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文檔簡介
西安市2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.2.的展開式中有理項有()A.項 B.項 C.項 D.項3.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A. B. C. D.4.袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球,從袋子中一次性摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩個號碼的和是3的倍數(shù),則獲獎,若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎的概率是()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前n項和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.6.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.57.如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.8.若,則“”的一個充分不必要條件是A. B.C.且 D.或9.以下三個命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項指標(biāo)檢測,這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說,越小,判斷“與有關(guān)系”的把握越大;其中真命題的個數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.010.已知,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.11.()A. B. C.1 D.12.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.19二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如果拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離是6,那么______.14.若,i為虛數(shù)單位,則正實數(shù)的值為______.15.如圖,在等腰三角形中,已知,,分別是邊上的點,且,其中且,若線段的中點分別為,則的最小值是_____.16.某高校組織學(xué)生辯論賽,六位評委為選手成績打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示,若去掉一個最高分,去掉一個最低分,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求證:對于任意,.18.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時,;(2)若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點,求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,證明:20.(12分)已知橢圓的短軸長為,左右焦點分別為,,點是橢圓上位于第一象限的任一點,且當(dāng)時,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓上點與點關(guān)于原點對稱,過點作垂直于軸,垂足為,連接并延長交于另一點,交軸于點.(?。┣竺娣e最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點為極點、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若點在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知,若點在直線上,點在曲線上,且的最小值為,求的值.22.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時圓T的方程;(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標(biāo)原點,求證:為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.2、B【解析】
由二項展開式定理求出通項,求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù),即可求解.【詳解】,,當(dāng),,,時,為有理項,共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征,熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由點求得的值,化簡解析式,根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法,求得的對稱軸,由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令,得令,得故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)求參數(shù),考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)對稱軸的求法,屬于中檔題.4、C【解析】
先確定摸一次中獎的概率,5個人摸獎,相當(dāng)于發(fā)生5次試驗,根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨立重復(fù)試驗的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個球中摸出2個,共有種結(jié)果,兩個球的號碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎的概率是,5個人摸獎,相當(dāng)于發(fā)生5次試驗,且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎,恰好有2人獲獎的概率是,故選:.【點睛】本題主要考查了次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率,考查獨立重復(fù)試驗的概率,解題時主要是看清摸獎5次,相當(dāng)于做了5次獨立重復(fù)試驗,利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.5、C【解析】
首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選:.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算,意在考查學(xué)生的計算能力.7、D【解析】
先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個支點所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C.9、C【解析】
根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),可判斷②;根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無明顯差異,故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;②兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;兩個隨機變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0;故②為真命題;③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說,越小,“與有關(guān)系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗等知識點,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),可得,再利用對數(shù)運算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】依題意,函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱,則,即,又,所以,.故選:B.【點睛】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算,同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
計算,故,解得答案.【詳解】當(dāng)時,,即,且.故,,故.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算,意在考查學(xué)生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出拋物線的準(zhǔn)線方程,然后根據(jù)點到準(zhǔn)線的距離為6,列出,直接求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為,由題意得,解得.∵點在拋物線上,∴,∴,故答案為:.【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì),即可得答案.【詳解】由已知可得:,,解得.故答案為:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì),考查推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)條件及向量數(shù)量積運算求得,連接,由三角形中線的性質(zhì)表示出.根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積公式表示出,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】根據(jù)題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數(shù)量積運算可知線段的中點分別為則由向量減法的線性運算可得所以因為,代入化簡可得因為所以當(dāng)時,取得最小值因而故答案為:【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,向量的線性運算及模的求法,二次函數(shù)最值的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】
先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù),然后可得結(jié)果.【詳解】剩下的四個數(shù)為83,85,87,95,且這四個數(shù)的平均數(shù),這四個數(shù)的中位數(shù)為,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【點睛】本題主要考查莖葉圖的識別和統(tǒng)計量的計算,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),(Ⅱ)見解析【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程求出切線的斜率及切點,利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點也在曲線上,列出方程組,求出,值;(2)首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),即將不等式右邊式子左移,得,構(gòu)造函數(shù)并判斷其符號,這里應(yīng)注意的取值范圍,從而證明不等式.【詳解】解:(1)由于直線的斜率為,且過點,故即解得,.(2)由(1)知,所以.考慮函數(shù),,則.而,故當(dāng)時,,所以,即.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問題,以及不等式證明問題,考查了分析及解決問題的能力,其中,不等式問題中結(jié)合構(gòu)造函數(shù)實現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問題是關(guān)鍵.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)要證明,只需證明即可;(2)有3個根,可轉(zhuǎn)化為有3個根,即與有3個不同交點,利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可.【詳解】(1)令,則,當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,所以,即,所以.(2)由已知,,依題意,有3個零點,即有3個根,顯然0不是其根,所以有3個根,令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,作出的圖象,易得.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點個數(shù)問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.19、(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)解析式,先求得導(dǎo)函數(shù),由是函數(shù)的極值點可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域,并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時,.代入函數(shù)解析式放縮為,代入證明的不等式可化為,構(gòu)造函數(shù),并求得,由函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函數(shù)的最小值,由對數(shù)式變形化簡可證明,即成立,原不等式得證.【詳解】(1)函數(shù)可求得,則解得所以,定義域為,在單調(diào)遞增,而,∴當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,此時是函數(shù)的極小值點,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為(2)證明:當(dāng)時,,因此要證當(dāng)時,,只需證明,即令,則,在是單調(diào)遞增,而,∴存在唯一的,使得,當(dāng),單調(diào)遞減,當(dāng),單調(diào)遞增,因此當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,,,故,從而,即,結(jié)論成立.【點睛】本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù),并根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,屬于難題.20、(1);(2)(?。?;(ⅱ)證明見解析.【解析】
(1)由,解方程組即可得到答案;(2)(?。┰O(shè),,則,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)設(shè)直線斜率為,直線方程為,聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo),再利用兩點的斜率公式計算即可.【詳解】(1)設(shè),由,得.將代入,得,即,由,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,則,(?。┮字獮榈闹形痪€,所以,所以,又滿足,所以,得,故,當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號,所以面積最大值為.(ⅱ)記直線斜率為,則直線斜率為,所以直線方程為.由,得,由韋達(dá)定理得,所以,代入直線方程,得,于是,直線斜率,所以直線與斜率之積為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及到橢圓中的最值及定值問題,在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時,一般會用到根與系數(shù)的關(guān)系,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力,是一道有一定難度的題.21、(
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