高考重難點(diǎn)題型歸納：第29講 離心率歸類訓(xùn)練（解析版）

第29講離心率14類

【題型一】判斷橫放豎放求參

【典例分析】

2

已知實(shí)數(shù)1,見(jiàn)9成等比數(shù)列，則圓錐曲線工+9=1的離心率為（）

m

A.述B.2C.巫或2D.也或G

332

【答案】C

【分析】根據(jù)L〃?,9成等比數(shù)列求得機(jī)，再根據(jù)離心率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閷?shí)數(shù)1，皿9成等比數(shù)列，故可得療=9,解得帆-3或M--3：

當(dāng)相=3時(shí)，\+y2=i表示焦點(diǎn)在“軸上的橢圓，此時(shí)e=月冬

當(dāng)m二-3時(shí)，三+y2=i表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，此時(shí)e=Vi75=2.

m

故選：C.

【變式演練】

1.已知雙曲線M:工-上=1（°>0）的離心率為2,則雙曲線〃的漸近線方程是（

aa+8

A.y=±5/3xB.y=±-^-xC.y=±3xD.y=±y/2x

【答案】A

【分析】

先由離心率的值求出4的值，則可得雙曲線方程，從而可求出其漸近線方程

【詳解】

因?yàn)殡p曲線的離心率為2,

所以竺5=4,解得。=4,所以雙曲線方程為《一￡=1,

a412

由工工=0,得尸±限，所以雙曲線的漸近線方程為y=±6r,故選：A

412

2.已知曲線C，江+3y2=i的離心率e=6,則實(shí)數(shù)加值為（）

33

A.6B.-6C.-D.——

22

【答案】D

【分析】

2

由曲線C："a2+3/=1的離心率6=石＞1,得出是雙曲線，進(jìn)而得出/="b=--t由離心率

3m

&=2=居=產(chǎn)/=小弓，即可得出答案.

【詳解】

因?yàn)榍€Cg2+3y2=]的離心率e=6＞i,

2

所以曲線C：，加+3^=1為雙曲線，即團(tuán)＜0,所以/=!，b=--t

3m

所以離心率e=：=S====解得機(jī)=一T，

故選：D.

3.設(shè)e是橢圓f+叼2=1（租＞0）的離心率，且ee（0,￡|,則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是（）

C.（0,l）U（l,2）D.

【答窠】B

【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)位置分情況討論.

x2y2[―＜1

【詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在工軸上時(shí)，橢圓方程為7+了=1，即I，解得

蔡、一43

yJC'_.—＞13

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為『+7即"'「解得:＜?。?,

薪gJ4

2

綜上：詆臣）小目，故選：B.

【題型二】直接法

【典例分析】

橢圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值與橢圓的短軸長(zhǎng)相等，則橢圓的離心率為（）

4311

A.-B.-C.-D.—

5532

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意得a+c=M,進(jìn)而得5c2+2改-3"=0,即5/+2e—3=0,再解方程即可得答案.

【詳解】

解：因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值為a+c,橢圓的短軸長(zhǎng)為2〃

所以根據(jù)題意得〃+c=?，

所以兩邊平方得/++2。。=g=4？_4e2,即5c2+9—3"=0

3

等式兩邊同除以/得5/+26-3=0,解得e或e=-l（舍）

3

所以橢圓的離心率為不故選：B

【變式演練】

，2

1.已知雙曲線力〉°）的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為明且焦距為10,則C的離心

率為（）

A.-B.-C.。D.-

3534

【答案】C

【分析】

根據(jù)焦距可得c的值，根據(jù)右焦點(diǎn)到漸近線距離可求得b的值，由〃=必了可得。的值，再由e=￡即可

a

求解.

【詳解】

因?yàn)榻咕酁?c=10,所以c=5,右焦點(diǎn)（5,0）,/+從=25，

雙曲線C：4—4.=1漸近線方程為：m-與=0,

a~b~

所以右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為d=J：",=中=匕，

所以力=4,〃=后二^=后二不=3,所以離心率e=5=?，故選：C.

