《中國高考評價體系》下的新高考備考

《中國高考評價體系》下的新高考備考

一、高考評價體系的內(nèi)涵

中國高考評價體系主要由“一?核”“四層”“四翼”三部分內(nèi)容組成其中，“一核”為高考的核心功能，

即“立德樹人、服務(wù)選才、引導教學''，是對素質(zhì)教育中高考核心功能的概括，回答“為什么考''的

問題;“四層''為考查內(nèi)容，即“核心價值、學科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”,是素質(zhì)教育目標在高

考中的提煉，回答“考什么”的問題;“四翼”為考杳要求，即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”，是

素質(zhì)教育的評價維度在高考中的體現(xiàn)，回答"怎么考''的問題.

二、高考評價體系的重大意義

高考評價體系創(chuàng)造性地將立德樹人根本任務(wù)融入考試評價全過程,以實現(xiàn)高考評價目標與素質(zhì)

教育目標的內(nèi)在統(tǒng)一，切實將高考打造成為立德樹人的重要載體和素質(zhì)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié),使之成

為德智體美勞全面培養(yǎng)教育體系的有機組成部分，從而實現(xiàn)“招一考一教一學''全流程各個環(huán)節(jié)

無縫銜接.

三、高考評價體系對高考命題的指導

為實現(xiàn)高考評價體系的“核心價值引領(lǐng)”,即以立德樹人統(tǒng)領(lǐng)服務(wù)選才和引導教學,促進學生德智

體美勞全面發(fā)展.近幾年無論是新課標全國卷，還是高考綜合改革省、市的試卷,都遵循了高考評

價體系的精神，在命題理念上逐步實現(xiàn)了從“知識立意”“能力立意''向"價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導向、能

力為重、知識為基”的轉(zhuǎn)變，高考評價體系的“一核四層四翼”的內(nèi)涵已在近年的高考內(nèi)容改革及

命題當中逐步體現(xiàn).

四、高考評價體系的要求在高考試題中的體現(xiàn)

認真研讀近幾年的高考試題，特別是今年的新高考數(shù)學山東卷試題，從中能夠清晰地感覺到“核心

價值引領(lǐng)”下的高考數(shù)學試題，發(fā)生了較為深刻的變化.試題落實立德樹人根本任務(wù)，貫徹德智體

美勞全面發(fā)展方針,重視數(shù)學本質(zhì)，突出理性思維、數(shù)學應(yīng)用、數(shù)學探究、數(shù)學文化的引領(lǐng)作用.

1.以試題情境體現(xiàn)',核心價值引領(lǐng)”“核心素養(yǎng)立意”

高考評價體系的理念“核心價值引領(lǐng)”“核心素養(yǎng)立意”，是通過問題情境與情境活動兩類或體來實

現(xiàn)的，即通過選取適宜的素材，再現(xiàn)學科理論產(chǎn)生的場景或是呈現(xiàn)現(xiàn)實中的問題情境，讓學生在真

實的背景下發(fā)揮核心價值引領(lǐng)作用，運用必備知識和關(guān)鍵能力去解決實際問題，全面綜合展現(xiàn)學

科素養(yǎng)水平.

真題再現(xiàn)

【例1】（2（）2（）山東,4）日唇是中國古代用來測定時間的儀器,利用與唇面垂直的唇針投射到唇面

的影子來測定時間.把地球看成?個球（球心記為0）,地球上?點A的緯度是指0A與地球赤道所

在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與QA垂直的平面.在點A處放置一個日屏,若孱面

與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°,則唇針與點A處的水平面所成的角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90c

試題解讀此題以中國古代用來測定時間的儀器日薜和地球為問題情境，考查立體幾何中立線與

平面所成角的概念及計算，此題既能夠引導學生關(guān)注天文、地理等自然學科，又能引導學生了解

中國古代文明，激發(fā)學生愛國情懷.

【例2】(2020山東,6)基本再生數(shù)島與世代間隔7是新冠捕炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)

指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初

始階段，可以用指數(shù)模型：W)=e”描述累計感染病例數(shù)/⑺隨時間/(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長

率，?與凡］近似滿足用)=1+〃.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R)=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情

初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(In2^0.69)()

A.1.2天B.I.8天

C.2.5天D.3.5天

試題解讀此題以當前世界各國正在防控的重大疫情新觸肺炎的傳染為問題情境，用數(shù)學模型揭

示病毒傳播規(guī)律，貼近生活.讓學生感受到教學源于生活，高于生活，服務(wù)于生活.在考查相關(guān)的教

學知識和從資料中提取信息的能力，突出數(shù)學知識和數(shù)學模型的應(yīng)用的同時，通過計算累計感染

病例數(shù)增加1倍僅需要1.8天的結(jié)果，進一步引起學生重視自身的防護，感受中國在抗擊疫情中

取得的重大成就，關(guān)注世界各國疫情防控的情況，從而堅定特色社會主義制度的優(yōu)越性，樹立起正

確的人生觀、價值觀.

