2024-2025學(xué)年浙江省浙東北名校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年浙江省浙東北名校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線3x?y?2=0的傾斜角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.雙曲線x2?y2A.5 B.25 C.3.已知點(diǎn)P為圓C：(x?1)2+(y?2)2=1外一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，且PA⊥PBA.(x?1)2+(y?2)2=2 B.(x?24.古希臘的幾何學(xué)家用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面去截一個(gè)圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，M為PB中點(diǎn)，某同學(xué)用平行于母線PA且過點(diǎn)M的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線.若該圓錐的高PO=2，底面半徑OA=2，則該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(

)A.2 B.3 C.3 D.5.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA.34a+34b+146.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)f(x)=x2?2x+10+A.135 B.3 C.175 7.已知曲線E：x|x|?y|y|=1，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.曲線E關(guān)于直線y=?x對(duì)稱

B.曲線E與直線y=x無公共點(diǎn)

C.曲線E上的點(diǎn)到直線y=x的最大距離是2

D.曲線E與圓(x+8.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P(1,32)，過左焦點(diǎn)A.3 B.2 C.3 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a=(1,?1,?1)，b=(?2,2,0)，c=(2,1,?3)，則A.|a+b|=3 B.(10.已知直線l1：mx?y?3=0，直線l2：4x?my+6=0，則下列命題正確的有(

)A.直線l1恒過點(diǎn)(0,?3) B.直線l2的斜率一定存在

C.若l1//l2，則m=2或m=?211.已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)M(?2,0)，P(2,0)，過點(diǎn)P的直線l交拋物線C與A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,yA.y1y2=?8 B.|AB|的最小值為42

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知與圓C1：x2+y213.已知空間向量a=(1,0,?1)，b=(?1,1,0)，則向量a在向量b上的投影向量是______．14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，斜率為18的直線與曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，直線AP，BP四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知點(diǎn)P(1,3)，圓C：x2+y2?4y=0；

(1)若直線l1過點(diǎn)P且在坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線l1的方程；

(2)過點(diǎn)P的直線l2與圓C交于A16.(本小題15分)

如圖，在棱長(zhǎng)都為2的平行六面體中，∠DAB=60°，點(diǎn)A′在底面上的投影恰為AC與BD的交點(diǎn)O；

(1)求點(diǎn)C到平面A′AB的距離；

(2)求直線AC′與平面B′BD所成角的正弦值．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3，PE=ED，點(diǎn)F在線段PC上，且PC=3PF．

(1)求二面角F?AE?P的余弦值；

(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)G，使得A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.若存在，求18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，且C的一個(gè)焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1．

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A為C的左頂點(diǎn)，若過點(diǎn)(3,0)的直線l與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且直線AP，AQ與圓O：x2+y2=19.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2).若以x軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個(gè)半平面(如圖所示)，則稱此時(shí)點(diǎn)P，Q在空間中的距離為“點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸的折疊空間距離”，記為d(PQ)．

(1)若點(diǎn)A，B，C在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(?2,3)，C(3,?4)，求d(AB)，d(BC)的值．

(2)若點(diǎn)D，P在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為D(0,?1)，P(x,y)，試用文字描述滿足d(DP)=2的點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是什么？并求該軌跡與x軸圍成的圖形的面積．

(3)若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E(?1,3)是橢圓y212+x2參考答案1.B

2.B

3.A

4.D

5.A

6.C

7.C

8.B

9.AC

10.AD

11.ABD

12.(?13.(114.515.解：(1)由直線l1過點(diǎn)P且在坐標(biāo)軸上的截距之和為0，

分兩種情況：

①當(dāng)l1的截距均為0，即直線l1過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l1的方程為：y=kx

代入點(diǎn)P(1,3)，解得k=3，

∴直線l1的方程為y=3x；

②當(dāng)l1截距不為0時(shí)，設(shè)直線l1的方程為：xa+y?a=1(a≠0)，

點(diǎn)入點(diǎn)P(1,3)，解得a=?2，

∴直線l1的方程為x?y+2=0；

綜上所述，直線l1的方程為y=3x或x?y+2=0；

(2)由過點(diǎn)P的直線l2與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB=120°，圓C(0,2)的半徑為2，

∴圓心到直線l2的距離為1．

①當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)，直線l2的方程為：x=1，符合題意；

②當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l2方程為：y=m(x?1)+3即mx?y?m+3=0，

又∵圓心到直線l16.解：(1)∵ABCD?A1B1C1D1為平行六面體，∴底面ABCD為菱形，可得AO⊥BO，

又點(diǎn)A′在底面上的投影恰為AC與BD的交點(diǎn)O，

∴OA，OB，OA′兩兩垂直，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OA′所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),C(?3,0,0),D(0,?1,0),A′(0,0,1)

AC=(?23,0,0),AB=(?3,1,0),AA′=(?3,0,1)．

設(shè)平面A′AB的法向量為n=(x,y,z)，

由n?AB=?3x+y=0n?AA′=?3x+z=0，取x=1，得n=(1,3,3)，

又AC=(?2317.解：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD，AP方向?yàn)閥軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，如圖所示，

易知：A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，

由PC=3PF可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(23,23,43)，

由PE=ED可得E(0,1,1)，

設(shè)平面AEF的法向量為：m=(x,y,z)，

則m⊥AFm⊥AE，則m?AF=23x+23y+43z=0m?AE=y+z=0，

令x=1，則y=1，z=?1，

所以平面AEF的一個(gè)法向量為m=(1,1,?1)，

易知平面AEP的一個(gè)法向量為n=(1,0,0)，

cos?m,n?=m?n|m|×|n|=13×1=33，

二面角F?AE?P的平面角為銳角，18.解：(1)考慮右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離，

由題可知C的一條漸近線方程為bx?ay=0，右焦點(diǎn)為(c,0)，

∴右焦點(diǎn)到漸近線的距離d=|bc|b2+a2=b=1，

由離心率e=ca=2，有a2+b2a=2，解得a=1，

∴雙曲線C的方程為x2?y2=1．

(2)設(shè)直線l的方程：x=ty+3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

由x2?y2=1x=ty+3?(t2?1)y2+6ty+8=0，

因?yàn)橹本€l與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn)，

Δ=(6t)2?4(t2?1)×8=4t2+32>0恒成立，

還需y1y2=8t2?1<0t2?1≠0，解得?1<t<1，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)，

∴kAP?kAQ=y1x1+1?y2x2+1=y1y2(ty1+4)(ty2+4)

=y1y2t2y19.解：(1)若點(diǎn)A，B，C在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為

A(1,2)，B(?2,3)，C(3,?4)，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A，B，C在空間中的坐標(biāo)分別為A′(0,1,2)，

B′(0,?2,3)，C′(4,3,0)，

∴d(AB)=(0?0)2+(?2?1)2+(3?2)2=10；

d(BC)=(0?4)2+(?2?3)2+(3?0)2=52；

(2)由題意可知，點(diǎn)D在空間中的坐標(biāo)分別為D′(1,0,0)，對(duì)P點(diǎn)分類討論，

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下半平面，即y<0時(shí)，點(diǎn)P在空間中的坐標(biāo)為P′(?y,x,0)，

∴d(PD)=x2+(y+1)2=2，化簡(jiǎn)得：x2+(y+1)2=2(y<0)，

因此在平面直角坐標(biāo)中，

點(diǎn)P在x軸下半平面的軌跡為以(0,?1)為圓心，以2為半徑的圓的一部分．

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上半平面，即y≥0時(shí)，點(diǎn)P在空間中的坐標(biāo)為P′(0,x,y)，

∴d(PD)=1+x2+y2=2