專題14 垂直 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題14垂直考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分評(píng)卷人得分一、選擇題(共10題，每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023春·廣東深圳·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，，，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義、垂直的定義，逐個(gè)判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，即可得到答案；【規(guī)范解答】∵，，∴，∵平分，，∴；，故①正確；∵，，平分，∴，，，，∴，，故③正確；∴平分，故②正確；∵，，∴，∴，而題目中不能得到，故④錯(cuò)誤．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行性性質(zhì)得到一些等角．2．(本題2分)（2023秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知平分，平分，于，，則下列說法：①、②、③、④，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直的定義得出，即可判斷①，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出,，根據(jù)，得出，即可判斷，得出②正確；根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及角平分線的定義得出，即可判斷③，根據(jù)鄰補(bǔ)角得出，再根據(jù)角平分線的定義即可判斷④．【規(guī)范解答】∵于，，∴，故①正確；∵平分，平分，∴,，∵，∴∴，故②正確；∵，平分，∴，∵，∴，故③正確；∴，∵平分，∴，故④正確；故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．(本題2分)（2021春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，于D，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①；②與互相垂直；③點(diǎn)C到的垂線段是線段；④點(diǎn)A到的距離是線段的長(zhǎng)度；⑤線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離；⑥線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)D到的距離．A．3個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．0個(gè)【答案】A【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)，得到；②與不垂直；③點(diǎn)C到的垂線段是線段；④根據(jù)點(diǎn)到線段的距離是點(diǎn)到線段的垂線段的長(zhǎng)度，進(jìn)行判斷；⑤根據(jù)點(diǎn)到線段的距離是點(diǎn)到線段的垂線段的長(zhǎng)度，進(jìn)行判斷；⑥根據(jù)點(diǎn)到線段的距離是點(diǎn)到線段的垂線段的長(zhǎng)度，進(jìn)行判斷；【規(guī)范解答】解：①∵，∴；故①正確；②，與不垂直；故②錯(cuò)誤；③點(diǎn)C到的垂線段是線段；故③錯(cuò)誤；④點(diǎn)A到的距離是線段的長(zhǎng)度；故④正確；⑤線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離；故⑤正確；⑥線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離；故⑥錯(cuò)誤；綜上：正確的是：，共3個(gè)；故選A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查垂線段．熟練掌握垂線段的定義，以及垂線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到線段的距離，是解題的關(guān)鍵．4．(本題2分)（2022春·重慶銅梁·七年級(jí)?？计谀┫铝忻}是真命題的個(gè)數(shù)是（

）①內(nèi)錯(cuò)角相等；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③一個(gè)角的兩邊分別平行另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等；④若，則；⑤若，則．⑥從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【思路點(diǎn)撥】分別利用平行線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離定義以及平行線公理分別分析得出答案．【規(guī)范解答】解：兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故①說法錯(cuò)誤，是假命題，不合題意；過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，是真命題，故②符合題意；如果一個(gè)角的兩邊分別平行另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③是假命題，不合題意；，，則，正確，故④是真命題，符合題意；若則，故原命題錯(cuò)誤，故⑤是假命題，不符合題意；從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離，故⑥說法錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．∴真命題是②④共2個(gè)，故選B【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了真假命題以及平行線的性質(zhì)，垂直的判定方法，點(diǎn)到直線的距離定義，熟練掌握已經(jīng)學(xué)過的定理，性質(zhì)和概念是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點(diǎn)O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)α＝15°時(shí)，DC∥ABB．當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＝45°C．當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，共有10個(gè)位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【答案】B【思路點(diǎn)撥】設(shè)OC與AB交點(diǎn)為M，OD與AB交點(diǎn)為N，當(dāng)α＝15°時(shí)，可得∠OMN＝α＋∠A＝60°，可證DC∥AB；當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＋∠A＝90°，可得α＝30°；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，應(yīng)分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況；整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，其中DC邊可以與OB，OA，AB分別平行時(shí)，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5個(gè)位置，這5個(gè)位置再旋轉(zhuǎn)180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置．【規(guī)范解答】解：設(shè)OC與AB交點(diǎn)為M，OD與AB交點(diǎn)為N，當(dāng)α＝15°時(shí)，∠OMN＝α＋∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A說法正確，不符合題意；當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＋∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B說法錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，此時(shí)，，，∴；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線且不重合時(shí)，此時(shí)，，∴故C說法正確，不符合題意；整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，其中DC邊可以與OB，OA，AB分別平行時(shí)，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5個(gè)位置，這5個(gè)位置再旋轉(zhuǎn)180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以D說法正確不符合題意，故選B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．6．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）圖，C是直線AB上一點(diǎn)，CD⊥AB，EC⊥CF，則圖中互余的角的對(duì)數(shù)與互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)分別是（

