2023-2024學(xué)年吉林省長春十一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年吉林省長春十一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合{x|(x?a2)(x?1)=0}的元素之和為1，則實數(shù)a所有取值的集合為A.{0} B.{1} C.{?1,1} D.{0,?1,1}2.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=x+sinx，當(dāng)x<0時，f(x)的表達(dá)式為(

)A.x+sinx B.?x?sinx C.?x+sinx D.x?sinx3.如圖所對應(yīng)的函數(shù)的解析式可能是(

)A.f(x)=(x?1)ln|x|

B.f(x)=xln|x|

C.f(x)=(x?1)lnx

4.若角α的終邊經(jīng)過點A(?1,2sinα)，且α∈(0,π)，則α=(

)A.π6 B.π3 C.5π65.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=log0.50.3，則a，A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b6.已知函數(shù)g(x)=|lnx|?(1e)x(e≈2.718)有兩個零點x1A.x1x2<0 B.x1x7.定義域和值域均為[?a,a](常數(shù)a>0)的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)圖象如圖所示.給出下列四個命題，那么，其中正確命題是(

)

A.方程f[g(x)]=0有且僅有三個解 B.方程g[f(x)]=0有且僅有三個解

C.方程f[f(x)]=0有且僅有九個解 D.方程g[g(x)]=0有且僅有九個解8.已知函數(shù)f(x)=(x2?2x)?(ex?1+A.(?∞,2) B.(?1,2) C.(2,+∞) D.(1,2)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列選項中正確的有(

)A.若a>b，則ac2>bc2

B.若集合A={?1,2}，B={x|ax+2=0}，且B?A，則實數(shù)a的取值所組成的集合是{?1,2}

C.若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|1<x<3}，則不等式cx2+bx+a<0的解集為{x|x<110.下列式子成立的有(

)A.sin(?π18)>sin(?π10)11.已知函數(shù)f(x)=lnx?1?2x?1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，(1,+∞)

B.f(x)的值域為R

C.f(log20232024)+f(log20242023)=1

D.若f(a)=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若x>0，使2x+43x+2取得最小值時x的值為______．13.命題任意“x∈[1,3]，a≤2x+2?x14.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x?4)=?f(x)，且x∈[0,2]時，f(x)=log2(x+1)，給出下列結(jié)論：

①f(3)=1；②函數(shù)f(x)在[?6,?2]上是增函數(shù)；③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱；④若m∈(0,1)，則關(guān)于x的方程f(x)?m=0在[?8,16]上的所有根之和為12．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P到點(3,0)的距離與到直線x=?3的距離相等，記動點P的軌跡為C．

(1)求C的方程；

(2)直線l與C相切于點M，若點M的縱坐標(biāo)為16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x(ex?ax2).

(1)若曲線y=f(x)在x=?1處的切線與y軸垂直，求y=f(x)的極值．

(2)若f(x)在17.(本小題15分)

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．

(1)求B的大??；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=4，求18.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，菱形ABCD的邊長2，∠BAD=60°，PD=3．

(1)求直線PB與平面PDC所成角的正弦值；

(2)若點F，E分別在線段PB，PC上，且平面DEF⊥PB，求線段DE的長度．19.(本小題17分)

學(xué)校舉行數(shù)學(xué)知識競賽，分為個人賽和團(tuán)體賽．

個人賽規(guī)則：每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會.電腦同時給出2道判斷題A1，A2(判斷對錯)和4道連線題(由電腦隨機(jī)打亂給出的四個數(shù)學(xué)定理B1，B2，B3，B4和與其相關(guān)的數(shù)學(xué)家b1，b2，b3，b4，要求參賽者將它們連線配對，配對正確一對數(shù)學(xué)定理和與其相關(guān)的數(shù)學(xué)家記為答對一道連線題)，要求參賽者全都作答，若有4道或4道以上答對，則該選手挑戰(zhàn)成功．

