江蘇省四市十一校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期12月階段聯(lián)測試題 數(shù)學（含答案）

1PAGE第10頁2024～2025學年度第一學期階段聯(lián)測高二數(shù)學試題（考試時間120分鐘總分150分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線與垂直，則（）A0 B.1 C.2 D.2.雙曲線焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.3.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列的（）A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項4.以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是（）A. B.C. D.5.已知點，拋物線上有一點，則的最小值是（）A.10 B.8 C.5 D.46.“天問一號”是執(zhí)行中國首次火星探測任務的探測器，該名稱源于屈原長詩《天問》，寓意探求科學真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無止境．圖（1）是“天問一號”探測器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個焦點．過橢圓上的點P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問一號”在點P時對火星的觀測角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個點處，對火星的觀測角最大的是（）A.Q B.R C.S D.T7.將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為（）A. B. C. D.8.已知是圓一條弦，，是的中點.當弦在圓上運動時，直線上總存在兩點，，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.全對得6分，部分對得部分分.9.已知曲線，下列說法正確的是（）A.若，則曲線C為橢圓B.若，則曲線C為雙曲線C.若曲線C為橢圓，則其長軸長一定大于2D.若曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，則其離心率小于大于110.已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（）A. B.中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列C.中存在連續(xù)三項成等比數(shù)列 D.數(shù)列的前項和11.已知橢圓的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，是橢圓上異于，的一點，且（為坐標原點），記，的斜率分別為，，設為的內心，記，，的面積分別為，，，則（）A. B.的離心率為 C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.下列條件中，哪兩個條件組合一定能得到拋物線的標準方程為的是______（填序號）（寫出一個正確答案即可）.①焦點在軸上；②焦點在軸上；③拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為；④焦點到準線的距離為；⑤由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為.13.已知數(shù)列滿足，，且.若是數(shù)列的前項積，求的最大值為______.14.如圖所示，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點F，過點F作直線l交雙曲線C于兩點，過點F作直線l的垂線交雙曲線C于點G，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知雙曲線的離心率，實軸長.（1）求的方程；（2）過右焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，求；16.在等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和；17.如圖，圓內有一點，為過點且傾斜角為的弦.（1）當時，求的長；（2）是否存在弦被點平分？若存在，寫出直線的方程；若不存在，請說明理由.（3）是過點另一條弦，當與始終保持垂直時，求的最大值.18.已知橢圓的一個焦點，兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.（1）求橢圓的標準方程;（2）過焦點作軸的垂線交橢圓上半部分于點，過點作橢圓的弦在橢圓上且直線的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.（3）在第（2）問的條件下，當面積最大時，求直線MN的方程.19.若數(shù)列滿足（為正整數(shù)，為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差.（1）已知數(shù)列，的通項公式分別為：，，判斷上述兩個數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明理由；（2）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列為常數(shù)列.（3）若數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在（1）的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的項構成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項的和.2024～2025學年度第一學期階段聯(lián)測高二數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.全對得6分，部分對得部分分.9.【答案】BCD10.【答案】ABD11.【答案】ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】①③（答案不唯一）13.【答案】14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得、，即可得雙曲線方程；（2）由題設可得，聯(lián)立雙曲線方程，應用韋達定理及弦長公式求.【小問1詳解】由題設，又，所以，則.【小問2詳解】由右焦點為，則，聯(lián)立雙曲線方程，得，整理得，顯然，則，，所以.16.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的概念，建立方程組，求得公比與首項，可得答案；（2）根據(jù)對數(shù)的運算律，可得數(shù)列的通項公式，結合等差數(shù)列的概念，可得答案；【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，化簡可得，整理可得，由，則，由方程解得，由，則.由數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則.【小問2詳解】由，則，，由數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則.17.【解析】【分析】（1）應用點斜式寫出直線方程，再應用點線距離和弦長公式求相交弦長；（2）假設存在，當弦被點平分時，點是的中點，根據(jù)已知及點斜式寫出符合要求的直線方程即可；（3）記點到的距離分別為，有，根據(jù)弦長公式有，應用基本不等式求目標式的最大值.【小問1詳解】當時，直線為，故，由圓的圓心為原點且半徑為，則圓心到距離為，所以.【小問2詳解】假設存在，當弦被點平分時，點是的中點，連接，則，故，又，即，所以直線為，則.【小問3詳解】記點到的距離分別為，有，又，，當且僅當時等號成立，綜上，的最大值為.18.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，易得的值，進而分析可得，由公式求出，代入橢圓方程即得；（2）根據(jù)題意，設直線PM方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關系得的坐標，利用PM與PN的關系，得的坐標，然后利用斜率的計算公式化簡計算即得.（3）由原點到直線的距離及弦長公式可求出面積，利用二次函數(shù)求出最值即得直線的方程.【小問1詳解】由題意可知橢圓的半焦距，由兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形得，，故橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由已知得，由圖知，直線的傾斜角互補，即直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，可設直線的方程為，代入，消去得.設，所以，可得，因直線PM的斜率與PN的斜率互為相反數(shù)，所以在上式中以代替，可得，所以直線的斜率，即直線的斜率為定值.【小問3詳解】由（1）已得，,可設直線的方程為：，代入，整理得：，則，即，設，則，于是，，點到直線的距離為，則的面積為：，因，則，故當時，取得最大值，此時直線的方程為,即和.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)等方差數(shù)列的定義，即可判斷；（2）根據(jù)等差數(shù)列及等方差數(shù)列的定義即可求解；（3）首先說明是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式，即可求解．【小問1詳解】因為常數(shù))，所以數(shù)列為等方差數(shù)列，1為公方差；因，所以數(shù)列不