）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直的定義、角互余與互補(bǔ)的定義即可得．【規(guī)范解答】，，，，，，，，，，則圖中互余的角的對(duì)數(shù)為4對(duì)；，，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，，，，又，，，，則圖中互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)為7對(duì)，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了垂直的定義、角互余與互補(bǔ)的定義，熟練掌握各定義是解題關(guān)鍵．7．(本題2分)（2023春·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題中：①相等的角是對(duì)頂角；②兩直線平行，同旁內(nèi)角相等；③不相交的兩條線段一定平行；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離，其中真命題的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離，即可一一判定．【規(guī)范解答】解：①相等的角不一定是對(duì)頂角，故該命題是假命題；②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故該命題是假命題；③不相交的兩條線段不一定平行，故該命題是假命題；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離，故該命題是真命題；故真命題有1個(gè)，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握和運(yùn)用各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，平分，，，，則下列結(jié)論：；平分；；其中正確的有(

)A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)、垂直的定義，判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，從而解答本題．【規(guī)范解答】解：，，，平分，，，故①正確；，，平分，，，，，，，故③正確；平分，故②正確；，，，而題目中不能得到，故④錯(cuò)誤；故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查平行線的性質(zhì)、垂直、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．(本題2分)（2022春·陜西安康·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，交AB于點(diǎn)P、交CD于點(diǎn)O，連接AO，OF平分，，，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠AOD=130°，結(jié)合OF平分∠AOD，從而得到∠AOF=65°；由平行線的性質(zhì)可得∠AOC=50°，再由∠AOE=90°-∠AOF=25°，從而可得∠AOE=∠COE；從∠DOF=∠AOF=65°，可求∠POF=90°-∠DOF=25°，從而可判斷；∠AOP=90°-∠POF-∠AOE=40°，而∠COE=25°，故可判斷．【規(guī)范解答】解：∵ABCD，∠BAO=50°，∴∠AOD=180°-∠BAO=130°，∠COA=∠BAO=50°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=∠DOF=∠AOD=65°，故①正確；∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠AOE=90°-∠AOF=25°，∴∠COE=∠COA-∠AOE=25°，∴∠AOE=∠COE，故②正確；∵OP⊥CD交AB于點(diǎn)P，∴∠POD=90°，∴∠POF=90°-∠DOF=25°，∴∠POF=∠COE，故③正確；∵∠AOP=∠EOF-∠POF-∠AOE=90°-25°-25°=40°，2∠COE=50°，∴∠AOP≠2∠COE，故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有①②③，共有3個(gè)．故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，垂線的定義，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．10．(本題2分)（2022春·甘肅酒泉·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線，點(diǎn)B在直線a上，點(diǎn)A，C在直線b上，且．若，則∠2的度數(shù)是（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】C【思路點(diǎn)撥】如圖，先根據(jù)∠1＝35°，AB⊥BC得出∠3的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵∠1＝35°，AB⊥BC，∴∠3＝180°-90°?35°＝55°，∵a//b,∴∠2=∠3=55°，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)，熟練掌握垂線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題(共9題，每題2分，共18分)11．(本題2分)（2021秋·江蘇蘇州·七年級(jí)?？计谀┮阎本€與直線相交于點(diǎn)，，垂足為．若，則的度數(shù)為____．【答案】【思路點(diǎn)撥】由對(duì)頂角相等可以得到的度數(shù)，可得．用，結(jié)論可得．【規(guī)范解答】解：，．，，．．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了垂線和對(duì)頂角的定義的應(yīng)用以及度分秒的換算，要注意由垂直得直角這一要點(diǎn)．12．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為直線上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的上方．將三角板繞點(diǎn)以每秒3°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周．則經(jīng)過______秒后，．【答案】10或70##70或10【思路點(diǎn)撥】分兩種情況討論，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，，∵，，∴，，∵將三角板繞點(diǎn)以每秒3°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴(秒)；如圖，，∵，，∴，，∵將三角板繞點(diǎn)以每秒3°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴旋轉(zhuǎn)角為，∴(秒)；故答案為：10或70．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了垂直的定義、角的和差等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，畫出圖形，利用垂直的定義求解即可．13．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分，于點(diǎn)O．若，則等于____________．