［例3］(2020山東,7)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則而?通的取值范圍

是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

試題解讀此題給考生以較大的想象空間，以及多樣的選擇性，雖然題干不長，條件不多，但考查了

“直觀想象”“數(shù)學抽象數(shù)學運算"三大核心素養(yǎng)，以及數(shù)影結(jié)合的數(shù)學思想和建系求解的數(shù)學方

法.

【例4】(2020山東,12)信息篇是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為

nn

1,2,…,〃，且尸(X=i)=p,>0(i=1,2,???,〃),￡〃尸1,定義X的信息嫡H(X)=-￡pdog2PM)

i=li=l

A.若*1,則H(X)=0

B.若〃=2,則"(X)隨著pi的增大而增大

C.若〃討廁〃(￥隨著”的增大而增大

D.若"=2/〃,隨機變量丫所有可能的取值為1,2,…/〃，且P(Y=j)=pj+p2t>i+\-j(j=1,2,--?,/zz),K'J

H(X)WH(Y)

試題解讀此題以信息論中的重要概念信息烯為問題情境，結(jié)合中學所學的對數(shù)，分布列等知識編

制題目，考查學生獲取新知識的能力和對新問題的理解探究能力，引導學生關(guān)注前沿科學.

【例5】(2020山東,15)某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示.0為圓孔

及輪廓圓弧AB所在圓的圓心工是圓弧AB與直線AG的切點,8是圓弧A8與直線8c的切點，四

邊形DEFG為矩形,8CJ_OG垂足為C,tanZODC=^BH//DG,EF=12cm,￡)E=2cmA到直線DE

3

和Er的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

試題解讀此題以某中學開展勞動實習，學生加工制作零件為問題情境，給出了一個較為復雜的幾

何圖形，以及多個已知條件，考查學生處理復雜問題的邏輯思維的嚴密性,有序性，靈活性及解決實

際問題的能力，此題除對“邏輯推理”“數(shù)學運算”兩大核心素養(yǎng)考查得比較深刻外，還充分體現(xiàn)了

高考命題對中學德智體美勞五育并舉的引導.

【例6】(2020山東,19)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研,

隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度(單位:卜ig/m)得下表:

SO2[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115)3710

(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表:

SO2[0,150](150.4751

PM2.5

|0,75|

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)?

試題解讀此題以加強環(huán)境保護，治理空氣污染為問題情境，左重點考查學生概率統(tǒng)計知識,閱讀理

解能力J數(shù)據(jù)分析'“嗷學運算”兩大核心素養(yǎng)的同時，還對引導學生增強環(huán)境保護的意識淡升科

學發(fā)展經(jīng)濟理念，對樹立正確的人生觀、價值觀有積極的促進作用.

2.評價體系中的、'四翼”考查要求在高考試題中的體現(xiàn)

(1)基礎(chǔ)性要求的考杳:創(chuàng)設(shè)基本層面的問題情境,要求學生調(diào)動單一的知識或技能解決問題.這種

考查方式與傳統(tǒng)的考查方式基本上沒有什么質(zhì)的變化.

真題再現(xiàn)

【例1】(2020山東,1)設(shè)集合4=31〈x<3}1=32<x<4：，,則AUA=()

A.{x|2令￡3}B.{*2W.rM3}

C.{x|l^x<4)D.{X|1<A<4|

【例2】(2020山東,2島=()

A.lB.-lC.iD.-i

(2)綜合性要求的考查:創(chuàng)設(shè)綜合層面的問題情境，要求學生在正確思想方法引導下，綜合運用多種

知識或技能解決問題.這種考查方式要求學生在學科內(nèi)要橫向、縱向貫通所學知識，還需要有跨

學科的綜合能力.

真題再現(xiàn)

【例3】(2020山東⑻若定義在R的奇函數(shù)人幻在(-40)單調(diào)遞減,且12)=0,則滿足MU?l)20的

X的取值范圍是()

A.[-l,l]U[3,+oo)B.[-3,-l]□[(),1]

C.[-l,0]U[l,+8)D.[-l,0]U[l,31

(3)應(yīng)用性要求的考查:創(chuàng)設(shè)生活實踐問題情境或?qū)W習探索問題情境,要求學生在正確思想觀念引

領(lǐng)下,綜合運用多種知識或技能解決生活實踐中的應(yīng)用性問題.例如2()20年新高考數(shù)學山東卷第

345,6,12,15,19題.

