2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：概率（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：概率（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?新縣校級模擬）袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球．（1）若從袋中一次性取出兩個小球，即取到的紅球個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若從袋中不放回的取3次，每次取一個小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個紅球的概率．2．（2024?莆田模擬）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，隨機一次取出3個小球．（1）求取出的3個小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率；（2）記取出的3個小球上的數(shù)字的中位數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．3．（2024?邵陽三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動，答題人根據(jù)所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類題目；乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對時，則下一次答A類題目，每次答錯時，則下一次答B(yǎng)類題目．已知A類題目每次答對得40分，答錯得0分，B類題目每次答對得30分，答錯得0分．若小李每道A類題目能答對的概率均為25，每道B類題目能答對的概率均為35，且每道（1）若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；（2）若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？4．（2024?保定三模）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機抽取了部分產(chǎn)品進行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示．（1）求a的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；（2）若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在[110，130）的產(chǎn)品中隨機抽取7件，再從這7件中隨機抽取2件，求至少有一件的指標(biāo)值在[120，130）的概率；（3）以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機抽出4件，記這4件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．5．（2024?福建模擬）為弘揚中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動．競賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道A類試題得10分；每答對1道B類試題得20分，答錯都不得分．每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)A類試題中有7道題能答對，而他答對各道B類試題的概率均為23（1）若該同學(xué)只抽取3道A類試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；（2）若該同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率．6．（2024?白云區(qū)校級模擬）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息．近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時裝調(diào)動正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”．小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍色．每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5．（1）寫出小李同學(xué)抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率．7．（2023秋?T8聯(lián)考月考）為應(yīng)對全球氣候變化，我國制定了碳減排的國家戰(zhàn)略目標(biāo)，采取了一系列政策措施積極推進碳減排，作為培育發(fā)展新動能、提升綠色競爭力的重要支撐，節(jié)能環(huán)保領(lǐng)域由此成為全國各地新一輪產(chǎn)業(yè)布局的熱點和焦點．某公司為了解員工對相關(guān)政策的了解程度，隨機抽取了180名員工進行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：了解程度性別合計男性女性比較了解6060不太了解2040合計（1）補充表格，并根據(jù)小概率值α＝0.025的獨立性檢驗，分析了解程度與性別是否有關(guān)？（2）用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再從這12人中隨機抽取6人，用隨機變量X表示這6人中男性員工人數(shù)與女性員工人數(shù)之差的絕對值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：a0.100.050.0250.0100.001xa2.7063.8415.0246.63510.828χ28．（2024?浙江模擬）為了增強身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”中選擇一項進行鍛煉．在不下雪的時候，他跑步的概率為80%，跳繩的概率為20%，在下雪天他跑步的概率為20%，跳繩的概率為80%．若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為60%，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為40%．已知寒假第一天不下雪，跑步20分鐘大約消耗能量300卡路里，跳繩20分鐘大約消耗能量200卡路里．記寒假第n天不下雪的概率為Pn．（1）求P1、P2、P3的值，并求Pn；（2）設(shè)小王寒假第n天通過運動消耗的能量為X，求X的數(shù)學(xué)期望．9．（2024?江西模擬）甲、乙兩人準(zhǔn)備進行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方．若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為23，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為13，每回合比賽的結(jié)果相互獨立．經(jīng)抽簽決定，第（1）求第4個回合甲發(fā)球的概率；（2）設(shè)前4個回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為X，求X的分布列及期望．10．（2024?