2024-2025學年上海交大附中高二上學期數(shù)學期中試卷（含答案）（2024.11）

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.②③④12．若是以為首項，為公差的等差數(shù)列；是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則下列說法正確的是________．①存在實數(shù)，使得不存在實數(shù)，滿足數(shù)列是常數(shù)列；②存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)，滿足數(shù)列都是常數(shù)列；③存在實數(shù)，使得不存在實數(shù)，0，滿足數(shù)列是常數(shù)列；④存在實數(shù)，使得有無窮多個實數(shù)，0，滿足數(shù)列是常數(shù)列．【答案】②③④【解析】,則對任意恒成立,故①錯②對.

取,任取.則恒成立.故④正確.

(更強的命題,,則均存在無數(shù)個,使得為常數(shù),取即可）

只證明③.取,假設(shè)為常數(shù)列，則或

取,則或,則或

情況一：則,這是一個關(guān)于的一元二次方程,但這是不可能的（是超越數(shù)）其他情況同理.所以這樣的等比數(shù)列不存在.二、選擇題13.B14.C15.B16.C15．下列命題中真命題的個數(shù)是（）.（1）若空間四點共面，則其中必有三點共線；（2）若空間四點中有三點共線，則此四點必共面；（3）若空間四點中任何三點不共線，則此四點不共面；（4）若空間四點不共面，則其中任意三點不共線；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】對于①，空間四點共面,如平面四邊形,其中任何三點不共線，故①錯誤；

對于②，空間四點中有三點共線，根據(jù)不共線的三點確定一個平面,得到此四點必共面;故②正確;

對于③,空間四點中任何三點不共線,則此四點可能共面，如平面四邊形；故③錯誤；

對于④,空間四點不共面,如果任意三點有共線的,那么此四個點就共面，與已知矛盾.故④正確;故答案為:②④三、解答題17.（1）（2）18.（1）證明略（2）最大項是，最小項是19.（1）；（2）此時20．（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與橢圓交于、兩點．（1）求的周長；（2）設(shè)點為橢圓的上頂點，點在第一象限，點在線段上．若求點的橫坐標；（3）設(shè)直線不垂直于坐標軸，點為點關(guān)于軸的對稱點．直線與軸交于點．求面積的最大值．【答案】（1）8（2）（3）.【解析】（1）橢圓的長軸長為4.由橢圓定義知，的周長為8；

（2）由橢圓方程得,設(shè)，由,得①，點線段上，所以滿足方程為②，

將①式代入②，得，代入橢圓方程，得，

因為,所以.（3）設(shè)，直線的方程為，則點的坐標為，直線的方程為,

將直線方程代入橢圓方程得：

則,所以，所以面積的最大值為.21．（本題滿分18分.第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）在平面直角坐標系中，若點滿足，都是整數(shù)，則稱點為格點．（1）指出橢圓上的所有格點；（2）設(shè)、是拋物線上的兩個不同的格點，且線段的長度是正整數(shù)，求直線的斜率的所有可能值組成的集合；（3）設(shè)（且）項的數(shù)列滿足：點是函數(shù)的圖像上的格點，則是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列；若存在，請求出正整數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）;

（2）設(shè)且,則為正整數(shù),記為,所以.

由于都是整數(shù),所以與都是完全平方數(shù),故只能有,因此,直線的斜率的所有可能值組成的集合是.

（3）存在正實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,記公差為

則且,

所以是方程的實數(shù)解.

①時,則有正整數(shù)解.

所以必有是整數(shù),所以正整數(shù)只可能使得,逐一驗證發(fā)現(xiàn)都不符合題意,所以時不存在正整數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.②時,則有至少兩個不相等的整數(shù)解,而方程至多有兩個不相等的實數(shù)解,所以只能,且恰有兩個不相等的整數(shù)解,則直線與雙曲線的上半部分必有兩個公共點,

（i）時,有,而是正整數(shù),是整數(shù),所以只可能,,代回驗證發(fā)現(xiàn)不符題意,

（ii）時,不存在,

（iii）時,有,且是方程的兩根,所以,而,所以有:,得,

由于是整數(shù),所以是整數(shù),故,此不等式無實數(shù)解,所以也不存在正整數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.

綜上,不存在正整數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.

解二:由題意得,且與與都是整數(shù),

所以是有理數(shù),而也是整數(shù),所以是完全平方數(shù),記為,故,得,而與的奇偶性相同,所以只可能有,因此必有,則,不存在,即不存在正整數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.【附加題】（共10分）世界上除了圓形的輪子之外，還有一些好事之徒制作了不少形狀的多邊形輪子．（1）如圖，平面直角坐標系內(nèi)有一個邊長為的點方形，其初始位置為，，，．①將整個正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點首次旋轉(zhuǎn)到軸正半軸上停止；②再將整個正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點首次選擇到軸正半軸上停止；③再將整個正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點首次選擇到軸正半軸上停止；④再將整個正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點首次選擇到軸正半軸上停止．我們將上述四個步驟依次操作一遍，稱為將正方形“滾動”一周。為任點向軸正方向移動100個單位長度，需要將正方形“滾動”_______周，在這個過程中，點經(jīng)過的路徑總長度為________個單位長度；（2）如果制造一個正邊形的“輪子”。該正邊形的中心到任意一個頂點的距離為1．共將該正邊形的"輪子"振動一周，求點經(jīng)過的路徑總長度；