2.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓5+/=l（a>b>0）上存在點(diǎn)P,使得|P用=3|「周，其中九巴分別為

橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是（）

【答案】D

【分析】

由已知結(jié)合橢圓定義，用。表示出IP不和|尸外|,再借助焦點(diǎn)三角形建立不等關(guān)系求解即得.

【詳解】

因點(diǎn)P在橢圓「+營(yíng)=1上，則|PKI+|P6I=2%又附=3附于是得儼用=，，|明=%

而|P￡|-|PK國(guó)的居|二勿，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)取即解得6=￡之《，即

22a22

所以，橢圓的離心率取值范圍是g，l).故選：D

3.設(shè)雙曲線氏，-/=l(a>0,b>0)的離心率為e,直線/過(guò)點(diǎn)(0力)和雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線/與圓

3+),2=。2相切，則/二()

A3+Q^3+5「>/3+5「3+、5

3322

【答案】D

【分析】

先求得直線八版+。-歷=0,由/與圓/+產(chǎn)=。2相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，化簡(jiǎn)得出方程

°4一3〃2c2+/=0,結(jié)合離心率的定義，得至1」《2-§2=；，即可求解.

【詳解】

不妨設(shè)直線/右焦點(diǎn)尸9,0),則直線/的方程為±+5=1,即取+cy-兒=0,

cb

由直線/與圓/+產(chǎn)=療相切，且62=。2一”2,

可得=a，整理得從C?=。2(/+。2),Bp(c2-a2)c2=a2(2c2-a2),

°J：b;2+c￥2

即cJ3a2c2+/=0,可得再一3(￡)2+1=0,即(/凸2二:，

aa24

解得/=三且或/=三比，因?yàn)閑>i,可得《2>1,所以/=止叵.故選：D.

222

【題型三】補(bǔ)連另一焦點(diǎn)利用定義

【典例分析】

已知橢圓C4+工=1(。>6>0)的左，右焦點(diǎn)用工，過(guò)原點(diǎn)的宜線/與橢圓。相交于M,N兩點(diǎn).其中

(Tb-

M在第一象限.|MN|=^E］，篇之亭，則橢圓。的離心率的取值范圍為()

A.(0,孕

B.(0,A76-2]

D.(旦&1]

C.(0,^-IJ

【答案】D

【分析】：由題設(shè)易知四邊形6為矩形，可得瑪|+2/=0,結(jié)合已知條件有

a>\MF2^(^-\)a即可求橢圓。的離心率的取值范圍

△=〃2_勸2>0

【詳解】：由橢圓的對(duì)稱性知：IN用=|知人|,而|M瑪|+|“用=肛

又|M/V|=|耳同，即四邊形加不死為矩形，

所以IMKF+IM用2=82,則2|〃瑪|2_4°|嶼|+442=”且“在第一象限,整理得

2

\MF2f-2a\MF2\+2b=Qf△=/一切>。

所以F=。7as，又需=需=罌露4即恰(g)a,

…?\MF,\=a-yla2-2h2>(yf3-\)a加1,er

綜上，｛「丫",整理得上</二J-2石，

a2>2a2-2c22a2

所以且vewG-l.故選：D.

2

【變式演練】

1.橢圓C:4+g=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為九尸2,直線/：丁=丘與C交于48兩點(diǎn)，若區(qū)O|=』A8|,

GD2

/BN%=6,當(dāng)時(shí)，c的離心率的最小值為()

」26_

A.6一1B.立C.在D.V5-1

23

【答案】D

【分析】：結(jié)合題干條件得到巴人表達(dá)出優(yōu)H=2c-cos。，優(yōu)回=2c-sin。，利用橢圓定義得到關(guān)

系，結(jié)合6的范圍求出離心率的最小值.

【詳解】：連接做，由題知點(diǎn)/、8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|前|=|%|,|/\即=2|04=2°,F2A1F2Bt則

任d=2ccos6,內(nèi)M=2csin。,又|河川+比同=|%4|+|耳4|=2a,即2c?cos6+2csin6=2a,

e=2sinJosJ后小+：)’由我七目得7M'+撲普告斗所以.=6-1,D

正確.