宜賓三模）某地為調(diào)查年齡在35﹣50歲段人群每周的運動情況，從年齡在35﹣50歲段人群中隨機抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：女性男性每周運動超過2小時6080每周運動不超過2小時4020（1）根據(jù)以上信息，能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35﹣50歲段人群每周運動超過2小時與性別有關(guān)？（2）用樣本估計總體，從該地年齡在35﹣50歲段人群中隨機抽取3人，設(shè)抽取的3人中每周運動不超過2小時的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．參考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（K2＞k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：概率（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?新縣校級模擬）袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球．（1）若從袋中一次性取出兩個小球，即取到的紅球個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若從袋中不放回的取3次，每次取一個小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個紅球的概率．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；超幾何分布；求解條件概率；離散型隨機變量及其分布列．【專題】運動思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）分布列見解析；E（X）＝1；（2）13【分析】（1）由超幾何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案；（2）設(shè)事件A＝“最后得分為8分”；事件B＝“恰取到一個紅球”，求出P（A），P（AB），再根據(jù)條件概率的概率公式計算可得答案．【解答】解：（1）由題意得X的可能取值為：0，1，2，P(X=0)=C40C4所以X的分布列為：X012P31447314數(shù)學(xué)期望E(X)=0×（2）設(shè)事件A＝“最后得分為8分”；事件B＝“恰取到一個紅球”，由題意，最后得分為8分有兩種情況：摸出2個白球1個紅球或1個黑球2個紅球，所以P(A)=C32所以P(B|A)=P(AB)【點評】本題考查條件概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是中檔題．2．（2024?莆田模擬）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，隨機一次取出3個小球．（1）求取出的3個小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率；（2）記取出的3個小球上的數(shù)字的中位數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；古典概型及其概率計算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）13（2）X的分布列為：X12345P11541513415115E（X）＝3．【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）由題意可知，隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，5，利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，進而得到X的分布列，再結(jié)合期望公式求解即可．【解答】解：（1）取出的3個小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率為C4（2）由題意可知，隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，5，且P(X=1)=CP（X＝2）=P（X＝3）=CP（X＝4）=CP（X＝5）=C故X的分布列為：X12345P11541513415115所以E(X)=1×【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．3．（2024?邵陽三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動，答題人根據(jù)所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類題目；乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對時，則下一次答A類題目，每次答錯時，則下一次答B(yǎng)類題目．已知A類題目每次答對得40分，答錯得0分，B類題目每次答對得30分，答錯得0分．若小李每道A類題目能答對的概率均為25，每道B類題目能答對的概率均為35，且每道（1）若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；（2）若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）44125（2）乙方案．【分析】（1）由獨立事件的乘法公式求解即可；（2）由二項分布求出小李采用甲方案答題的期望E（Y），若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為Z，求出Z的可能取值及其對應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望公式求出E（Z），由E（Y）＜E（Z）即可得出答案．【解答】解：（1）若“小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分”記為事件E，則小李至少答對2道A類題目，所以P(E)=C（2）若小李采用甲方案答題，設(shè)他的得分為Y，則他答對的題數(shù)為X，且X～B(3，則E(Y)=40E(X)=40×若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為Z，Z的可能取值為0，30，40，70，80，120，P(Z=0)=35×P(Z=40)=25×P(Z=80)=25×所以E(Z)=0×因為E（Y）＜E（Z），所以小李想要答題得分的期望值更大，應(yīng)該選擇乙方案答題．【點評】本題主要考查離散型隨機變量期望的求解，屬于中檔題．4．（2024?保定三模）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機抽取了部分產(chǎn)品進行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示．（1）求a的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；（2）若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在[110，130）的產(chǎn)品中隨機抽取7件，再從這7件中隨機抽取2件，求至少有一件的指標(biāo)值在[120，130）的概率；（3）以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機抽出4件，記這4件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）0.02；優(yōu)質(zhì)率為25%；（2）57（3）分布列見解析，E（X）＝1．