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文檔簡介
2025屆海南省重點(diǎn)中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()A. B. C. D.2.復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為1 D.在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限3.已知中,角、所對的邊分別是,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件4.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.5.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)()A. B. C.2 D.6.將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種7.的展開式中的系數(shù)是-10,則實(shí)數(shù)()A.2 B.1 C.-1 D.-28.已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個球面上,則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A. B. C. D.9.設(shè),分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A,與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)B,過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為.若,則()A. B. C. D.12.若集合,,則A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則_________.14.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍有___________.15.已知函數(shù),令,,若,表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù),記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則_________16.若函數(shù)為偶函數(shù),則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.18.(12分)某商店舉行促銷反饋活動,顧客購物每滿200元,有一次抽獎機(jī)會(即滿200元可以抽獎一次,滿400元可以抽獎兩次,依次類推).抽獎的規(guī)則如下:在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎,獎金40元;若摸得的小球編號一次比一次小(如5,3,1),則獲得二等獎,獎金20元;其余情況獲得三等獎,獎金10元.(1)某人抽獎一次,求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設(shè)他不放棄每次抽獎機(jī)會,求他獲得的獎金恰好為60元的概率.19.(12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為4,且橢圓過點(diǎn),過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn).(1)求的周長;(2)求面積的最大值.20.(12分)已知函數(shù)存在一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為和,且,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底數(shù))21.(12分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)設(shè)是直線上的動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時,求面與面所成二面角的正弦值.22.(10分)第7屆世界軍人運(yùn)動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項(xiàng),329個小項(xiàng).共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運(yùn)會順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動,努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會的相關(guān)知識,并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運(yùn)會知識的知曉情況,在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計(jì)總體,設(shè),分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計(jì)算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動,市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎勵方案:得分低于的可以獲得1次抽獎機(jī)會,得分不低于的可獲得2次抽獎機(jī)會,在一次抽獎中,抽中價值為15元的紀(jì)念品A的概率為,抽中價值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者,記Y為他參加活動獲得紀(jì)念品的總價值,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.(參考數(shù)據(jù):;;.)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,模長公式和幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,求得,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限,故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化,其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為.3、D【解析】
由大邊對大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中,角、所對的邊分別是、,由大邊對大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷,考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查邏輯推理能力,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù),令其等于-10即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.8、B【解析】
計(jì)算求半徑為,再計(jì)算球體積和圓錐體積,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:設(shè)球半徑為,則,解得.故求體積為:,圓錐的體積:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐,球體積,圓錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.9、C【解析】
設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點(diǎn),則有,得到,即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,,所以是中點(diǎn),,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.10、D【解析】
先將所求問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.11、C【解析】
需結(jié)合拋物線第一定義和圖形,得為等腰三角形,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)作,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出,,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)作.由拋物線定義知,所以,,,,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題12、C【解析】
解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?,,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0.4【解析】
因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對稱性,即得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱,所.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性在求概率中的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、或【解析】
函數(shù)的零點(diǎn)方程的根,求出方程的兩根為,,從而可得或,即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)方程在區(qū)間的根,所以,解得:,,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn),所以或,即或.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,在求含絕對值方程時,要注意對絕對值內(nèi)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論.15、4【解析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,求得,,,進(jìn)而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),且,,可得,,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,所以,即,又由表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.16、1【解析】試題分析:由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù),.考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性.【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想,具有一定的綜合性和靈活性,屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化思想,將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù),然后再利用特殊與一般思想,?。⒔獯痤}:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,帶入公式求解即可.【詳解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四邊形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,為的中點(diǎn),∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,.∴,,.設(shè)為平面的法向量,則,得,令,則.由題意知為平面的一個法向量,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題第一問考查線線垂直,先證線面垂直時解題關(guān)鍵,第二問考查二面角,建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.18、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎金恰好為60元,可能是三次二等獎,也可能是一次一等獎,兩次三等獎,然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機(jī)變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎機(jī)會,設(shè)恰好獲得60元為事件A,因?yàn)?0=20×3=40+10+10,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應(yīng)的概率,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).19、(1)12(2)【解析】
(1)根據(jù)焦距得焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)定義;(2)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓,結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積,即可求解最大值.【詳解】(1)設(shè)橢園的焦距為,則,故.則橢圓過點(diǎn),由橢圓定義知:,故,因此,的周長;(2)由(1)知:,橢圓方程為:設(shè),則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點(diǎn)處取等,故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)關(guān)系求三角形面積的最值,涉及韋達(dá)定理的使用,綜合性強(qiáng),計(jì)算量大.20、(1);(2).【解析】
(1)首先對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)存在一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)求出a的取值范圍;(2)首先求出的值,再根據(jù)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)槭牵?,若有兩個極值點(diǎn),則方程一定有兩個不等的正根,設(shè)為和,且,所以解得,此時,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故是極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn),故實(shí)數(shù)a的取值范圍是;(2)由(1)知,,,則,,,由,得,即,令,考慮到,所以可化為,而,所以在上為增函數(shù),由,得,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式,屬于難題.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,根據(jù)菱形的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可;(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以確定點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的
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