B

22

2.設(shè)橢圓C:]+春"=叱"。）的右焦點(diǎn)為尸，橢圓C上的兩點(diǎn)A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足=

\FB\<\FA\<43\FB\f則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.惇B.惇g]C.[V3-U）工[注

-zLJL

【答案】B

【分析工設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)尸'，由已知條件知四邊形為矩形，利用橢圜的定義和勾股定理化簡(jiǎn)得到

-=再根據(jù)|陽(yáng)引用4陰陽(yáng)，得到竺的范圍，然后利用對(duì)勾函數(shù)的值域得到4的范圍，然后由

nmbna~

e=—=求解.

a\a~

【詳解】：如圖所示：

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)尸、由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，

又FAFB=G，即E4_L陽(yáng)，所以四邊形A產(chǎn)B廣為矩形，陰=忻曰=勿,

設(shè)|4尸[=〃，|"|=小，在直角“尸中，m+〃=2n,m2+n2=4c2,

zncUmmn2c2人機(jī).12c2

得mn=2b2，所以一+一=——?令一=t,得f+-二——,

nmb~ntb~

X|F^<|M|<73|Ffi|,得：=所以/+；=看￡2,羊,

所以1,攣,即4所以《￡[〈,4-26

b~5a~2a~2

所以橢圓C的離心率的取值范圍為6=一€,75-1,故選：B

3.設(shè)橢圓C:4+W=l（。＞6＞0）的左焦點(diǎn)為EO為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸且斜率為;的直線與C的一個(gè)交

a"b~-

點(diǎn)為0（點(diǎn)0在x軸上方），且|。耳二|。。，則C的離心率為（）

A.也B.1C.也D.在

2333

【答案】D

【分析】：連接。和右焦點(diǎn)尸'，可知1001=31尸尸），可得口尸。尸'=90。，由七股=3得2相=-2,寫出兩直

線方程，聯(lián)立可得。點(diǎn)坐標(biāo)，0點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得。、6、。關(guān)系.

【詳解工設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為f，連接0F',

n\OF\=\O^[,\OF\=\OF'\,U\OQ\=^\FF\t□□尸09=90。，□%=；，根=-2,做過(guò)網(wǎng)一小。),

y=-(x4-c)

F'。過(guò)F(c,0),則F0尸g(Hc),FQ：y=-2(x-c)t由,2(/nQ

y=-2(x-c)

匚0在橢圓上，口（5）,[5）「又c2=/一/，解得

'，+,=1?-9

a~b~

匚離心率kJ1一與=/1一1=（.故選：D.

【題型四】余弦定理1：基礎(chǔ)型

【典例分析】

已知雙曲線[-2=1（。＞°泊＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸-5，點(diǎn)A是雙曲線漸近線上一點(diǎn)，且A61A。（其

中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），AK交雙曲線于點(diǎn)氏且|陰二忸用，則雙曲線的離心率為（）

A叵B.叵C.V2D.G

44

【答案】C

【分析】：根據(jù)雙曲線的定義和余弦定理建立關(guān)于。，瓦C的方程，從而可得雙曲線的離心率.

【詳解】：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在第二象限，設(shè)6(-0),因?yàn)锳。，點(diǎn)K到直線法+緲=0

\—bc\

的距離d=/

\lb+a

所以|A國(guó)"，因?yàn)閨4O|=c,所以cos/AEO=g因?yàn)閨A@=忸用，所以忸用=；|AK|=g,

由雙曲線的定義可知忸用=忸耳|+2a=2a+，在△防居中，由余弦定理可得

-4c2_國(guó)+耳

cos^AEO=-=------J——紇,整理得6=。，所以。=缶，即離心率e=￡=應(yīng).故選：C.

ccbca

2x—x2c

2

【變式演練】

1.已知雙曲線C：5-.=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為小尸2,點(diǎn)A在C的右支上，電與c交于點(diǎn)

B,若麗?麗=0,且怩司=|鳥耳，則C的離心率為()

A.\f2B.>/3C.>/6D.

