四川省攀枝花市第七高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第四次診斷性考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第13頁(yè)攀枝花七中2025屆高三上第四次診斷性考試注意事項(xiàng)1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一．選擇題：本題共8小題，每小題滿(mǎn)分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.36 B.48 C.52 D.663.已知向量，，若，則（）A.2 B. C.1 D.04.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.5.2024年10月1日是我國(guó)國(guó)慶75周年，全國(guó)人民以各種各樣的形式共同慶祝.我校以文藝演出的形式慶祝，原本準(zhǔn)備了4個(gè)舞蹈，2個(gè)獨(dú)唱，2個(gè)朗誦節(jié)目（順序已定），現(xiàn)節(jié)目組臨時(shí)決定加入一個(gè)學(xué)生紅歌合唱與一個(gè)教師紅歌合唱，則節(jié)目的不同排法一共有（

）種A.72 B.36 C.45 D.906.函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A2 B.3C.1 D.07.已知非零實(shí)數(shù)，，，“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為（）A.2 B.1 C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿(mǎn)分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知、是夾角為單位向量，．下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.在方向上的投影數(shù)量為10已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)最小正周期為2B.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11.已知曲線與直線分別相切于點(diǎn)，與直線分別相切于點(diǎn)，且相交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.設(shè)，集合，則______13.已知函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為橢圓與雙曲線的離心率，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_________四．解答題:本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）.15.在三角形中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求值；（2）若三角形為銳角三角形，求的取值范圍.16.設(shè)函數(shù)（1）分析的單調(diào)性和極值；（2）設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；17.我國(guó)自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科技研發(fā)團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)驗(yàn)研發(fā)，不斷地對(duì)該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達(dá)到領(lǐng)先水平，并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專(zhuān)利；（1）在研發(fā)過(guò)程中，對(duì)研發(fā)時(shí)間上x(chóng)(月)和該產(chǎn)品的厚度y(nm)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中1~7月的數(shù)據(jù)資料如下：x月1234567y（nm）99994532302421現(xiàn)用作為y關(guān)于x的回歸方程類(lèi)型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計(jì)該產(chǎn)品的最小厚度約為多少？（2）某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線，迫于競(jìng)爭(zhēng)壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣(mài)方案可供選擇：方案一：直接售賣(mài)，則每條生產(chǎn)線可賣(mài)6萬(wàn)元；方案二：先花22萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)技術(shù)專(zhuān)利并對(duì)老舊生產(chǎn)線進(jìn)行改造，使其達(dá)到生產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣(mài).已知在改造過(guò)程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，且相互獨(dú)立.若改造成功，則每條生產(chǎn)線可賣(mài)20萬(wàn)元；若改造失敗，則賣(mài)價(jià)為0萬(wàn)元.①設(shè)3條老舊生產(chǎn)線中改造成功的生產(chǎn)線條數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②請(qǐng)判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣(mài)方案可能更為有利？并說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：設(shè)，.；參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和縱截距的最小二乘法估計(jì)的計(jì)算公式為，．18.已知正項(xiàng)數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．19.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．（i）若，求異面直線和所成角的余弦值；（ii）是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)與折疊前的周長(zhǎng)之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．攀枝花七中2025屆高三上第四次診斷性考試一．選擇題：本題共8小題，每小題滿(mǎn)分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿(mǎn)分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】AD10.【答案】BC11.【答案】ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.【答案】013.【答案】14.【答案】四．解答題:本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）.15.【解析】【分析】（1）根據(jù)可得，利用兩角和的正切公式結(jié)合題目條件可得，根據(jù)的范圍可得結(jié)果.（2）由正弦定理得，由得，由三角形為銳角三角形可得的范圍，由此可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，即，∵，故，又，∴，∵，∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）和正弦定理得，∵為銳角三角形，∴，解得，∴，∴.16.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后注意到，進(jìn)而得到，，再驗(yàn)證充分性；【小問(wèn)1詳解】易知函數(shù)fx=xln令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減時(shí)，，在單調(diào)遞增，故的極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】對(duì)任意的，都有成立，即對(duì)任意的，恒成立，令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即，另一方面：當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以時(shí)單調(diào)遞增，故；故實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.【解析】【分析】（1）設(shè)，則，利用回歸直線公式可得，則關(guān)于的回歸方程為，可以估計(jì)該產(chǎn)品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm；（2）①由已知，可得，分別求出X取值時(shí)的概率，即可列出分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望；②分別計(jì)算兩種方案的收益，比較即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，所以，，所以，所以關(guān)于的回歸方程為，所以可以估計(jì)該產(chǎn)品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm．【小問(wèn)2詳解】X的取值為，因?yàn)槊織l生產(chǎn)線改造成功的概率均為，且相互獨(dú)立，所以，所以；；；；所以的分布列為0123所以．②當(dāng)實(shí)施方案一時(shí)，設(shè)3條生產(chǎn)線的賣(mài)價(jià)為萬(wàn)元，則；當(dāng)實(shí)施方案二時(shí)，設(shè)3條生產(chǎn)線的賣(mài)價(jià)為萬(wàn)元，則，所以的數(shù)學(xué)期望．因?yàn)?，所以該企業(yè)應(yīng)選擇方案二售賣(mài)可能更為有利．18.【解析】【分析】（1）由，求出，再利用與的關(guān)系即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前項(xiàng)和為，再比較與的大小關(guān)系即可證明.【小問(wèn)1詳解】由，則在正項(xiàng)數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，整理得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，符合要求，故．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，則.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，的周長(zhǎng)為8，離心率為，結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，求解即可；（2）（i）由（1）知，點(diǎn)，傾斜角為，故直線設(shè)為：，與聯(lián)立求得，，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原軸負(fù)半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再求異面直線和所成角的余弦值即可；（ii）根據(jù)題意得到，設(shè)折疊前，，直線與橢圓聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，在折疊后的圖形中建立空間直角坐標(biāo)系（原軸仍然為軸，原軸正半軸為軸，原軸負(fù)半軸為軸），設(shè)，在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，，，，得到，結(jié)合，得到的值．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，離心率為，所以，即，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，點(diǎn)，傾斜角為，故直線設(shè)為：，（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程：，可得，可得或，可得，（因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方）以及，再