2024-2025學年福建省晉江市高二上冊期中考試數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年福建省晉江市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.點關(guān)于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.2.已知直線過點，且一個方向向量為，則直線的方程為（）A B. C. D.3.已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標準方程為（）A. B.C. D.4.已知直線與直線平行，則與之間的距離為（）A2 B.3 C.4 D.55.已知三棱柱的側(cè)棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，，若和相交于點．則（）A. B.2 C. D.6.已知橢圓右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.7.已知，是橢圓的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（

）A. B. C. D.8.已知圓：關(guān)于直線對稱，過點作圓的切線，切點分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為 B.C.向量在向量上的投影向量為 D.向量與向量，共面10.已知直線：，圓：，以下正確的是（）A.與圓不一定存公共點B.圓心到的最大距離為C.當與圓相交時，D.當時，圓上有三個點到的距離為11.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，上、下焦點分別為，下列判斷正確的是（）A.的方程為B.的離心率為C.若點為的上支上的任意一點，，則的最小值為D.若點為的上支上的一點，則△的內(nèi)切圓的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，兩點，則以線段為直徑的圓的標準方程為_________．13.過雙曲線的兩個焦點分別作實軸的垂線，交于四個點，若這四個點恰為一個正方形的頂點，則的離心率為__________.14.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點E在棱上，，動點P滿足，若點P在平面內(nèi)運動，則點P對應的軌跡的面積是___________；F為的中點，則三棱錐體積的最小值為___________.四、解答題：本題共5小題，77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標系中，已知圓M圓心在直線上，且圓M與直線相切于點.（1）求圓M的方程；（2）過坐標原點O的直線被圓M截得的弦長為，求直線的方程.16.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點是棱上靠近端的三等分點，點是棱上一點.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.17.已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C（1）求C的方程；（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.18.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標，設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與相鄰的頂點，且平面，，…平面和平面為多面體的所有以為頂點的面．現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐．（1）求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；（2）若平面，，三棱錐在頂點處的離散曲率為．①求直線與直線所成角的余弦值；②點在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長度．19.已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，且經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）過且不垂直于坐標軸的直線交于兩點，點為的中點，記的面積為的面積為，求的取值范圍.2024-2025學年福建省晉江市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.點關(guān)于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)空間直角系對稱的特征，直接求出答案即可.【詳解】點關(guān)于平面對稱的點的坐標是.故選：B2.已知直線過點，且一個方向向量為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)直線的方向向量定義求解即可．【詳解】設是直線上任意一點，因為直線過點，且一個方向向量為，所以，化簡得.故選：C．3.已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標準方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由題設雙曲線的方程為，進而待定系數(shù)求解即可.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，故可設雙曲線的方程為，又因為過點，所以，解得，所以，雙曲線的標準方程是．故選：A．4.已知直線與直線平行，則與之間的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】A【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出值，再應用平行線間的距離公式求值即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解之得.于是直線，即，所以與之間距離為.故選：A5.已知三棱柱的側(cè)棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，，若和相交于點．則（）A. B.2 C. D.【正確答案】D【分析】利用空間向量的基本運算可得，再由夾角以及模長運算即可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可知令，且，；可得；所以.故選：D6.已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】點差法得到，從而得到，結(jié)合，求出，得到橢圓方程.【詳解】由題意，設，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點的直線交橢圓于兩點，且的中點為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C7.已知，是橢圓的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（

）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，求得方程為，以及，代入直線方程求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，由橢圓，得到左頂點，又由過點且斜率為的直線，可得方程為，因為為等腰直角三角形，且，可得，代入直線，可得，整理得，所以橢圓的離心率為.故選：A.8.已知圓：關(guān)于直線對稱，過點作圓的切線，切點分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先由圓關(guān)于直線對稱，則圓心在直線上，從而得到，即確定在直線上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】由圓：，即可得圓心，半徑，由圓：關(guān)于直線對稱，可得圓心在直線上，所以，即，所以在直線，又過點作圓的兩條切線，切點分別為，則，又在直線，則可表示到直線上點的距離的平方，所以的最小值為，所以的最小值為，故選：C.關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是將求的最小值轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到圓：的最小值問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為 B.C.向量在向量上的投影向量為 D.向量與向量，共面【正確答案】BD【分析】對于A，利用空間向量夾角公式計算即可判斷；對于B，利用向量垂直的充要條件計算判斷即得；對于C，利用投影向量計算公式即可判斷；對于D，利用共面向量基本定理即可判斷.