2024-2025學年上海市奉賢區(qū)高三上冊11月期中數學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年上海市奉賢區(qū)高三上學期11月期中數學檢測試卷一、填空題1.設集合，且，則實數的取值范圍為_________.2.已知是虛數單位，復數滿足，若復數為純虛數，則實數的值為_____.3.經過點且法向量為的直線方程為_____.4.二項式的展開式中，常數項為_____5.設，若拋物線的焦點為坐標原點，則_____.6.設，函數圖象一條對稱軸為，則_____.7.今年國際國內金價屢創(chuàng)新高，金價波動也被金融媒體競相報道.現(xiàn)抽取2024年前11個月的每月日的實物黃金價格數據如下表所示，則這組黃金價格數據的第75百分位數是_____月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月黃金價格(元/克)6246166306917087167147377437688158.圓錐的頂點為，將該圓錐的側面沿母線剪開并展平得到一個圓心角為，半徑為1的扇形，則該圓錐的體積為_____9.銳角三角形的三個內角的度數成等差數列，則其最大邊長與最小邊長比值的取值范圍是______10.設，滿足，則_____.11.已知數列各項均為正整數，對任意和中有且僅有一個成立，且.記.給出下列四個結論.①不可能是等差數列；②中最大項為；③不存在最大值；④的最小值為34.其中所有正確結論的序號是_____.12.如圖所示，正八面體的棱長為2，點為正八面體內(含表面)的動點，則的取值范圍為________二、選擇題13.在中，""是為鈍角三角形的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.已知事件和相互獨立，且則（）A B. C. D.15.已知函數若存在，使得，則的取值范圍是（）A B. C. D.16.已知數列為無窮數列，若正整數滿足：對任意的正整數，均有，則稱數列為“階弱減數列”.現(xiàn)有以下兩個命題：①數列為無窮數列且（為正整數），則是數列是“階弱減數列”的充分條件；②數列為無窮數列且（為正整數），則存在，使得數列是“階弱減數列”的充要條件是.那么（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①、②都是真命題 D.①、②都是假命題三、解答題17.已知鈍角，滿足.（1）求的值；（2）求函數值域.18.如圖所示四棱錐，其中交BD于點.（1）求證：平面；（2）若，點是線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值.19.為迎接“五一小長假”的到來，某商場開展一項促銷活動，凡在商場消費金額滿200元的顧客可以免費抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球，其中，紅球2個，白球3個，黃球5個，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個球，根據摸出球的顏色情況分別進行兌獎.將顧客摸出的2個球的顏色分成以下四種情況：：1個紅球1個白球，：2個紅球，：2個白球，：至少一個黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對應一等獎，二等獎，三等獎，不中獎.（1）求顧客在某次抽獎中，第二個球摸到為紅球的概率（2）求顧客分別獲一?二?三等獎時對應的概率；（3）若三名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立.記中獎的人數為，求的分布列和期望.20.設.（1）當時，求曲線在點(2,3)處切線的方程；（2）當時，求函數的單調區(qū)間；（3）設函數的定義域為，若對任意的成立，求的取值范圍.21.已知橢圓的左、右、下頂點分別為點、、，點為橢圓上的動點、點（1）點且斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點，求線段的長；（2）求面積的最大值；（3）過點的直線與橢圓交于、兩點(異于點、)，試探究直線、BD的交點的橫坐標是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.2024-2025學年上海市奉賢區(qū)高三上學期11月期中數學檢測試卷一、填空題1.設集合，且，則實數的取值范圍為_________.【正確答案】【分析】先解二次不等式化簡集合，再利用集合的包含關系得到關于的不等式組，解之即可得解.【詳解】因為，，又，故，解得，則實數的取值范圍為.故2.已知是虛數單位，復數滿足，若復數為純虛數，則實數的值為_____.【正確答案】【分析】設，根據復數的運算以及復數相等可得出關于、的方程組，即可解得實數的值.【詳解】根據題意，設，則，根據復數相等可得，解得.故答案為.3.經過點且法向量為直線方程為_____.【正確答案】【分析】首先求出直線的斜率，再由點斜式計算可得.【詳解】因為直線的法向量為，則直線的斜率，所以直線方程為，即.故4.二項式的展開式中，常數項為_____【正確答案】１５【詳解】常數項為第5項，所以常數項為5.設，若拋物線的焦點為坐標原點，則_____.