2024-2025學(xué)年上海四校聯(lián)考高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）（2024.11）

參考答案一、填空題1.2.3.4.1205.-186.7.;8.;9.;10.；11.12.二、選擇題13.B14.A15.B16.D三．解答題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．某市數(shù)學(xué)競賽初賽結(jié)束后，為了解競賽成績情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）若只有前的學(xué)生能進(jìn)決賽，則入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分？（2）采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W(xué)生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)為其中達(dá)到90分及以上的學(xué)生的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）75分;（2）;所以的數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）成績在區(qū)間的比例為:;

成績在區(qū)間的比例為:,因此分位數(shù)位于區(qū)間;

因此入圍分?jǐn)?shù)為:,因此入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為75分;

（2）在這六個(gè)人中,有兩人的分?jǐn)?shù)在90分及以上,因此,,則的概率分布為:;所以的數(shù)學(xué)期望為.18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),；

當(dāng)時(shí),；

因此;

（2）當(dāng)時(shí),,因此有在上嚴(yán)格增;而當(dāng)時(shí),因此有在上嚴(yán)格增;

原不等式可化為:；而是定義在上的嚴(yán)格增函數(shù),所以;因此不等式的解集為.19．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，、分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線．（1）求證：直線平面；（2）若直線上存在一點(diǎn)（與都在的同側(cè)），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）證明:,平面平面,平面平面平面;又分別為的中點(diǎn),;平面;

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,過垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,而不在平面上,平面平面,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,,即,則點(diǎn)坐標(biāo)為;

設(shè)平面的法向量,即,即,取可得；

設(shè)平面法向量為,則,取,可得;

,即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20．（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)（為圓心），點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2），是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率分別為和且，則的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由；（3）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，延長至，使，點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）（2）是，定值為（3）【解析】（1）,則,則曲線是以和為焦點(diǎn),4為長軸的橢圓;

設(shè)橢圓方程為,則,曲線;

（2）設(shè),則,即;

為定值;

（3）設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),代入橢圓方程得到曲線;

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí):設(shè),代入中有,則

當(dāng)直線斜率存在時(shí):設(shè),代入的方程:,則;而與橢圓有公共點(diǎn),代入得:,由有,記,則,綜上,面積的最大值為.21．（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知函數(shù)的表達(dá)式為．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】（1）時(shí),,則令,則,則在上嚴(yán)格減,上嚴(yán)格增,則,即在上嚴(yán)格增,因此函數(shù)的增區(qū)間為;

（2）,記,則,若,則,即時(shí)