數(shù)學-廣東省清遠市清新區(qū)四校2025屆高三12月期末考試題和答案

00清新區(qū)2024-2025學年高三上學期12月期末四校聯(lián)考2.復數(shù)a+bi(a，b∈R)等于它共軛復數(shù)的倒數(shù)的充要條件是()225A.4B.C.8D.544.拋物線C:y=-4x2的準線方程為()5.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，PF1丄PF2，=，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為9b2，則C的離心率為()A.B.C.D.6.過圓x2+y2=4上一點P作圓O:x2+y2=m2(m>0)的兩條切線，切點分別為A，B，若上APB=A.B.C.17.甲、乙、丙等5名同學參加政史地三科知識競賽，每人隨機選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為()A.B.C.D.8.已知函數(shù)y=sin在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則w的取值范圍是()D.9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是面AB1，面B1D1，面DA1的中心，則下列結論正確的A.NP∥DC1B.MNⅡ平面ACPC.D1C丄平面MNPD.PM與BC1所成的角是60。10.下列結論正確的是()2a22的最大值為2a22的最大值為222222yA若圓C1與圓C2無公共點，則0<r<4.B.當r=5時，兩圓公共弦所在直線方程為6x-8y-1=0C.當r=2時，則PQ斜率的最大值為-D.當r=3時，過P點作圓C2兩條切線，切點分別為A,B，則DAPB不可能等于則下列結論正確的是()C.當a>e時，曲線y=f(x)與曲線y=g(x)有且只有兩條公切線D.若h(x)為單調(diào)函數(shù)，則e-e≤a<113.第二屆廣東自由貿(mào)易試驗區(qū)一聯(lián)動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨立，且概率均為，記X為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則D(X)=.14.函數(shù)f(x)=log-a(a∈R)是奇函數(shù)，則f(4a)=.λ;+).(λa-)<0成立的一個充分.16.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB=4，A1B=BC1，BB1丄BD1，且二面角B1-BD1-C1的正切值為-．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱ABCD-A1B1C1D117.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知bcosC+ccosB+(2)若S△ABC=、F,求a的最小值.(2)設cn=，數(shù)列的前n項和為Tn，求滿足的最大整數(shù)n的值.19.在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=J5，QC=3，（2）求直線BQ與平面QCD夾角的正弦值.20.甲、乙兩隊進行籃球比賽，采取五場三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”，設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立.（1）在比賽進行4場結束的條件下，求甲隊獲勝的概率；（2）賽事主辦方需要預支球隊費用a萬元．假設主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定a的值，才能使其獲利（獲利=總收入-預支球隊費用）的期望高于21.拋物線C1：x2=4y，雙曲線且離心率 作C1的切線，其斜率為-.2過曲線C2下支上的一點（1）求C2的標準方程；（2）直線l與C2交于不同的兩點P，Q，以PQ為直徑的圓過點N，過點N作直線l的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點D的坐標；若不存在，請說明理由.（1）求雙曲線C的方程；（2）設過點(0,2)的直線l與曲線C交于M,N兩點，問在y軸上是否存在定點P，使得r.為常數(shù)？若存在，求出點P的坐標及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由.清新區(qū)2024-2025學年高三上學期12月期末四校聯(lián)考【答案】D【解析】【分析】先求得集合B={0,1}，再根據(jù)交集定義得解.