【答案】B

【分析】：由題設(shè)知口人8人為等腰直角三角形，即?6=?、\AB\=yf2\F2A\=yf2\F2B\,結(jié)合雙曲線的

定義求IEA|、在口人月人中應(yīng)用余弦定理，構(gòu)造齊次方程，求離心率即可.

【詳解】：由％4書8=0且歸仆］哂知：口4環(huán)為等腰直角三角形且ZBAF2=^t即

\AB\=y/2\F2A\=42\F2B\,

IF}A\-\F2A\=2a

n\\F2B\-\FiB\=2a,

|AB|=|￡A|-1￡0

Q\AB\=4a,故1gAi=|63|=2缶，則|用4|=2(血+1)〃，

而在UA￡鳥中，|甲肝■瑪AF+I1川2一2|八A||K4|cos?E，

□4c2=8a2+4(3+2y/2)a2-8(>/2+l)a2,則/=3/,故e=￡=有.

a

故選：B.

2.設(shè)點(diǎn)6，尸2分別為雙曲線C:‘親一Ka〉。,?！?。)的左右焦點(diǎn).點(diǎn)A,A分別在雙曲線C的左，右支上，若

AB=5F.A,AF^=ABAF2,且,尼卜卜耳，則雙曲線C的離心率為(

A,適B,運(yùn)D

55-7

【答案】B

【分析】：由AM=A8?A6及數(shù)量積的運(yùn)算律可得KB_LA/<,設(shè)限卜加，則網(wǎng)=5/〃，［8耳|=6〃?，利

2

用雙曲線的定義及直角三角形可求得加=。（機(jī)不合題意舍去），然后求出8SN8NM,再用余弦定理

得出G，C關(guān)系求得離心率.

uuuin皿|UUD|iuu?)

【詳解工A8=56A,.??04,8共線，且網(wǎng)=5用|,

uuir：muuinrLOTumriwuuu'2uuiruuir

AF2=ABAF2=(AF2+F2B)AF2=AF2+F?BAF?.

F2BAF^=O,則瑪Q_LAK，故有+

|A7s|-/H=2tz

設(shè)限卜機(jī)，則卜司=5m,附卜6〃?，由雙曲線的定義可得，6m-|B7%|=2a

|A7S|2+|B7S|2=25/M2

2

□(m+2a)2+(6m-2a)2=25m2,整理得(加-a)(3m一陵)=0,解得：m=a^m=-a

若m=L,則,司,用=2%不滿足,國(guó)〈,耳，舍去;

3

若m=a,卜司=3°<卜凡卜4%符合題意，則［防］=6%=5a,

BF、

此時(shí)8S/ABKL|^=|,在小即中，忻引=團(tuán)網(wǎng)明2閣叫.此際/4叫,

217

c=-a2

5

3.設(shè)雙曲線C?下y=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為K，尸2,過(guò)片的直線/與雙曲線左右兩支交于M,

N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過(guò)鳥，且MN，=2MF?MN,則雙曲線。的離心率為（)

A.0B.73C.2D.>/5

【答案】B

【分析】：由題意可得口仞\戶2為等腰直角三角形，設(shè)|MB|=|N3|=，〃，則|"N=拒〃?，運(yùn)用雙曲線的定義,

求得|MN|=4〃，可得加,再由勾股定理可得。，。的關(guān)系，即可得到所求離心率.

2

【詳解】：因?yàn)镸N?=2MF2?MN即MN=?\MF2\■|A/7V|COS/NMF1所以=2|M周.COSNNMF?