【正確答案】##【分析】根據拋物線方程求得焦點坐標，再由圖象平移規(guī)則即可得解.【詳解】易知拋物線的焦點坐標為，將拋物線向上或向下平移個單位可得到拋物線，由焦點坐標變?yōu)椋傻?故答案為.6.設，函數圖象的一條對稱軸為，則_____.【正確答案】【分析】根據三角函數的對稱性與最值的關系，可得，即可化簡求解.【詳解】的圖象的一條對稱軸為，故是函數的最大值或者最小值，即，故，化簡可得，故，即，故7.今年國際國內金價屢創(chuàng)新高，金價波動也被金融媒體競相報道.現(xiàn)抽取2024年前11個月的每月日的實物黃金價格數據如下表所示，則這組黃金價格數據的第75百分位數是_____月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月黃金價格(元/克)624616630691708716714737743768815【正確答案】743【分析】根據百分位數的定義求解即可.【詳解】個數據按從小到大的順序排列為：，因為，所以這組黃金價格數據的第75百分位數是第九個數據，為.故答案為.8.圓錐的頂點為，將該圓錐的側面沿母線剪開并展平得到一個圓心角為，半徑為1的扇形，則該圓錐的體積為_____【正確答案】【分析】由題意可得圓錐底面圓的半徑，從而可得圓錐的高，再由錐體的體積公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，圓錐的母線，設底面圓的半徑為，則，解得，所以圓錐的高，則圓錐的體積為.故9.銳角三角形的三個內角的度數成等差數列，則其最大邊長與最小邊長比值的取值范圍是______【正確答案】【分析】求出的值，設等差數列、、的公差為，求出的取值范圍，利用正弦定理、兩角和與差的余弦公式、弦化切，可求得所求代數式的取值范圍.【詳解】若銳角的三個內角、、的度數成等比數列，則，解得，不妨設角為最小角，設等差數列、、的公差為，則，，所以，，，由題意可知，因、為銳角，且，即，解得，則，所以，.故答案為.10.設，滿足，則_____.【正確答案】4【分析】構造函數，利用函數的奇偶性，以及用導數判斷單調性，即可求解.【詳解】因為，所以，設函數，都有且，所以函數是奇函數，又因為，因為，所以恒成立，所以函數在上單調遞增，又因為，所以所以，解得，故答案為:4.11.已知數列各項均為正整數，對任意的和中有且僅有一個成立，且.記.給出下列四個結論.①不可能是等差數列；②中最大項為；③不存在最大值；④的最小值為34.其中所有正確結論的序號是_____.【正確答案】③④【分析】利用等差數列的定義判斷①；利用已知舉例說明判斷②③；求出最小值判斷④作答.【詳解】對于①，當時,由得,由得,于是與僅只一個為1,即,因此數列不能是等差數列,①錯誤;對于④，令,依題意,與均為整數,且有且僅有一個為1(即隔項為1),若,則,,而,因此,當且僅當數列為時取等號,若,則,,而,因此,當且僅當數列為時取等號,從而的最小值為34,④正確;對于②，當時,取,數列為:,滿足題意,取p=2,a8=16>12=對于③，由于的任意性,即無最大值,因此不存在最大值,③正確,所以所有正確結論的序號是③④.故答案為:③④.關鍵點睛：涉及數列新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，由給定的數列結合新定義探求數列的相關性質，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.12.如圖所示，正八面體的棱長為2，點為正八面體內(含表面)的動點，則的取值范圍為________【正確答案】【分析】設交于點，，分析可知可知點的軌跡是過點且與直線垂直的平面，建系，設點，可得，進而確定截面的形狀，整理可得，分析長度的最值即可得解.【詳解】設交于點，且，的中點為，因為，則，即，可知點的軌跡是過點且與直線垂直的平面，如圖，以為坐標運算，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設點，則，可得，可得，直線上的點滿足，結合可得，可知直線與平面的交點為，同理可得：平面與直線的交點依次為，又因為，注意到，則，即，可知平面，當點為與平面的交點時，取到最小值，可設，可得，結合可得，即，則，所以取到最小值，檢驗可知：當點為時，取到最大值，所以取到最大值；綜上所述：的取值范圍為.故答案為.關鍵點點睛：本題的關鍵在于利用空間向量求平面上的點滿足的關系式，進而確定平面與正八面體的棱的交點，進而分析求解.二、選擇題13.在中，""是為鈍角三角形的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據數量積的定義和充分條件、必要條件的定義即可求解.【詳解】由，可得，所以為鈍角，是鈍角三角形，所以由可以得出為鈍角三角形，若為鈍角三角形，不一定為鈍角，所以也得不出，所以在中，""是為鈍角三角形的充分不必要條件，故選：A.14.已知事件和相互獨立，且則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據給定條件，利用對立事件的概率公式，相互獨立事件的概率公式及概率的基本性質計算即得.【詳解】由事件A與事件B相互獨立，得.故選：C15.