團(tuán)體賽規(guī)則：以班級為單位，每班參賽人數(shù)不少于20人，且參賽人數(shù)為偶數(shù)，參賽方式有如下兩種可自主選擇其中之一參賽：

方式一：將班級選派的2n個人平均分成n組，每組2人，電腦隨機(jī)分配給同組兩個人一道相同試題，兩人同時獨立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若這n個小組都闖關(guān)成功，則該班級挑戰(zhàn)成功．

方式二：將班級選派的2n個人平均分成2組，每組n人，電腦隨機(jī)分配給同組n個人一道相同試題，各人同時獨立答題，若這n個人都回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若這兩個小組至少有一個小組闖關(guān)成功則該班級挑戰(zhàn)成功．

(1)在個人賽中若一名參賽選手全部隨機(jī)作答，求這名選手恰好答對一道判斷題并且配對正確兩道連線題的概率．

(2)甲同學(xué)參加個人賽，他能夠答對判斷題A1并且配對正確參考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.C

6.D

7.A

8.B

9.CD

10.AD

11.ABD

12.613.{a|a>514.①④

15.解：(1)設(shè)P(x,y)，

因為點P到定點(3,0)與定直線x=?3的距離相等，

所以P點軌跡為開口向右的拋物線，且p=23，

則P點軌跡方程為y2=43x，

即C的方程為y2=43x；

(2)設(shè)M(x0,2)，

因為點M在C上，

解得x0=33，

設(shè)直線l的方程為x=m(y?2)+33，

聯(lián)立x=m(y?2)+33y16.解：(1)f′(x)=ex?ax2+x(ex?2ax)=ex+xex?3ax2，

所以f′(?1)=?3a，因為曲線y=f(x)在x=?1處的切線與y軸垂直，

所以f′(?1)=?3a=0，解得a=0，

所以f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，

當(dāng)x∈(?∞,?1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(?1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=?1處取得極小值為f(?1)=?1e，無極大值．

(2)若f(x)=x(ex?ax2)在(0,+∞)只有一個零點，即函數(shù)g(x)=ex?ax2在(0,+∞)只有一個零點，

即方程ex?ax2=0在(0,+∞)只有一個根，即a=exx2在(0,+∞)只有一個根，

即函數(shù)y=a與?(x)=exx217.解：(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA，

∵sinA≠0，

∴sinA+C2=sinB，

∵sinA+C2=sin(π2?B2)=cosB2，又sinB=2sinB2cosB2，可得cosB2=2sinB2cosB2，

又∵cosB2≠0，

∴化簡得sinB2=12，

∵0<B<π，

則0<B2<π2，可得B2=18.解：(1)過點B作BH⊥CD，垂足為H，

因為PD⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，

所以PD⊥BH，

又PD∩CD=D，PD，CD?平面PDC，

所以BH⊥平面PDC，PH?平面PDC，

所以BH⊥PH，

所以直線PB與平面PDC所成角為∠BPH，

由已知四邊形ABCD為菱形，AB=2，∠BAD=60°，

所以△BCD為邊長為2的等邊三角形，故BH=3，

因為PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以PD⊥BD，又PD=3，BD=2，

所以PB=13，

在△PHB中，PB=13，BH=3，∠PHB=90°，

所以sin∠BPH=BHPB=3913，

所以直線PB與平面PDC所成角的正弦值為3913；

(2)連接DG，點G為線段AB的中點，

由已知△ADB為等邊三角形，所以DG⊥AB，又AB/?/CD，

所以DG⊥DC，又PD⊥平面ABCD，

以點D為坐標(biāo)原點，DG，DC，DP為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，P(0,0,3)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，

故PB=(3,1,?3)，

設(shè)PE=λPC，則DE=DP+PE=(0,0,3)+λ(0,2,?3)=(0,2λ,3?3λ)，

因為PB⊥平面DEF，DE?平面DEF，

19.解：(1)記事件S為恰好答對一道判斷題并且配對正確兩道連線題，

則所求概率為：P(S)=12×C42A44=18；

(2)記事件A：甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功，

由題所求概率為：P(A)=