在三角形MN居中,有余弦定理可得：COSZWFL""；黑低Ng所以W此=斗加閭-切；鑿定圾2

MU=Ng即=因?yàn)橐?N為直徑的圓經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)尸2,所以MF；?NF2=0,又

可得」MAE?為等腰直角三角形，設(shè)|“兩=|義用|=小，則附2=及加，

由|M產(chǎn)2|?M尸/|=2mIWI-\NF2\=2a,兩式相加可得|NB|?附產(chǎn)/|=附2=4〃，

即有卅=2近m在直角三角形尸2中可得4c2=4^+（2a+2&q-2a）2,

【題型五】余弦定理2：勾股定理用兩次

【典例分析】

如圖，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線E：W-《=l（a>0,力>0）右支上的一點(diǎn)，尸是E的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)PO,PF

a~b-

分別交E于。，R兩點(diǎn)，已知。e網(wǎng)，且IQ尸1=2|依|,則E的離心率為（)

A.姮B.姮C?叵D.叵

4343

【答案】B

【分析】：令雙曲線上的左焦點(diǎn)為F,連線即得。PFQU,設(shè)|尸用二根，借助雙曲線定義及直角△kPR用。

表示出|尸尸|,IPF'I,再借助Rf-尸丁尸即可得解.

【詳解】：如圖，令雙曲線￡的左焦點(diǎn)為門，連接PF,QF',RF',

由對(duì)稱性可知，點(diǎn)。是線段PQ中點(diǎn)，則四邊形PFQF'是平行四邊形，而。尸一成，于是有PR29是矩形,

設(shè)恒氏|=m，則|PF'l=|FQb2m,\PF\=2m-2a,|RFf\=m+2a,\PR|=3m-2a,

4ZJ

在RteFPR中,（2m）2+（3/n-2a）2=（m+2a）2,解得加二7或加=0（舍去），

從而罰P戶|=^,|P尸吟，RMPF中,得）+管［=h2,整理得。=（=半，

所以雙曲線E的離心率為用故選：B

【變式演練】

1.已知雙曲線C:*■-方=1（。＞0力〉0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，K，過(guò)匕的宜線交雙曲線c的左支于p,Q

兩點(diǎn)，若P/（二尸鳥刈勺且力。入的周長(zhǎng)為12。，則雙曲線。的離心率為（）

A.孚B.73C.石D.20

【答案】A

【分析】：根據(jù)條件求得|?同=3%口|?制=〃，在RlZ\PK巴中，由勾股定理可得關(guān)于的等式，進(jìn)而可

求得離心率.

【詳解】：由雙曲線定義知?dú)w國(guó)-歸周二|。段一|仍|二2,

則|尸產(chǎn)|=|尸周一2%|Q凰二|Q閭一2%所以|叫=歸耳+|0￡|=|%|+|然|一3,

"PQ。的周長(zhǎng)為伊丹+lQ周+|聞=2（|尸闖十|Q6|）-4a=12a,口|尸段+|0閭=即，|聞=4?,

由PF；=PF^QF?nPF2?（PF?—QF?）=0=PF??PQ=0nPF2上PQ,

所以/6PQ=90。，故仍用2+收2=|QE「，Q\QF2\-\PF2\=2afn\PF2\=3a,\QF2\=5af用=%

在RlZXPK6中，a2+（3a）2=（2c『，故-￡=?.故選：A.

2.已知〃是雙曲線》小1的左焦點(diǎn)，圓。+與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為尸，若尸尸的中

點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）

A.6B.2C.石D.咚

【答案】A

【分析】：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平面匚何性質(zhì)，建立關(guān)于。力，。的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選

項(xiàng).

【詳解工由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為Z，因?yàn)?+6=1,且圓。：/+），2=/+6，所以點(diǎn)尸在以焦距為直徑的

圓上，則/爪耳=90°,

設(shè)防的中點(diǎn)為點(diǎn)M,則M。為"片的中位線，所以MO//PG則"MO=90。，又點(diǎn)M在漸近線上，

bFM

所以ianNMOF=-=）,且nvr+MO=OF?,則尸”=〃，〃。=4,所以尸6=2知。=24,所以尸尸=4。，

aMO

則在以/W中，可得，PF；+PF2=FF^,即4/+16/=牝2,解得修=5,所以e=右，

故選：A.