【分析】（1）由頻率分布直方圖中，所有頻率之和為1及優(yōu)質(zhì)率的定義即可求得結(jié)果；（2）由分層抽樣可得質(zhì)量指標(biāo)在[110，120）有4件，質(zhì)量指標(biāo)在[120，130）有3件，結(jié)合古典概型求其概率即可；（3）由題意知，4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)服從二項分布，即X～B（4，14【解答】解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得（0.005+0.04+0.03+a+0.005）×10＝1，解得a＝0.02，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為（0.002+0.005）×10＝0.25，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為25%．（2）因為質(zhì)量指標(biāo)在[110，120）和[120，130）的頻率分別為0.4和0.3，所以質(zhì)量指標(biāo)在[110，130）產(chǎn)品中抽取7件，則質(zhì)量指標(biāo)在[120，130）有3件，從這7件中任取2件，設(shè)至少有一件質(zhì)量指標(biāo)在[120，130）的事件為A，所以至少一件質(zhì)量指標(biāo)在[120，130）的概率為P（A）＝1-C（3）因為抽到產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為144件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)X～B（4，14P(X=k)=C4k(14)k(34)4-kP(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=CX的分布列為：X01234P812562764271283641256E(X)=4×【點評】本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是中檔題．5．（2024?福建模擬）為弘揚中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動．競賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道A類試題得10分；每答對1道B類試題得20分，答錯都不得分．每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)A類試題中有7道題能答對，而他答對各道B類試題的概率均為23（1）若該同學(xué)只抽取3道A類試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；（2）若該同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機變量及其分布列．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意，先得到X的所有可能取值，求出相對應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；（2）根據(jù)相互獨立事件的概率，即可求解．【解答】解：（1）易知X的所有可能取值為0，10，20，30，此時P(X=0)=C33P（X＝20）=C72則X的分布為：X0102030P11207402140724故E(X)=0×（2）記“該同學(xué)僅答對1道題”為事件M，此時P(M)=7所以這次競賽中該同學(xué)僅答對1道題得概率為1990【點評】本題考查離散型隨機變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運算能力．6．（2024?白云區(qū)校級模擬）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息．近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時裝調(diào)動正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”．小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍色．每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5．（1）寫出小李同學(xué)抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機變量及其分布列．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求出P（X＝4），P（X＝3），P（X＝2）的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則A表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則B表示穿套裝，求出P(A)，P(A【解答】解：（1）設(shè)抽到紅球的個數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，P(X=4)=CP(X=3)=CP(X=2)=C所以X的分布列為：X432P11581525故E(X)=4×（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則A表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則B表示穿套裝，因為穿紅色衣物的概率為P(A)=P(X=4)+P(X=3)=1則穿藍色衣物的概率為P(A穿紅色連衣裙的概率為P(B|A)=0.6=35，穿藍色連衣裙的概率為則當(dāng)天穿連衣裙的概率為P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為1425【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列及期望，考查條件概率及全概率公式，屬中檔題．7．（2023秋?T8聯(lián)考月考）為應(yīng)對全球氣候變化，我國制定了碳減排的國家戰(zhàn)略目標(biāo)，采取了一系列政策措施積極推進碳減排，作為培育發(fā)展新動能、提升綠色競爭力的重要支撐，節(jié)能環(huán)保領(lǐng)域由此成為全國各地新一輪產(chǎn)業(yè)布局的熱點和焦點．某公司為了解員工對相關(guān)政策的了解程度，隨機抽取了180名員工進行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：了解程度性別合計男性女性比較了解6060不太了解2040合計（1）補充表格，并根據(jù)小概率值α＝0.025的獨立性檢驗，分析了解程度與性別是否有關(guān)？（2）用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再從這12人中隨機抽取6人，用隨機變量X表示這6人中男性員工人數(shù)與女性員工人數(shù)之差的絕對值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：a0.100.050.0250.0100.001xa2.7063.8415.0246.63510.828χ2【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷；（2）首先求出抽得女性、男性的人數(shù)，依題意可得X的可能取值為0、2、4、6，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）依題意補充表格如下：了解程度性別合計男性女性比較了解6060120不太了解204060合計80100180零假設(shè)為H0：了解程度與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2=180×(60×40-60×20根據(jù)小概率值α＝0.025的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即了解程度與性別無關(guān)．