2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二上冊(cè)第二學(xué)程考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二上學(xué)期第二學(xué)程考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，解得，故選：D.2.“兩個(gè)向量與共線”是“，，成等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】利用等比中項(xiàng)和向量共的坐標(biāo)表示，結(jié)合條件及充分條件和必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】若向量與共線，則有，當(dāng)，顯然有與共線，此時(shí)，，不是等比數(shù)列，即“兩個(gè)向量與共線”推不出“，，成等比數(shù)列”，若，，成等比數(shù)列，則有，此時(shí)兩個(gè)向量與共線，即“，，成等比數(shù)列”可以推出“兩個(gè)向量與共線”，所以“兩個(gè)向量與共線”是“，，成等比數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.3.在四面體中，點(diǎn)為線段靠近的四等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的值為（）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】先依據(jù)空間向量基本定理利用向量、、表示向量，進(jìn)而求得、、的值，即可求得的值.【詳解】由又，則，所以，故選：C．4.若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)是原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則該正三角形的邊長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，由對(duì)稱性可得在拋物線上，代入，即可求.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則由等邊三角形和拋物線的對(duì)稱性可得等邊三角形一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，解得.故選：B5.若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，又點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為．故選：B．6.2024年春節(jié)前夕，某商城針對(duì)顧客舉辦了一次“購(gòu)物送春聯(lián)”的促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：將一天內(nèi)購(gòu)物不少于800元的顧客按購(gòu)物順序從1開(kāi)始依次編號(hào)，編號(hào)能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯(lián)1對(duì)，否則不能獲得春聯(lián)．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對(duì)春聯(lián)的人數(shù)為（）A.167 B.168 C.169 D.170【正確答案】A【分析】將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出答案.【詳解】將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，則既是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，故為12的倍數(shù)，所以是首項(xiàng)為0，公差為12的等差數(shù)列，所以，令，即，且，解得，且，又，所以恰好獲得1對(duì)春聯(lián)的人數(shù)為167．故選:A7.在平面直角坐標(biāo)系中，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，P為E左支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線PM平分，，，則E的離心率為（）A B.2 C. D.4【正確答案】A【分析】由題意得，設(shè)與交于點(diǎn)，可得，利用雙曲線定義可得，由離心率公式計(jì)算即可.【詳解】由，得，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，由直線PM平分，且，可得為等腰三角形，則為的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)椋傻?，即，所以雙曲線E的離心率為.故選：A.8.已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，若恒成立，則的取值范圍是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求基本量公比，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，，研究函數(shù)的單調(diào)性證明，從而證明當(dāng)時(shí)，成立，進(jìn)而得到數(shù)列的最大項(xiàng)，由此可得的范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，又，得到，即，解得或（舍），所以，由，得到，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故.下面證明當(dāng)時(shí)，.構(gòu)造函數(shù)，則，且在單調(diào)遞增；則，故在上單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)，成立，即，故當(dāng)時(shí)，，則，，則當(dāng)時(shí)，.綜上可知，數(shù)列的最大項(xiàng)為，即.要使恒成立，即恒成立，則.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選得0分.9.下列說(shuō)法正確的有（）A.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，也成等差數(shù)列B.數(shù)列是等比數(shù)列C.若等比數(shù)列滿足：，則D.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的最大值是【正確答案】CD【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由等比數(shù)列性質(zhì)可得選項(xiàng)C正確；由，得，由此可得選項(xiàng)D正確.【詳解】A.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，∴，，當(dāng)時(shí)，，，，不成等差數(shù)列，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.在等比數(shù)列中，，∵，∴，∴，∴，選項(xiàng)C正確.D.∵，，∴，則當(dāng)時(shí)，，故的最大值是，選項(xiàng)D正確.故選：CD.10.已知線段是圓的一條動(dòng)弦，，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.直線與圓恒相交C.直線，的交點(diǎn)在定圓上D.