【答案】##50度【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)頂角相等可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，最后根據(jù)平角的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴．∵OE平分∠BOC，∴．∵OF⊥OE，∴，∴．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角的度數(shù)問題、垂直定義以及角平分線的定義，掌握對(duì)頂角相等、平角的定義是解題的關(guān)鍵．14．(本題2分)（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知直線，點(diǎn)P，Q分別在AB，CD上，如圖所示，射線PB按順時(shí)針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按順時(shí)針方向每秒1°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．若射線PB，QC同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為30秒時(shí)，與的位置關(guān)系為_____．【答案】【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間分別可得，，設(shè)射線與的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差可得，由此即可得出答案．【規(guī)范解答】解：由題意，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為30秒時(shí)，，畫出圖形，設(shè)射線與的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作，，，，，，，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理推論、垂直，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線，相交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．當(dāng)直線繞著點(diǎn)在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，是的角平分線，若，則，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為______．【答案】【思路點(diǎn)撥】先由角平分線定義得：，由垂直定義和角的和差，再根據(jù)，得到與的關(guān)系，進(jìn)而得解．【規(guī)范解答】∵是的角平分線，，∴．∵，∴，∵，∴．∵，∴，∴，故答案是．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查垂直的定義，角平分線的定義，補(bǔ)角的定義，由，，推導(dǎo)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．16．(本題2分)（2023春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正確的結(jié)論是_______．【答案】①②③【規(guī)范解答】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分線，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，則①正確；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=∠CGE，則②正確；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且EG⊥CG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，則③正確；④無法證明CA平分∠BCG，則④錯(cuò)誤．故答案為①②③．17．(本題2分)（2022春·北京海淀·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列四個(gè)命題：①同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行；④從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段叫點(diǎn)到直線的距離．其中是真命題的是_____．【答案】①③##③①【思路點(diǎn)撥】分析是否為真命題，需要分別分析各個(gè)條件是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【規(guī)范解答】①過同一平面內(nèi)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故原命題是真命題，符合題意；②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；③兩條平行的直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，正確，是真命題，符合題意；④從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫點(diǎn)到直線的距離，故原命題是假命題，不符合題意；真命題是①③，故答案為：①③．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)與判定方法及點(diǎn)到直線的距離的定義．18．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)B為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，以為邊作等邊，以為底邊作等腰三角形，則的最小值為______．【答案】2【思路點(diǎn)撥】連接，證明，得，從而點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，再利用垂線段最短解決問題．【規(guī)范解答】解：連接,∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∴故答案為：【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題，證明點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．19．(本題2分)（2022春·廣西南寧·七年級(jí)南寧三中?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是一條射線，且，若過點(diǎn)作射線，使，則的度數(shù)為______．【答案】58°或122°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線定義可得∠COD＝90°，然后再由條件∠AOC＝32°可得∠BOD的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∵∠AOC＝32°，∴∠BOD＝180°?（90°?32°）＝122°或∠BOD＝180°?32°?90°＝58°，故答案為：58°或122°．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了垂線定義，關(guān)鍵是正確畫出圖形，分類討論．評(píng)卷人得分三、解答題(共62分)20．(本題6分)（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，且．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂直的定義得出，根據(jù)余角的定義得出，根據(jù)對(duì)頂角相等即可求解；（2）根據(jù)垂直的定義得出，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)，即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴,∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了垂直的定義，對(duì)頂角相等，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．21．(本題6分)（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，是的平分線，．(1)直接寫出圖中的補(bǔ)角；(2)若，求的度數(shù)；(3)試判斷是否平分，并說明理由．