蘇州市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期末模擬卷03（含詳細(xì)答案）

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期末模擬卷03（考試時間：120分鐘試卷滿分：130分）一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程的根是（

）A． B．C．， D．，2．一張圓桌旁有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個座位上，則A與B不相鄰而坐的概率為（

）A． B． C． D．3．小明調(diào)查了班里40名同學(xué)一周的體育鍛煉情況，結(jié)果如圖所示．該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．16小時15小時 B．8小時、9小時 C．10小時、小時 D．8小時、小時4．如圖，是的直徑，，點D是上一點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系網(wǎng)格中，點都在格點上，過點的拋物線可能經(jīng)過的點是（

）A．點 B．點 C．點 D．點6．如圖，在中，，，D為上一點，且，在上取一點E，若以A、D、E為頂點的三角形與相似，則的長為（）A．8 B． C．8或 D．8或二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。7．如圖，樂器上的一根琴弦，兩個端點固定在樂器板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點是靠近點A的黃金分割點，則之間的距離為_______．8．飛機(jī)著陸后滑行的距離與滑行的時間之間的關(guān)系式為，則飛機(jī)滑行_____停下．9．已知O為的外心，，則_______．10．已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是_______．11．在某次演講比賽中，演講最終得分按照“演講內(nèi)容占”、“語言表達(dá)占”、“形象風(fēng)度占”進(jìn)行計算，小亮同學(xué)這三項的得分依次為90，86，95，則小亮同學(xué)的最終得分是_______分．12．如圖所示的拋物線過原點，將該拋物線向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為_______．13．如圖，某圓錐形山峰，圓錐底面半徑為，母線長為，欲從A處修一條最近的盤山公路到景點B（B位于母線的中點處），那么這條盤山公路的長度是_______．14．如圖，在中，，，，的半徑為2，點是邊上的動點，過點作的一條切線（點為切點），則線段長的最小值為_______．15．定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)叫作一次函數(shù)的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)叫作二次函數(shù)的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且）．若一次函數(shù)的“滋生函數(shù)”是，則二次函數(shù)的“本源函數(shù)”是_______．16．如圖，正方形的邊長為，以AB邊上的動點為圓心，為半徑作圓，將沿翻折至，若過一邊上的中點，則的半徑為_______．三、解答題（本題共11小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸）17．（本小題8分）解方程：(1)；(2)．18．（本小題8分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，且它的頂點坐標(biāo)是．(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)判斷點是否在這條拋物線的圖像上．19．（本小題6分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明“．小李同學(xué)購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他將A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四張紀(jì)念郵票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗勻．(1)小李從中隨機(jī)抽取一張郵票，抽中是B（寒露）的概率是．(2)小李先從中隨機(jī)抽取一張郵票，記下內(nèi)容后，正面朝下放回，重新洗勻后再隨機(jī)抽取一張郵票．請用樹狀圖或列表的辦法求小李兩次抽取的郵票中至少有一張是D（立秋）的概率．20．（本小題8分）的迅猛發(fā)展在多個領(lǐng)域影響著我們的生活．某校七、八年級利用課余時間舉辦了人工智能知識競賽活動，并從七、八年級各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生代表的成績（滿分：5分）進(jìn)行了整理、描述和分析，相關(guān)信息如下．a(chǎn)．七年級10名學(xué)生代表成績的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個得分的人數(shù)均不少于1人．b．七年級10名學(xué)生代表成績的條形統(tǒng)計圖（尚不完整），八年級10名學(xué)生代表成績的扇形統(tǒng)計圖及七、八年級學(xué)生代表成績的平均數(shù)與方差對比表格如下．請根據(jù)以上信息，詳解下列問題．(1)學(xué)生代表成績比較整齊的是年級．（填“七”或“八”）(2)補全條形統(tǒng)計圖．