已知函數若存在，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】分，，三種情況討論，由題意分別確定的范圍，再結合函數的單調性即可得到答案；【詳解】當時，，所以，即，所以，則，因為在0,1上遞增，所以；當，，所以，所以，不存在，使得；當時，，因為，所以，所以，則，令，則，因為，所以，，所以，所以，即，所以在上單調遞增，所以，即，綜上所述，的取值范圍是，故選：D.關鍵點點睛：本題的關鍵是分，，三種情況討論，再結合題意分別確定的范圍.16.已知數列為無窮數列，若正整數滿足：對任意的正整數，均有，則稱數列為“階弱減數列”.現(xiàn)有以下兩個命題：①數列為無窮數列且（為正整數），則是數列是“階弱減數列”的充分條件；②數列為無窮數列且（為正整數），則存在，使得數列是“階弱減數列”的充要條件是.那么（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①、②都是真命題 D.①、②都是假命題【正確答案】A【分析】分別證明①是真命題，②是假命題，即可得到答案.【詳解】下面證明：①是真命題，②是假命題.對于①，若，則.若，由可得，故，從而.所以只要，就一定有，所以①是真命題.對于②，由于當時，對任意的都有c2+l故不是“階弱減數列”，從而②的充分性不成立，所以②是假命題.綜上，①是真命題，②是假命題.故選：A.關鍵點點睛：本題的關鍵在于理解弱減數列的定義，只有理解了定義，方能解決相應的問題.三、解答題17.已知鈍角，滿足.（1）求的值；（2）求函數的值域.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由同角三角函數的關系結合誘導公式，二倍角公式即可求解；（2）確定函數單調性即可求解.【小問1詳解】由，又，又為鈍角，兩方程聯(lián)立求解可得：，又為鈍角，所以可得：，【小問2詳解】由（1）可得：，，在上單調遞增,在上單調遞減，所以在單調遞減，

當x=0時,有最大值，當時有最小值，函數的值域為18.如圖所示四棱錐，其中交BD于點.（1）求證：平面；（2）若，點是線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）.【分析】（1）根據線面垂直的判定定理來證得平面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】因為，所以均在BD的垂直平分線上，所以，圖為，所以，圖為，所以，又圀為平面平面，所以平面，【小問2詳解】因為平面，所以平面平面.由(1)可知，以為原點，所在直線分別為軸，過點垂直于底面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，所以，從而由等面積法，可知，由勾股定理，可知，由(1)可知，所以，由(1)可知，而平面平面平面平面，且二面角為，所以，所以與軸所在直線的夾角為，所以，因為，所以，設平面的法向量為，則，令，解得，所以平面的法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.為迎接“五一小長假”到來，某商場開展一項促銷活動，凡在商場消費金額滿200元的顧客可以免費抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球，其中，紅球2個，白球3個，黃球5個，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個球，根據摸出球的顏色情況分別進行兌獎.將顧客摸出的2個球的顏色分成以下四種情況：：1個紅球1個白球，：2個紅球，：2個白球，：至少一個黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對應一等獎，二等獎，三等獎，不中獎.（1）求顧客在某次抽獎中，第二個球摸到為紅球的概率（2）求顧客分別獲一?二?三等獎時對應的概率；（3）若三名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立.記中獎的人數為，求的分布列和期望.【正確答案】（1）（2）顧客分別獲一?二?三等獎的概率分別為、、（3）分布列答案見解析，【分析】（1）根據相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得；（2）根據古典概型概率公式及組合數公式計算可得；（3）由（2）可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為，則，利用二項分布的概率公式求出分布列與數學期望.【小問1詳解】設顧客第次摸到紅球為，則；【小問2詳解】由題意知，，，，，因此，顧客分別獲一?二?三等獎的概率分別為、、；【小問3詳解】由（2）可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為，則，所以，，，，則分布列為：123數學期望.20.設.（1）當時，求曲線在點(2,3)處切線的方程；（2）當時，求函數的單調區(qū)間；（3）設函數的定義域為，若對任意的成立，求的取值范圍.【正確答案】（1）.（2）上是嚴格增函數，上是嚴格減函數.（3）.【分析】（1）根據導數的幾何意義求出切線斜率即可由點斜式求解.（2）求出導數，判斷導數值正負求出單調區(qū)間.（3）先探求不等式成立的必要條件，再證明充分性即可，證明時構造函數利用導數求函數的最小值即可證明.【小問1詳解】當時，，求導，則，所以切線方程為，即.【小問2詳解】當時，