【答案】(1)，(2)(3)平分；理由見解析【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)角平分線的定義及補(bǔ)角定義可得答案；(2)根據(jù)垂直的定義可得答案；(3)由垂直的定義及補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：是的平分線，，，，的補(bǔ)角為，；（2）解：，．，．是的平分線，；（3）解：平分．理由如下：直線與相交于點(diǎn)O，．，．，，，即平分．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的是角平分線的定義、垂直的定義、余角與補(bǔ)角，掌握它們的概念與性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．22．(本題6分)（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知O為直線AB上一點(diǎn)，為直角，OF平分．(1)如圖1，若，則______；若，則______，和的數(shù)量關(guān)系為______．(2)當(dāng)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到如圖2的位置時(shí)，（1）中和的數(shù)量關(guān)系是否還成立？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，(2)成立，理由見解析【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)互余得到，再由平分，得到，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到，當(dāng)，根據(jù)互余得到，再由平分，得到，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到，所以有；（2）同（1），可得到．【規(guī)范解答】（1）解：是直角，，，平分．，；當(dāng)，，，，．故答案為：，，；（2）解：與的數(shù)量關(guān)系仍然成立．理由如下：設(shè)，是直角，，又平分．，，即．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的定義，垂線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)理清角的關(guān)系．23．(本題8分)（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，平分交射線于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，若平分，，，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線的定義得出，等量代換得出，根據(jù)平行線的判定定理即可得證；（2）過點(diǎn)E作交DA于點(diǎn)H，則，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)，，等量代換即可求解；（3）由平分，得出，設(shè)，則，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)垂直的定義得出，則，根據(jù)平分，得出，最后根據(jù)建立方程，解方程得出，進(jìn)而即可求解．【規(guī)范解答】（1）∵DE是的平分線，∴∵，∴∴（2）過點(diǎn)E作交DA于點(diǎn)H，∴∵，∴∴，∵，∴，∵，∴（3）解：∵平分，∴，設(shè)，則，∴，，，∵，∴∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平行線性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，一元一次方程的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)在直線上，與互補(bǔ)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的值；(3)若，設(shè)，求的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示的度數(shù))．【答案】(1)(2)(3)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得，即可算出的度數(shù)，根據(jù)平角的性質(zhì)可得的度數(shù)，由，即可算出的度數(shù)，再根據(jù)代入計(jì)算即可得出答案；（2）設(shè)，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得，即可算出的度數(shù)，根據(jù)平角的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)垂線的性質(zhì)，可得，即可算出的度數(shù)，由，代入計(jì)算即可算出的值；（3）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得，即可算出關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)平角的性質(zhì)可得關(guān)于的表達(dá)式，由，即可得出，代入計(jì)算即可得出，再根據(jù)代入計(jì)算即可得出答案．【規(guī)范解答】（1）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，；（2）解：設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角及角的計(jì)算，熟練掌握垂線的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角及角的計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．25．(本題8分)（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）直線相交于點(diǎn)于點(diǎn)，作射線，且在的內(nèi)部．(1)當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)；①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，若平分，請(qǐng)判斷是否平分，并說明理由；(2)若，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②平分，理由見解析(2)或【思路點(diǎn)撥】（1）①由，得出，根據(jù)平角的定義得出，根據(jù)即可求解；②由平分，得出，根據(jù)得出，即可得結(jié)論；（2）分當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)兩種情況，結(jié)合圖形分析即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：①∵于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；∴的度數(shù)為；②平分，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，即平分．（2）當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，如圖，記，則，∵，∴，∴①，∴②，得，；當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)，如圖，記，則，∵，∴，∴①，∴②，得，．綜上可知，或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，垂直的定義，與余角補(bǔ)角相關(guān)的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．26．(本題10分)（2022春·福建廈門·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)C在射線BE上，點(diǎn)F在線段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD．(1)當(dāng)時(shí)，求∠ABC；(2)點(diǎn)N是線段FD上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CD上一點(diǎn)，連接AC，F(xiàn)P．若CA為∠BCF的角平分線，∠NCD∠ACF，，探究直線CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得FQ＜FP．【答案】(1)(2)不存在【思路點(diǎn)撥】（1）利用CD平分∠FCE和∠F