(3)若共有400名學(xué)生參與競賽，根據(jù)七年級和八年級學(xué)生代表的成績，請估計參與競賽的學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)．21．（本小題8分）如圖，在和中，，．(1)求證：；(2)若，，求的長．22．（本小題8分）某商場將進(jìn)貨單價為20元的日用商品以銷售單價35元售出，平均每月能售出600個．調(diào)查表明：這種商品的銷售單價每上漲1元，其銷售量就將減少10個，為了實現(xiàn)平均每月14000元的銷售利潤，商場決定采取調(diào)控價格的措施，擴(kuò)大銷售量，減少庫存，這種商品的銷售單價應(yīng)定為多少元？23．（本小題8分）如圖是小明家新房客廳地面，地上鋪了大小相同的矩形地板磚，小明的媽媽想在靠墻處擺一組沙發(fā)，沙發(fā)的長是客廳長的三分之一，為了美觀，沙發(fā)必須擺在矩形的中央，于是小明媽媽要把沙發(fā)擺放到的三等分點處．當(dāng)時媽媽沒有直尺，不能度量，聰明的小明靈機(jī)一動，他用一根繩索連接，交于點P，則P即是的三等分點．(1)請仿照小明的方法，找出線段的另一個三等分點；(2)請你證明：P是的三等分點．24．（本小題8分）已知二次函數(shù)（是常數(shù)）．(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與軸一定有兩個交點；(2)若點在該二次函數(shù)的圖象上，且點在第四象限，該二次函數(shù)的圖象與軸交于點，求點與點之間的距離．25．（本小題8分）閱讀與思考射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理，定理內(nèi)容為：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．如圖1，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過程（部分）：是斜邊上的高，．，，（依據(jù)），，即．任務(wù)一：（1）材料中的依據(jù)是指__________________；（2）選擇②或③其中一個定理加以證明；任務(wù)二：應(yīng)用：（3）如圖2，正方形中，點O是對角線的交點，點E在上，過點C作于點F，連接，證明：．26．（本小題9分）如圖，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為．(1)求k的值；(2)點M是線段上的動點，將點M向上平移（）個單位得到點N，若點N在二次函數(shù)的圖象上，求h的最大值；(3)在（2）的條件下，若，線段與二次函數(shù)的圖象有公共點，求點M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．27．（本小題9分）新定義：若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，則稱這個三角形為比例三角形．例如：三邊的長分別為，，．因為，所以是比例三角形．【問題提出】（1）已知是比例三角形，，，求的長；【問題探究】（2）如圖1，P是矩形的邊上的一動點，平分，交邊于點Q，．①求證：；②求證：是比例三角形．【問題延伸】（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)，時，點C與點Q能否重合？若能，求出的值；若不能，請說明理由．一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程的根是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【詳解】解：由得，∴或，解得，，故選：D．2．一張圓桌旁有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個座位上，則A與B不相鄰而坐的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，根據(jù)圖可知：以B，C，D隨機(jī)而坐的結(jié)果數(shù)共有6種，其中A與B不相鄰而坐的結(jié)果有2種，∴A與B不相鄰而坐的概率為：．故選：A．3．小明調(diào)查了班里40名同學(xué)一周的體育鍛煉情況，結(jié)果如圖所示．該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．16小時15小時 B．8小時、9小時 C．10小時、小時 D．8小時、小時【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，可知這一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是8，即該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8；將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，處于第20，21位兩個數(shù)分別為9，9，所以，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．故選：B．4．如圖，是的直徑，，點D是上一點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，∵是的直徑，∴，又∵，由圓周角定理可得：，∴，故選：C．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系網(wǎng)格中，點都在格點上，過點的拋物線可能經(jīng)過的點是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】D【詳解】解：∵拋物線過點，∴，即，∵，∴，A.若拋物線過點，則，得，與矛盾，故選項A不符合題意；B.若拋物線過點，則，與不相符，故選項B不符合題意；C.若拋物線過點，則，得，與矛盾，故選項C不符合題意；D.若拋物線過點，則，得，代入，得，與相符，故選項D符合題意；故選：D．6．