故選：D.2.復數(shù)a+bi(a，b∈R)等于它共軛復數(shù)的倒數(shù)的充要條件是()22【答案】B【解析】故選B.5A.4B.C.8D.54第2頁/共22頁【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列基本量的計算首先得公比，進一步得首項，由此即可得解.q2故選：A.4.拋物線C:y=-4x2的準線方程為()【答案】B【解析】【分析】把拋物線方程化為標準形式，結合準線方程的特點進行求解即可.【詳解】拋物線C的標準方程為x2=-所以其準線方程為，故選：B圓O：x2+y2=(a2+b2)，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為9b2，則C的離心率為()A.B.C.2D.【答案】D【解析】四邊形AMBN的面積為解得可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)對稱性不妨設點P在第一象限，如圖所示，圓心為O(0,0)，半徑為，過O作MN的垂線，垂足為D，O為F1F2的中點，則同理由AB丄MN， 故選：DA.B.C.1【答案】C【解析】【分析】取圓x2+y2=4上任意一點P，過P作圓O:x2+y2=m2(m>0)的兩條切線PA，PB，根據(jù)題中條件，求出第4頁/共22頁【詳解】取圓x2+y2=4上任意一點P，故選：C.【點睛】本題主要考查求由直線與圓相切求參數(shù)，屬于基礎題型.7.甲、乙、丙等5名同學參加政史地三科知識競賽，每人隨機選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為()A.B.D.【答案】C【解析】【分析】由排列組合知識結合概率公式即可得解.【詳解】因為甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，若每個同學可以自由選擇，所以甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為.故選：C.8.已知函數(shù)y=sin在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則w的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最值性質進行求解即可.所以由題意可得解得.故選：D9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是面AB1，面B1D1，面DA1的中心，則下列結論正確的A.NP∥DC1B.MNⅡ平面ACPC.D1C丄平面MNPD.PM與BC1所成的角是60?！敬鸢浮緼BD【解析】【分析】A．利用三角形中位線進行證明；B．通過線面平行的定理證明；C．通過線面垂直的性質進行判斷；D．通過平行的傳遞性找出DDBC1即為PM與BC1所成的角，即可求出答案.連接B1D1，B1A，則MNⅡAD1，MN丈平面ACD1，AD1ì平面ACD1，∴MN//平面ACD1，即MN//平面ACP，故B正確；連接B1D1,B1A,AD1，則平面MNP即為平面B1AD1，顯然D1C不垂直平面B1AD1，故C錯誤；∵PM∥B1D1∥BD，∴上DBC1或其補角為PM與BC1所成的角，上DBC1=60°,故D正確.故選：ABD.10.下列結論正確的是()2【答案】AD【解析】【分析】利用作差法比較大小判斷A，利用基本（均值）不等式判斷BCD，要注意“一正二定三相等”.+2的等號成立條件x2+2=不成立，所以B錯誤；2當且僅當故選：AD22A.若圓C1與圓C2無公共點，則0<r<4B.當r=5時，兩圓公共弦所在直線方程為6x-8y-1=0C.當r=2時，則PQ斜率的最大值為D.當r=3時，過P點作圓C2兩條切線，切點分別為A,B，則DAPB【答案】BC【解析】【分析】對于A，當兩圓內(nèi)含時即可判斷錯誤；對于B，兩圓方程相減即可驗算；對于C，畫出公切線通過數(shù)形結合即可驗算；對于D，畫出圓C2兩條切線，通過數(shù)形結合即可驗算.【詳解】對于選項A，當兩圓內(nèi)含時，r可以無窮大，所以A不正確；當r=5時兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為6x-8y-1=0，所以B為正確選項；對于選項B，當r=2時如圖，器聘,kPQ=-即PQ斜率的最大值為-，C選項正確；對于D選項，如圖，所以中間必然有位置使得上BP，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點睛：判斷CD兩選項的關鍵是準確畫出圖形，通過數(shù)形結合即可順利得解.則下列結論正確的是()C.當a>e時，曲線y=f(x)與曲線y=g(x)有且只有兩條公切線D.