22

3.已知耳,尸2是雙曲線C：=I（a>0/>（））的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)匕傾斜角為30。的直線與雙曲線的

/b2

左，右兩支分別交于點(diǎn)A,B.若|月用=忸用，則雙曲線C的離心率為（）

A.0B.73C.2D.75

【答案】A

【分析】：設(shè)|4用二八據(jù)雙曲線的定義可用，表示|A閭，忸閭，作■/_LAB=",構(gòu)造直角三角形可計(jì)算得

，，并用勾股定理列出了（限）2一/二（2”，進(jìn)而可求外

【詳解】：設(shè)|A”卜f,則|A引=f+2a=忸用，從而忸用=f+4%進(jìn)而|剛=4a.過(guò)上作5H_LA5=",則

|A”|=2a.如圖:在RtAFF2H中，內(nèi)”|=2csin300=c.忻M=2CCOS?=GC=|A閭;

在RtZMK”中，(V3C)2-C2=(2?)2,即2c2=4/,所以e=JL故選：A

【題型六】余弦定理3:余弦定理月兩次

【典例分析】

已知6,8分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過(guò)F?作

a~b~

N6尸外的角平分線的垂線，垂足為A.若忻4|=j5A,則該雙曲線離心率的取值范圍為（）

A.(1,@

C.(72,73)

【答案】B

根據(jù)題中的條件求出|可|=*根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得到1<?<白，再根據(jù)NOA6得到

>6,即可求出離心率的取值范圍.

【詳解】：解：如圖所示:小E是雙曲線「多=叱。力>。）的左右

焦點(diǎn)，延長(zhǎng)名人交";于點(diǎn)Q,叢是〃2鳥的角平分線，..?盧。二|尸周，又?,?點(diǎn)產(chǎn)在雙曲線上，

.?.歸耳卜歸閭=2,|?制一|聞=|陰|=2,又丫。是的丁瑪中點(diǎn),A是鳥。的中點(diǎn),

.?.0A是△/瑪Q的中位線，.?.|QE|=2=2|0A|,即儂=%

在△耳。4中，|。4|=〃，忻川=國(guó),|0￡|二c,由三角形兩邊之和大于第三邊得：a+c>也b,

兩邊平方得：（。+蛾>5戶，即/+°2+2時(shí)>5（/一叫，兩邊同除以片并化簡(jiǎn)得：2e2-e-3<0,

33

解得：-l<e<-,又Qe>l,.rvev/,在△￡0A中，由余弦定理可知,

|M1+|時(shí)5從+c2_/

cosNA60=

2|川訃舊0|一2瓜

在―嗎需產(chǎn)弋―即5從+<2—/56+4。2TA閭2

2、瓦。44be

又:護(hù)=才一/,解得：|A^|2=7?2-3C2,又「NOAE〉］,

.?.|0川2+m周2<|012,即/+742—3c2<。2,，e>&,綜上所述：.故選：B.

【變式演練】

1.設(shè)分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸?的直線交橢圓。于M，N兩點(diǎn)，若M￡=3￡N,且

4

cosZA/W=-,則橢圓C的離心率為（）

A.也B.3C.旦D.如

2323

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè),/卜2化>0）,則|A閭=2所女，|A//*|=3A,\MF2\=2a-3kt由cosNMNE二：

利用余弦定理，可得。=32,在..N￡K中，利用余弦定理，即可求橢圓。的離心率.

【詳解】：由題意，如圖：

設(shè)忻止電＞0）,因麗=34則防|=34，|MN|二4k

由橢圓的定義知，|叫|=勿-k,|M段二加一33

在-MN鳥中，由余弦定理得：|ME「=|MN『+|NE「-2|MN||NK|COSNMNK，

即（2〃-3攵）2=（44+（加一4一2（軟）?（方一2）］,整理得a=3A,

在-NKK中，由余弦定理得：忻用2=|N用2+W周2—2pVZ|WK|8sNENK，

即（2婚=公+（勿-攵）2-2匕（2ad）［,即4c2=183,即2c?=9/=/,

所以，橢圓C的離心率為e=￡=巫.故選：A.

a2

2.已知梯形/8CO滿足48口。。，□歷1。=45。，以4,。為焦點(diǎn)的雙曲線「經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn).若CD=7AB,