若為中點(diǎn)，則的最小值為【正確答案】ACD【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)即可判斷A，由直線過(guò)定點(diǎn)以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷B，聯(lián)立直線方程，然后消去即可得到點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷C，先求得點(diǎn)的軌跡方程，再由點(diǎn)的軌跡方程，即可得到的最小值，即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€，即，令，解得，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因直線，即，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓可得，即點(diǎn)在圓外，所以直線與圓不一定相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立兩直線方程可得，解得，消去可得，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，而圓的圓心，半徑為，則圓心到弦的距離為，即，即點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，半徑為，由選項(xiàng)C可知，點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，半徑為，兩圓圓心距為，所以的最小值為，故D正確；故選：ACD11.已知數(shù)列滿足，且則（）A. B.C.當(dāng)時(shí)， D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)三角恒等變換計(jì)算可得，再利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可知B錯(cuò)誤，計(jì)算可得A正確，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可判斷C正確，再由同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得D正確.【詳解】由可得；即，，所以，因此，；累乘可得；而也滿足此式，故,所以，即，可得，即A正確；B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以可得；又可得，即，可知C正確；由可得，又，，因此，又時(shí)，易知，所以，即可得，即D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，其中14小題第一空2分，第二空3分，共15分.12.在等比數(shù)列中，，且，則的最小值為_(kāi)__.【正確答案】【詳解】∵數(shù)列為等比數(shù)列，∴∴，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小.故答案為.得解：本題主要考查基本不等式，其難點(diǎn)主要在于利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到即為定值.在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.13.設(shè)橢圓焦距為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦距為，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為_(kāi)_______．【正確答案】##【分析】設(shè)圓心為，由四邊形的面積得，利用轉(zhuǎn)化為，再由距離公式求的最小值即可.【詳解】設(shè)圓心為，半徑為2，則四邊形的面積，所以，又在中，，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)有最小值故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題中求有最小值關(guān)鍵是利用四邊形的面積將的表達(dá)式求出來(lái)，再轉(zhuǎn)化為的函數(shù)求最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）通過(guò)構(gòu)造法可證明結(jié)論.（2）由（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，其中，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，∴，∵，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴，數(shù)列為遞增數(shù)列，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.16.已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線過(guò)點(diǎn)2,1且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）易知的垂直平分線方程為，聯(lián)立直線方程，求得圓心，利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，即可求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，求出圓心到直線的距離，結(jié)合條件，利用弦長(zhǎng)公式，即可求解，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，聯(lián)立圓的方程，直接求出交點(diǎn)，即可求解；.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，則的垂直平分線方程為，即，由，解得，所以圓心為，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離為，則，由題有，整理得到，解得，此時(shí)直線方程為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，由，解得或，此時(shí)弦長(zhǎng)為，滿足題意，綜上，直線的方程為或.17.已知橢圓（），其右頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，．直線的斜率為，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（，均在軸右側(cè)）．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)四邊形面積為，求的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）因?yàn)椋?，所以，可求得橢圓方程（2）設(shè),,，直線方程為，將直線代入橢圓方程得求得面積，利用均值不等式求得取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以橢圓方程為；（2）設(shè),,,直線方程為，將直線代入橢圓方程得，則，，，；面積；令，則，即．所以四邊形面積的取值范圍為．18.如圖，在矩形中，，沿將折起，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使點(diǎn)在平面的射影落在邊上.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證平面，即可證明；（2）根據(jù)題意，作，垂足為，由線面垂直的判定定理可得平面，即可得到點(diǎn)到面的距離；（3）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由點(diǎn)在平面的射影落在邊上可得：平面，又平面，所以，又，且平面平面，所以平面，又平面，故.【小問(wèn)2詳解】作，垂足，由已知得：且平面平面，從而平面，且平面，所以平面平面，又平面，平面平面，所以平面，即即為點(diǎn)到平面的距離，在直角三角形中，，所以，故點(diǎn)到平面的距離為.【小問(wèn)3詳解】在直角三角形中可得，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所以，從而，易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z所以，解得：，又直線的方向向量為，因此可得故直線與平面所成角的正弦值為.19.如圖，已知圓心為，半徑為的同心圓與直線在第一象