若h(x)為單調(diào)函數(shù)，則e-e≤a<1【答案】BCD【解析】【分析】A.h(x)=axlna-aln(x-1),通過舉特例說明該選項錯誤；B.考慮F(x)=xlnx，Q求出函數(shù)的單調(diào)性，分析圖象得到h(x)有兩個零點；C．求出兩曲線的切線方程，再建立方程組，轉化為零點個數(shù)問題分析得解；D.分h(x)單調(diào)遞增和單調(diào)遞減討論，從而求出e-e≤a<1得解.x-1a(x-1)都成立，h(x)有兩個零點，故A錯誤；:tlnt=(x-1)ln(x-1)t>1）.考慮y=xlnx=F(x),F￠(x)=lnx+1=0,,所以函數(shù)F(x)在(0,)單調(diào)遞減，在(,+∞)單調(diào)遞增，設切點(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),:y-f(x1)=f￠(x1)(x-x1),y-g(x2)=g￠(x2)(x-x2),2所以S(t)=0有兩解，所以當a>e時，曲線y=f(x)與曲線y=g(x)有且只有兩條公切線，所以該選:mam≥.考慮y=mam,ymin→0,不滿足.所以(ma")max≤,考慮y=mam,y￠=(1+mlna)at=0,:t=-不滿足.-,:a-e故選：BCD【點睛】關鍵點睛：本題主要有四個關鍵，其一，是邏輯思維，證明命題是錯誤的，只要舉出反例即可；其二，要熟練掌握利用導數(shù)討論函數(shù)的零點個數(shù)；其三，是理解掌握曲線公切線的研究方法；其四，要會根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍.13.第二屆廣東自由貿(mào)易試驗區(qū)一聯(lián)動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨立，且概率均為，記X為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則D(X)=.【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)題意可知隨機變量為利用方差公式D(X)=np(1-p)從而可求解.【詳解】由題意知隨機變量為【答案】1【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質，結合對數(shù)運算，即可求解a，再代入函數(shù)解析式求值.3-a，所以f(-x)=log3(-x+F珂)-a.因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)+f(-x)=0，即log3-a+log3-a=0，故答案為：1λa-)<0成立的一個充分不必要條件是.【答案】λ=0（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)向量坐標運算公式將原問題轉化為-1<λ<1的一個充分不必要條件進而求解.所以λi+=(λ-2,2λ+1)，λi-=(λ+2,2所以使(λ+).(λ-)<0成立的一個充分不必要條件是λ=0.故答案為：λ=0（答案不唯一）16.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB=4，A1B=BC1，BB1丄BD1，且二面角B1-BD1-C1的正切值為-．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱ABCD-A1B1C1D1【解析】【分析】先求得B到平面A1B1C1D1的距離，然后利用對稱法以及三點共線等知識求得PB1+PQ的最小值.【詳解】連接A1C1，交B1D1于E，設F是BD1的中點，連接EF,C1F.,BE∩B1D1=E,BE,B1D1ì平面BB1D1，所以A1C1丄平面BB1D1，由于BD1,EFì平面BB1D1，所以A1C1丄BD1，A1C1丄EF，由于E,F分別是B1D1,BD1的中點，所以EF//BB1，由于BB1丄BD1，所以EF丄BD1，由于A1C1∩EF=E,A1C1,EFì平面EFC1，所以BD1丄平面EFC1，由于C1Fì平面EFC1，所以BD1丄C1F，所以三角形BB1D1是等腰直角三角形，所以BE丄B1D1，由于A1C1∩B1D1=E,A1C1,B1D1ì平面A1B1C1D1，所以BE丄平面A1B1C1D1，且BE=B1D1=2由于，所以Q點的軌跡是以D1為球心，B1關于平面ABCD的對稱點為B￠BB￠=2×2=4,連接B￠D1，交平面ABCD于P，故答案為【點睛】求解二面角有關問題，關鍵是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定義是：在二面角的交線上任取一點，然后在兩個半平面內(nèi)作交線的垂線，所得角也即是二面角的平面角.17.