則雙曲線〃的離心率為（）

A逑B.空C.氈D.三五

4444

【答窠】A

【分析】先畫出大致圖象，結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理求得〃，。之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】：如圖：連接力C,BD,設(shè)雙曲線的焦距4O=2c,實(shí)軸長(zhǎng)為2m

則BD-AB=AC-CD=2a,

設(shè)48=如則CD=7m,BD=2a+m,AC=2a+7mt08力0=45°,ADC=\35°f

在「力8。中，由余弦定理及題設(shè)可得：(2a+m)2=/+4,-2夜機(jī)，

在U4CZ)中，由余弦定理及題設(shè)可得：(加+7〃?)2=49〃?2+4<7414夜

整理得：>/2(c2-a2)=m(JJa+c),拉(er-a2)=lm(JJa-c),

兩式相結(jié)合得：0a+c=7(應(yīng)。-c),故6應(yīng)。=8。，

□雙曲線廠的離心率為e=￡=逑.故選：A.

a4

3..已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是心匕過(guò)人的直線交橢圓于尸’。兩點(diǎn)，若匹卜田國(guó)

且2|期|=3|。制，則橢圓的離心率為().

【答案】C

【分析】根據(jù)所給關(guān)系式利用橢圓的定義用。、c表示出邊仍用、歸印、|。用、|。用，在△H記、\。/的中

利用余弦定理求出cosNPKK、cosNQK^,再根據(jù)兩角互補(bǔ)列出關(guān)系式即可求得離心率.

【詳解】：由題意作出草圖，如下圖所示，

由橢圓的定義可知|。娟+|。勾=%|尸6|+也|=%|￡段=勿,

???|P同=忻用，.qp瑪|=2c,則|P用=2(a—c),

2附|=3|。用，...|。用=：歸用，，|。制="F，則研=駕竺，

_附「+優(yōu)片「卡國(guó)2」-C

在△尸大鳥中由余弦定理可得COS/PE居

2|小優(yōu)耳|2c

|2耳(+向周2一］。周2」-3c

在“必中有余弦定理可得cos/Q66=

2|。用瑪幣4c

/尸耳居+/。耳￡=180°,.■.cosZPF.F^-cos^QF^,.-.￡z￡=_￡z2￡

2c4c

c33

化簡(jiǎn)得3a=5c,.?.e='==.所以橢圓的離心率為=.故選：C

a55

【題型七】中點(diǎn)型

【典例分析】

已知橢圓C:二+4=1（〃＞。＞0）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸作傾斜角為60的直線與橢圓C交于A8兩點(diǎn)，M為

a~b

線段48的中點(diǎn)，若|。尸|=3忻M|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓C的離心率是（）

A.|B.叵C.且D.-

2524

【答案】B

【分析工依據(jù)題給條件得到關(guān)于。，。的關(guān)系式，即可求得橢圓。的離心率.

【詳解】：設(shè)A（5,y）,B（"為），”（如%），AB在橢圓上,

所以耳+西=1,與+耳=1,兩式相減，

iTb~a~b~

俎（百+馬）（再-/）.（y+%）（蘆-力）_八

倚?+P-°'

由直線48的傾斜角為60,可知上二上二石，所以烏+辱=0：

再-Wa~b~

設(shè)尸（-c,0）（c=J。？一6二9,|FA1|=l|OF|=|c,

（SC、_53

所以M一C,所以一6c+6，n?

、7ab

所以為2=56,即2/=5。2,所以e=￡=a.

a5

故選：B.

【變式演練】

22

1.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:*■-方=1（。＞0力＞0）的右焦點(diǎn)為尸（。,0）,直線x=c與雙曲線。的漸近線

交于4、8兩點(diǎn)，其中〃為線段03的中點(diǎn).。、4、F、M四點(diǎn)共圓，則雙曲線C的離心率為（）

A.空B.72C.6D.2

3

【答案】A

【分析】：根據(jù)題意得到戶（。,0）,《吟｝8卜'一第，陪，一并，再根據(jù)。、小尸、河四點(diǎn)共圓，

可知四邊形04所為等腰梯形，利用|QM|=|AF|,求得m6關(guān)系即可.