如圖，在中，，，D為上一點，且，在上取一點E，若以A、D、E為頂點的三角形與相似，則的長為（）A．8 B． C．8或 D．8或【答案】C【詳解】解：當(dāng)時，如圖1，，，，，，，；當(dāng)時，如圖2，，，，，，．綜上，的長為8或．故選：C．二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。7．如圖，樂器上的一根琴弦，兩個端點固定在樂器板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點是靠近點A的黃金分割點，則之間的距離為．【答案】【詳解】解：弦，點是靠近點的黃金分割點，設(shè)，則，，解方程得，，點是靠近點的黃金分割點，則，，之間的距離為，故答案為：．8．飛機(jī)著陸后滑行的距離與滑行的時間之間的關(guān)系式為，則飛機(jī)滑行停下．【答案】20【詳解】解：，∴當(dāng)時間為時，滑行了，∴飛機(jī)滑行了停下，故答案為：．9．已知O為的外心，，則．【答案】或【詳解】解：當(dāng)圓心與點在的同側(cè)時，如圖，；當(dāng)圓心與點在的兩側(cè)時，如圖，延長交于點，連接，，．四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，．．綜上，或．故答案為：或10．已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是．【答案】【詳解】解：∵是方程的兩根，∴，，，即∴，故答案為：．11．在某次演講比賽中，演講最終得分按照“演講內(nèi)容占”、“語言表達(dá)占”、“形象風(fēng)度占”進(jìn)行計算，小亮同學(xué)這三項的得分依次為90，86，95，則小亮同學(xué)的最終得分是分．【答案】【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵．利用加權(quán)平均數(shù)公式求解即可．【詳解】解：小亮同學(xué)的最終得分是：（分）．故答案為：．12．如圖所示的拋物線過原點，將該拋物線向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】【詳解】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，∴設(shè)圖中二次函數(shù)解析式為：，∵二次函數(shù)圖象過原點，∴把代入得：，解得：，∴圖中二次函數(shù)解析式為y=x-1∴將該拋物線向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．故答案為：．13．如圖，某圓錐形山峰，圓錐底面半徑為，母線長為，欲從A處修一條最近的盤山公路到景點B（B位于母線的中點處），那么這條盤山公路的長度是．【答案】【詳解】解：如圖，將圓錐展開得展開圖，為的中點，連接，則是這條盤山公路的長度，設(shè)展開圖的圓心角為．∴，∵圓錐的底面半徑是，∴的長為，∴，解得：，∴，故答案為：．14．如圖，在中，，，，的半徑為2，點是邊上的動點，過點作的一條切線（點為切點），則線段長的最小值為．【答案】【詳解】解：連接，如圖所示，∵是的切線，∴，根據(jù)勾股定理知：，∴當(dāng)時，線段最短，∵在中，，∴，∴，即，∵，∴，故答案為：．15．定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)叫作一次函數(shù)的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)叫作二次函數(shù)的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且）．若一次函數(shù)的“滋生函數(shù)”是，則二次函數(shù)的“本源函數(shù)”是．【答案】【詳解】解：由題意得，解得，∴函數(shù)的本源函數(shù)是．故答案為：．16．如圖，正方形的邊長為，以AB邊上的動點為圓心，為半徑作圓，將沿翻折至，若過一邊上的中點，則的半徑為．【答案】或或【詳解】設(shè)的半徑為，當(dāng)經(jīng)過的中點，即經(jīng)過的中點，∴，當(dāng)經(jīng)過的中點，則，∴，，在中，∴解得：（負(fù)值舍去）當(dāng)經(jīng)過的中點，即經(jīng)過的中點，設(shè)的中點為，∴∴解得：綜上所述，半徑為、、故答案為：或或．三、解答題（本題共11小題，共88分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸）17．（本小題8分）解方程：(1)； (2)．【詳解】（1）解：，，，，……1分方程有兩個不相等的實數(shù)根，……2分，，．……4分（2）解：，，……6分或，……7分解得，．……8分18．（本小題8分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，且它的頂點坐標(biāo)是．(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)判斷點是否在這條拋物線的圖像上．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的頂點式為……1分將點代入得，解得：，……3分∴拋物線的解析式為；……4分（2）解：當(dāng)時，，……6分∴點不在這條拋物線的圖象上．……8分19．（本小題6分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明“．小李同學(xué)購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他將A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四張紀(jì)念郵票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗勻．(1)小李從中隨機(jī)抽取一張郵票，抽中是B（寒露）的概率是．