設大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，

則小正方形的邊長為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內的米粒數(shù)大約為，

故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用，求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.8、D【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當時，，此時不滿足，循環(huán)結束，輸出的值是4.故選：D．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構．解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結論．9、A【解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關鍵是建立三者間的關系，本題是一道中檔題.10、D【解析】

先把變形為，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出，得到其坐標可得答案.【詳解】解：由，得，所以，其在復平面內對應的點為，在第四象限故選：D【點睛】此題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.11、D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數(shù)，對于A，，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，由，故D正確.故選：D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質，熟記性質是解題的關鍵，屬于基礎題.12、A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示，當時，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3或-1【解析】

設，分別令、，兩式相減即可得，即可得解.【詳解】設，令，則①，令，則②，則①-②得，則，解得或.故答案為：3或-1.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算能力，屬于中檔題.14、【解析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點坐標，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出，最后根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：聯(lián)立解得或，即，，，，，故答案為：【點睛】本題考查幾何概型的概率公式的應用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.15、1【解析】

設等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進而利用等比數(shù)列項之間的關系得即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎題.16、2【解析】

變換得到，展開式的通項為，計算得到答案.【詳解】，的展開式的通項為：.含項的系數(shù)為：.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先利用導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導數(shù)可知，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點；（2）由題意可將轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)討論研究其在上的單調性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當時，，，這時，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當時，.綜上，當時，函數(shù)單調遞增；當時，函數(shù)單調遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點.（2），由，所以恒成立，若，則，設，.故當時，，又，所以當時，，滿足題意；當時，有，與條件矛盾，舍去；當時，令，則，又，故在區(qū)間上有無窮多個零點，設最小的零點為，則當時，，因此在上單調遞增.，所以.于是，當時，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式的應用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應用，難度較大，意在考查學生的數(shù)學建模能力，數(shù)學運算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．18、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）由題意求得的坐標，代入橢圓方程求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，可得關于的一元二次方程，設出的坐標，分別求出直線與直線的方程，從而求得兩點的縱坐標，利用根與系數(shù)關系可化簡證得為定值.【詳解】（1）由已知可得：，代入橢圓方程得：橢圓方程為；（2）設直線CD的方程為，代入，得：設，，則有，則AC的方程為，令，得BD的方程為，令，得，證畢.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，是難題．19、（1）模型y=eλx+t的擬合程度更好；（2）（i）v=0.02x+3.84【解析】

（1）由相關系數(shù)求出兩個系數(shù)，比較大小可得；（2）（i）先建立U額R0關于x的線性回歸方程，從而得出y（ii）把y=90代入（i）中的回歸方程可得x值．【詳解】本小題主要考查回歸分析等基礎知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應用意識,考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想,考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎性、綜合性與應用性．解：（1）r1r2則r1<r（2）（i）先建立U額R0由y=eλx+t，得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U額R0關于x所以lny=0.02x+3.84（ii）下一年銷售額y需達到90億元，即y=90，代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90，所以所以x≈4.4998-3.84所以預測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元【點睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系、導數(shù)幾何意義等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想等，考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性與應用性20、（1）3；（2）.【解析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程組即可.【詳解】（1）在中，已知，，，由正弦定理，得，解得.（2）因為，所以，解得.在中，由余弦定理得，，即，，故.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，考查學生的計算能力，是一道中檔題.21、(1)答案見解析(2)【解析】

（1）假設函數(shù)的圖象與x軸相切于，根據(jù)相切可得