【詳解】：由題意得：F（c,O）,A（4）4，-引，

因?yàn)椤盀榫€段08的中點(diǎn)，?.?加6，-&|又尸為”的中點(diǎn)，.?.M///OA,即四邊形0AA/為梯形，

又0、4EM四點(diǎn)共圓，即四邊形。AA2為圓內(nèi)接四邊形，而圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可知四邊形。4”尸

為等腰梯形，??.|OM|=|AF|,即梅彳豕考，整理得/=3氏所以6=]/+圖=苧,故

選：A

2.已知雙曲線C:54=l（a>（U>0）的左右焦點(diǎn)分別為片，尸2,過(guò)K的直線/交雙曲線的右支于A,8兩點(diǎn).

點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，且A￡=AB.若cos&Z8=；,則雙曲線C的離心率是（）

A.2B.石C.與D.6

【答案】A

【分析】：設(shè)|A用=〃z,根據(jù)雙曲線的定義得出相=8〃，從而求出田口=4〃,住耳=2〃，在△出例中利用余

弦定理以及離心率的定義即可求解.

【詳解】：點(diǎn)M為線段8周的中點(diǎn)，且A￡=A8,則

設(shè)網(wǎng)二m,則1ABi=陽(yáng),

又-AMF]為直角三角形,.cosNAKB=；,即cos/A6M=；,

.?.舊朋|=；陽(yáng)，怩機(jī)，由雙曲線的定義可得MEHA周二2%

忸國(guó)-忸同=2,曲|+忸制一|的=4,耳用=而,內(nèi)耳=2,

又cosN^BA；=CQSNA36=85乙4耳笈=；,在△/?"心中，由余弦定理可得

+\BF^-\FF^_4t72+16g2-4c2_1

}2.,"二名?，.,.離心率e=￡=2.故選：A

2|明麗|--2x24x4。--4a

3.己知小巴分別是橢圓。:》?"小。）的左、右焦點(diǎn).若橢圓。上存在點(diǎn)P,使得線段W的垂

直平分線恰好經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸2,則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

B

A.即-[?T]C加D.（0,1

【答案】C

【分析】：根據(jù)中垂直的性質(zhì)可得|「段=|6閭=勿，根據(jù)a—cK|尸國(guó)V4+C歹懷等式，結(jié)合離心率公式以及

橢圓離心率ew（0,l）即可得解.

【詳解】：如圖：因?yàn)榫€段用的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)鳥，所以|P周二|耳周二",

當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，歸圖最大為a+c；

當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，|尸段最小為"C；

所以a-cW|帆|=2rWa+c,可得c<〃<3c,所以e=?c

【題型八】多曲線交點(diǎn)1：和拋物線

【典例分析】

已知點(diǎn)A是拋物線/=4），的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)尸為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在拋物線上且滿足

\P^=m\PF\t若由取最大值時(shí)，點(diǎn)尸恰好在以A尸為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為

A.73+1B.V2+1C.好里D.也包

22

【答案】B

【詳解】：過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|,

1|P7V|

□|PA|=m|PBLniPAHnlPNI□—=7—,

mIPA\

設(shè)PA的傾斜角為a,則sina=',

m

當(dāng)m取得最大值時(shí)，sina最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，

設(shè)直線PA的方程為y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x?-4kx+4=0,

□O=16k2-16=0,Dk=±l,DP(2,1),

2

匚雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為PA?PB=2（>/2-1口雙曲線的離心率為］&_］）=垃+1?

【變式演練】

\PFf\

1.已知點(diǎn)尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)F（-LO）,若點(diǎn)P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)謁取得最大值時(shí)，

點(diǎn)P恰好在以F,F為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）

A.!B.變C.>/5-1D.J2-1

22

【答案】D

尸尸|尸尸'|

【分析】：過(guò)點(diǎn)尸引拋物線準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于。，根據(jù)拋物線的定義可I知'母I=匕3,記

NDPF=/PFF=a,根據(jù)題意，當(dāng)cosa最小，即直線PF與拋物線相切時(shí)滿足題意，進(jìn)而解出此時(shí)夕的

坐標(biāo)，解得答