(2)小李先從中隨機(jī)抽取一張郵票，記下內(nèi)容后，正面朝下放回，重新洗勻后再隨機(jī)抽取一張郵票．請用樹狀圖或列表的辦法求小李兩次抽取的郵票中至少有一張是D（立秋）的概率．【詳解】（1）解：一共有4張郵票，符合題意的有1張，所以，抽中B的概率是．故答案為：；……2分（2）畫樹狀圖如下：……5分一共有16種可能出現(xiàn)的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，符合題意的有7種，所以兩次抽取郵票中至少有一張是D的概率是．……6分20．（本小題8分）的迅猛發(fā)展在多個領(lǐng)域影響著我們的生活．某校七、八年級利用課余時間舉辦了人工智能知識競賽活動，并從七、八年級各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生代表的成績（滿分：5分）進(jìn)行了整理、描述和分析，相關(guān)信息如下．a(chǎn)．七年級10名學(xué)生代表成績的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個得分的人數(shù)均不少于1人．b．七年級10名學(xué)生代表成績的條形統(tǒng)計圖（尚不完整），八年級10名學(xué)生代表成績的扇形統(tǒng)計圖及七、八年級學(xué)生代表成績的平均數(shù)與方差對比表格如下． 請根據(jù)以上信息，詳解下列問題．(1)學(xué)生代表成績比較整齊的是年級．（填“七”或“八”）(2)補全條形統(tǒng)計圖．(3)若共有400名學(xué)生參與競賽，根據(jù)七年級和八年級學(xué)生代表的成績，請估計參與競賽的學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)．【詳解】（1）解：∵，∴學(xué)生代表成績比較整齊的是七年級．故答案為：七．……2分（2）解：∵七年級10名學(xué)生代表成績的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個得分的人數(shù)均不少于1人，∴2分和3分的人數(shù)分別有1人和4人，……4分補全條形統(tǒng)計圖如下：……6分（3）解：抽取的八年級學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)有（人），（人），答：估計參與競賽的學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)有160人．……8分21．（本小題8分）如圖，在和中，，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴．……4分（2）由（1）得，，∵，∴，∵，∴．……8分22．（本小題8分）某商場將進(jìn)貨單價為20元的日用商品以銷售單價35元售出，平均每月能售出600個．調(diào)查表明：這種商品的銷售單價每上漲1元，其銷售量就將減少10個，為了實現(xiàn)平均每月14000元的銷售利潤，商場決定采取調(diào)控價格的措施，擴(kuò)大銷售量，減少庫存，這種商品的銷售單價應(yīng)定為多少元？【詳解】解：設(shè)這種商品的售價為x元，依題意得……1分，……4分解得：，，……6分因需擴(kuò)大銷售量，減少庫存，所以應(yīng)舍去，∴．……7分答：這種商品的銷售單價應(yīng)定為55元．……8分23．（本小題8分）如圖是小明家新房客廳地面，地上鋪了大小相同的矩形地板磚，小明的媽媽想在靠墻處擺一組沙發(fā)，沙發(fā)的長是客廳長的三分之一，為了美觀，沙發(fā)必須擺在矩形的中央，于是小明媽媽要把沙發(fā)擺放到的三等分點處．當(dāng)時媽媽沒有直尺，不能度量，聰明的小明靈機(jī)一動，他用一根繩索連接，交于點P，則P即是的三等分點．(1)請仿照小明的方法，找出線段的另一個三等分點；(2)請你證明：P是的三等分點．【詳解】（1）解：如圖，為線段的另一個三等分點；……4分（2）證明：由題意得，四邊形是矩形，，，，，，P是的三等分點．……8分24．（本小題8分）已知二次函數(shù)（是常數(shù)）．(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與軸一定有兩個交點；(2)若點在該二次函數(shù)的圖象上，且點在第四象限，該二次函數(shù)的圖象與軸交于點，求點與點之間的距離．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，∴無論為何值，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，二次函數(shù)（是常數(shù)）的圖象與軸有兩個交點；……4分（2）點在二次函數(shù)的圖象上，，整理得，解得或∵點在第四象限，，點坐標(biāo)為，二次函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時，∴點坐標(biāo)為∴點與點之間的距離為．……8分25．（本小題8分）閱讀與思考射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理，定理內(nèi)容為：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．如圖1，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過程（部分）：是斜邊上的高，．，，（依據(jù)），，即．任務(wù)一：（1）材料中的依據(jù)是指__________________；（2）選擇②或③其中一個定理加以證明；任務(wù)二：應(yīng)用：（3）如圖2，正方形中，點O是對角線的交點，點E在上，過點C作于點F，連接，證明：．【詳解】（1）是斜邊上的高，．，，（兩角分別相等的兩個三角形相似），，即，故答案為：兩角分別相等的兩個三角形相似；……3分（2）選擇②，證明：，，，，，；或選擇③．證明：