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知bcosC+ccosB+(2)若S△ABC=、F,求a的最小值.（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得cosA=-進而可求解，（2）根據(jù)面積公式以及余弦定理，結合基本不等式即可求解.由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB+QA∈(0,π)，【小問2詳解】S△ABC=bcsinA=.(2)設cn=，數(shù)列的前n項和為Tn，求滿足Tn<的最大整數(shù)n的值.（2）9.【解析】【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項公式求解；（2）先拆項分母得再利用裂項相消法求和，進而解不等式求滿足Tn<的最大整數(shù)n的值.q2），設{bn}的公差為d，5【小問2詳解】所以滿足的最大整數(shù)n=9.19.在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=J5，QC=3，（1）求四棱錐Q-ABCD的體積；（2）求直線BQ與平面QCD夾角的正弦值.【解析】【分析】（1）取AD的中點O，連接QO，QC，可證QO丄平面ABCD，則QO為四棱錐Q-ABCD的高，利用錐體體積公式求解即可；（2）建立空間直角坐標系，求直線BQ的方向向量和平面QCD的法向量，線面角的正弦值即為直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值，求解即可.取AD的中點O，連接QO，QC，又AD∩CO=O，ADì平面ABCD，COì平面ABCD，所以QO丄平面ABCD，【小問2詳解】杰過O作OM//CD交BC于M，則OM丄AD，結合（1）中QO丄平面ABCD，故可建如圖空間直角坐標系：故配=(-2,1,2),C=(2,1,-2),D=(0,1,-2),設平面QCD的法向量為=(x,y,z)，0設直線BQ與平面QCD夾角為θ,所以直線BQ與平面QCD夾角的正弦值為 45.20.甲、乙兩隊進行籃球比賽，采取五場三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”，設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立.（1）在比賽進行4場結束的條件下，求甲隊獲勝的概率；（2）賽事主辦方需要預支球隊費用a萬元．假設主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定a的值，才能使其獲利（獲利=總收入-預支球隊費用）的期望高于【解析】【分析】（1）先求出比賽4場結束的概率，然后利用條件概率公式即可解答；（2）先由題意列出比賽收入的分布列，從而求出期望值，進而根據(jù)題意確定a的值.記事件A為“比賽進行4場結束”；事件B為“甲最終獲勝”，事件M為“比賽進行4場結束甲獲勝”；事件N為“比賽進行4場結束乙獲勝”.因為各場比賽結果相互獨立，所以P(M)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)因為M,N互斥，所以P(A)=P(M)+P(N)=0.21+0.16=0.37.又因為M=AB，所以由條件概率計算公式得【小問2詳解】設主辦方本次比賽總收入為X萬元，由題意：X的可能取值為：300,500,700.則隨機變量X的分布列為：X300500700P0.260.370.37設主辦方本次比賽獲利為Y萬元，則Y=X-a，所以E(Y)=E(X-a)=E(X)-a，所以預支球隊的費用應小于261萬元.21.拋物線C1：x2=4y，雙曲線且離心率e=，過曲線C2下支上的一點 作C1的切線，其斜率為-.2（1）求C2的標準方程；（2）直線l與C2交于不同的兩點P，Q，以PQ為直徑的圓過點N，過點N作直線l的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點D的坐標；若不存在，請說明理由.2(2)存在，|DH|=定點D(0,-).【解析】【分析】（1）寫出切線方程并與拋物線方程聯(lián)立求出點M坐標，再結合離心率求出雙曲線方程作答.（2）當直線PQ不垂直于y軸時，設出直線方程并與C2的方程聯(lián)立，借助韋達定理及向量數(shù)量積求出直線PQ過定點E，直線PQ垂直于y軸，驗證也過定點E，取線段EN中點即可作答.x+m+則所以雙曲線C2的標準方程為.【小問2詳解】當直線PQ不垂直于y軸時，設直線PQ方程為x=ky+t，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，ttt2-4(k2-4(i2+1)=4(412+4-k')>0，y1+y2=,y1y2=,因以PQ為直徑的圓過點N(0,)，則當P，Q與N都不重合時，有NP⊥NQ，