【詳解】對于A，因，則，因，則，故A錯誤；對于B，因，則，故，即B正確；對于C，根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為:，故C錯誤；對于D，由向量，，，可知，故向量與向量，共面，所以D正確．故選：BD.10.已知直線：，圓：，以下正確的是（）A.與圓不一定存在公共點B.圓心到的最大距離為C.當與圓相交時，D.當時，圓上有三個點到的距離為【正確答案】ABD【分析】對A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求圓心到直線的距離判斷；對于B，由于直線恒過定點，所以當時，圓心到直線的距離最大，從而可求出其最大值；對C，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解判斷；對D，求出圓心到直線的距離，進而判斷.【詳解】對于A，圓心到直線的距離為，當，即，解得或，此時直線與圓相離，沒有公共點，故A正確；對于B，因為直線，即，所以直線過定點，當時，圓心到直線的距離最大，最大值為，故B正確；對于C，當直線與圓相交時，則，解得，故C錯誤；對于D，當時，直線，圓心到直線的距離為，所以圓上有三個點到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.11.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，上、下焦點分別為，下列判斷正確的是（）A.的方程為B.的離心率為C.若點為的上支上的任意一點，，則的最小值為D.若點為的上支上的一點，則△的內(nèi)切圓的半徑為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)漸近線方程求，根據(jù)雙曲線方程求離心率，即可判斷AB，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合判斷C，根據(jù)雙曲線方程求點的坐標，再根據(jù)的面積和周長，即可求內(nèi)切圓的半徑，判斷D.【詳解】A.由雙曲線方程C:y2a又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以的方程為，故A正確；B.由雙曲線的方程，可知，，，則，所以離心率，故B錯誤；C.，，，當點三點共線且依序排列時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；D.D.的方程為，當時，，，，計算可得，，，所以的面積為，的周長為，設△的內(nèi)切圓的半徑為，則，得，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，兩點，則以線段為直徑的圓的標準方程為_________．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心和半徑即可求出圓的標準方程.【詳解】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標準方程為.故13.過雙曲線的兩個焦點分別作實軸的垂線，交于四個點，若這四個點恰為一個正方形的頂點，則的離心率為__________.【正確答案】.【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)確定之間的等式關(guān)系，即可求解.【詳解】解法一：不妨設雙曲線，令，可得，所以AB=2b依題意可得，，所以，又，所以，解得：，又因為，所以.解法二：如圖，連結(jié)，在中，所以離心率解法三：，依題意知在曲線上，故，整理得（取正），所以，故答案為.14.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點E在棱上，，動點P滿足，若點P在平面內(nèi)運動，則點P對應的軌跡的面積是___________；F為的中點，則三棱錐體積的最小值為___________.【正確答案】①.②.【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)，可得對應的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以軸建系，設，而,,，,.由,有，化簡得對應的軌跡方程為.所以點P對應的軌跡的面積是.易得的三個邊即是邊長為為的等邊三角形，其面積為，，設平面的一個法向量為，則有，可取平面的一個法向量為，根據(jù)點的軌跡，可設，，所以點到平面的距離，所以故；四、解答題：本題共5小題，77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點.（1）求圓M的方程；（2）過坐標原點O的直線被圓M截得的弦長為，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)直線與圓的相切的關(guān)系得出圓心與切點連線方程，聯(lián)立方程組計算可得圓心坐標，根據(jù)兩點距離公式計算半徑即可得圓M的標準方程；（2）根據(jù)弦長公式可得圓心M到直線的距離，分類討論直線斜率是否存在，并點到直線的距離公式計算斜率即可.【小問1詳解】易知過點且與直線垂直的直線斜率為，故圓心M與切點連線方程為，聯(lián)立解得，所以；所以圓M的半徑為，所以圓M的方程為.【小問2詳解】如圖，由（1）可知圓M的方程為，因為直線被圓M截得的弦長為，所以M到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則方程為，此時圓心到直線的距離為1，不符合題意；若直線的斜率存在，設方程為，則，即，解得或，所以直線的方程為或.16.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點是棱上靠近端的三等分點，點是棱上一點.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）.【分析】（1）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量研究線面關(guān)系即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及點到面的距離公式計算即可；（3）利用空間向量計算面面夾角即可.【小問1詳解】以點為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，則.又，可得，因為平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，所以點到平面的距離等于點A到平面的距離.易知，則點A到平面的距離為.【小問3詳解】易知，設平面一個法向量為，則，即，令，則.設平面與平面的夾角為，則故平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C（1）求C的方程；（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.【正確答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出方程；（2）先確定當圓P的半徑最長時，其方程為，再對直線l進行分類討論求弦長.【詳解】（1）依題意，圓M的圓心，圓N的圓心，故，由橢圓定理可知，曲線C是以M、N為左右焦點的橢圓（左頂點除外），其方程為；（2）對于曲線C上任意一點，由于（R為圓P的半徑），所以R=2，所以當圓P的半徑最長時，其方程為；若直線l垂直于x軸，易得；若直線l不垂直于x軸，設l與x軸交點為Q，則，解得，故直線l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當時，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程解得；同理，當時，.18.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標，設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與相鄰的頂點，且平面，，…平面和平面為多面體的所有以為頂點的面．現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐．（1）求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；（2）若平面，，三棱錐在頂點處的離散曲率為．①求直線與直線所成角的余弦值；②點在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長度．【正確答案】（1）2（2）①；②【分析】（1）根據(jù)所給的定義，表示，再相加，即可求解；（2）①將三棱錐補成正方體，即可求解異面直線所成的角；②首先根據(jù)垂直關(guān)系，構(gòu)造線面角，再設，，，再利用余弦定理求，再由余弦值，轉(zhuǎn)化為正切值，即可求解.