（2）用分層抽樣在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性12×4060∴X的可能取值為0、2、4、6．則P(X=0)=C83P(X=4)=C85∴X的分布列為：X0246P8331633833133∴E(X)=0×【點評】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗、古典概率計算公式、隨機變量的分布列與期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8．（2024?浙江模擬）為了增強身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”中選擇一項進行鍛煉．在不下雪的時候，他跑步的概率為80%，跳繩的概率為20%，在下雪天他跑步的概率為20%，跳繩的概率為80%．若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為60%，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為40%．已知寒假第一天不下雪，跑步20分鐘大約消耗能量300卡路里，跳繩20分鐘大約消耗能量200卡路里．記寒假第n天不下雪的概率為Pn．（1）求P1、P2、P3的值，并求Pn；（2）設(shè)小王寒假第n天通過運動消耗的能量為X，求X的數(shù)學(xué)期望．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）P1＝1，P2＝0.4，P3＝0.52，Pn（2）E（X）＝250+30×(【分析】（1）由題可直接求得P1，P2，P3，并能推得Pn=0.4Pn-1+0.6(1-Pn-1（2）由題X的取值為X＝200，300，且可得P（X＝300）＝0.6Pn+0.2，然后利用期望的性質(zhì)及公式即可求解．【解答】解：（1）依題意，P1＝1，P2＝1×0.4＝0.4，P3＝0.4×0.4+0.6×0.6＝0.52，依題意Pn整理得Pn所以{Pn-12即Pn所以Pn（2）由題X的取值為X＝200，300，則P（X＝300）＝0.8Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.6Pn+0.2，P（X＝200）＝1﹣P（X＝300）＝0.8﹣0.6Pn，所以E（X）＝300P（X＝300）+200P（X＝200）＝300（0.6Pn+0.2）+200（0.8﹣0.6Pn）＝220+60Pn＝250+30×(【點評】本題考查了離散型隨機變量的期望及條件概率的相關(guān)計算，屬于中檔題．9．（2024?江西模擬）甲、乙兩人準(zhǔn)備進行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方．若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為23，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為13，每回合比賽的結(jié)果相互獨立．經(jīng)抽簽決定，第（1）求第4個回合甲發(fā)球的概率；（2）設(shè)前4個回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為X，求X的分布列及期望．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機變量及其分布列．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）1427（2）分布列為：E（X）=74【分析】（1）分類討論結(jié)合獨立事件乘法公式計算即可；（2）分情況討論列出分布列并計算期望即可．【解答】解：（1）由題可知，第2回合甲發(fā)球的概率為23，乙發(fā)球的概率為1所以第3回合甲發(fā)球的概率為23乙發(fā)球的概率為23可得第4個回合甲發(fā)球的概率為59故第4個回合甲發(fā)球的概率為1427（2）由題意可知：X可以取1，2，3，4，當(dāng)X＝1時，P1當(dāng)X＝2時，前4個回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：第一種情況，甲第1，2回合發(fā)球，乙第3，4回合發(fā)球，其概率為23第二種情況，甲第1，3回合發(fā)球，乙第2，4回合發(fā)球，其概率為13第三種情況，甲第1，4回合發(fā)球，乙第2，3回合發(fā)球，其概率為13故前4個回合甲發(fā)球兩次的概率為P2當(dāng)X＝4時，P4當(dāng)X＝3時，P3故X的分布列為：E(X)=1×【點評】本題考查隨機變量的概率和分布列，期望的求解，屬于中檔題．10．（2024?宜賓三模）某地為調(diào)查年齡在35﹣50歲段人群每周的運動情況，從年齡在35﹣50歲段人群中隨機抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：女性男性每周運動超過2小時6080每周運動不超過2小時4020（1）根據(jù)以上信息，能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35﹣50歲段人群每周運動超過2小時與性別有關(guān)？（2）用樣本估計總體，從該地年齡在35﹣50歲段人群中隨機抽取3人，設(shè)抽取的3人中每周運動不超過2小時的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．參考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（K2＞k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）有；（2）X的分布列為：X0123P343100044110001891000271000910【分析】（1）根據(jù)獨立性檢驗公式，即可求解；（2）先判斷X服從二項分布，X＝0，1，2，3，依次求出概率，再結(jié)合期望公式，即可求解．【解答】解：（1）由K2故有99%把握認(rèn)為該地35﹣50歲年齡段人每周運動超過2小時與性別有關(guān)．（2）抽取的3人中每周運動不超過2小時的人數(shù)為X，則X～B(3，310)，X＝0，P(X=0)=(710)3P(X=3)=C所以隨機變量X的分布列為：X0123P343100044110001891000271000故E（X）=3×【點評】本題主要考查離散型隨機變量分布列、期望的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

考點卡片1．古典概型及其概率計算公式【知識點的認(rèn)識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認(rèn)識】1．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨立事件．2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念：（1）互斥事件：兩個事件不可能同時發(fā)生；（2）相互獨立事件：一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．3．求解條件概率【知識點的認(rèn)識】﹣條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，記作P（A|B）．﹣計算：P(A|B)=P(A∩B)P(B)其中P（B）＞【解題方法點撥】﹣計算條件概率時，確定事件B的發(fā)生對事件A的影響，通過交事件的概率和條件事件的概率進行計算．【命題方向】﹣主要考察條件概率的計算及其應(yīng)用問題．4．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認(rèn)識】1、相關(guān)概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的