(4)創(chuàng)新性要求的考查:創(chuàng)設(shè)開放性生活實踐問題情境或?qū)W習探索問題情境,要求學生在開放性的

或綜合情境中創(chuàng)造性地解決問題,解決問題的方法應(yīng)該是探究性的、多樣的、創(chuàng)造性的.例

如:2020年新高考數(shù)學山東卷中的第12題探究信息端”(種-如油塔2/%的單調(diào)性及函數(shù)值的大

i=i

小;第16題探究球面與側(cè)面BCG8的交線所在的位置、形狀、長度等;第18題中的第2問，探

究兒,的通項公式及前100項和;第22題中的第2問探究直線MN經(jīng)過定點以及4P上存在的定

點。，使得DQI為定值.

五、高考評價體系引導下的題型和試卷結(jié)構(gòu)的改革

1.引入多選題

在高考評價體系指導下,2020年新高考數(shù)學山東卷引入了多選題，多選題從第9題到第12題共

四個小題，題目要求如下:每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯

的得。分,部分選對的得3分多選題的引入為不同層次的學生提供了發(fā)揮的空間,考查學生選擇

取舍的能力.

2.增加了結(jié)構(gòu)不良試題

真題再現(xiàn)

【例】(2020山東」7)在8次-8,@01】4-3,或、-8〃這三個條件中任選一個，補充在下面問題

中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題:是否存在△/WC,它的內(nèi)用ARC的對邊分別為。，伍c,且sinA=V3sinB,C=^,_________?

6

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

此題十分新穎，增強了試題條件的開放性，引導學生更加注重思維靈活性及策略選擇，對數(shù)學理解

能力,數(shù)學探究能力的考查起到了積極的作用.

3.取消了選考內(nèi)容，主觀題還是6道，全卷總題量還是22個題，這樣“三角”和“數(shù)列”兩部分內(nèi)容成

為六道解答題的必選內(nèi)容.

第1講選擇題、填空題的解法

方法思路概述

高考選擇題、填空題注重多個知識點的小型綜合，滲透各種數(shù)學思想和方法，體現(xiàn)利用基礎(chǔ)知識

深度考基礎(chǔ)、考能力的導向;使作為中低檔題的選擇題、填空題成為具備較佳區(qū)分度的基本題

型.因此能否在選擇題、填空題上獲取高分，對高考數(shù)學成績影響重大.解答選擇題、填空題的基

本策略是準確、迅速.

⑴解題策略:小題巧解，不需“小題大做”，在準確、迅速、合理、簡潔的原則下，充分利用題設(shè)和

選擇支這兩方面提供的信息作出判斷.先定性后定量,先特殊后一般，先間接后直接,多種思路選最

簡.對于選擇題可先排除后求解，既熟悉通法又結(jié)合選項支中的暗示及知識能力，運用特例法、篩

選法、圖解法等技巧求解.

（2）解決方法:主要分直接法和間接法兩大類，具體方法為直接法，特值、特例法，篩選法，數(shù)形結(jié)合

法，等價轉(zhuǎn)化法，構(gòu)造法，代入法等.

解法分類指導

方法二…直接法…

直接法，就是直接從題設(shè)的條件出發(fā)，運用有關(guān)的概念、性質(zhì)、公理、定理、法則和公式等，通過

嚴密的推理和準確的計算，然后對照題目所給出的選擇支“對號入座”作出相應(yīng)的選擇.多用于涉

及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的定性題目.

【例1】（1）（2020山東泰安一模,2）已知復數(shù)一=1-歷，其中。力￡R,i是虛數(shù)單位，則|〃+歷|=（）

A.-l+2iB.lC.5D.V5

（2）（多選）（202。山東疥宇模擬,11）已知困數(shù)八x）=cos（2%q>2sin（x+9cos（x+JR）,現(xiàn)給出

下列四個命題，其中正確的是（）

A.函數(shù)的最小正周期為2兀

B.函數(shù)yu）的最大值為1

c.函數(shù)/）在卜：用上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)段）的圖象向左平移毯個單位長度,得到的函數(shù)解析式為g（x）=sin2r

【對點訓練1】（1）（2020福建福州模擬，理6）已知數(shù)列｛m｝為等差數(shù)列，若為函數(shù)/）=/-

9x+14的兩個零點，則的。4二（）

A.-14B.9C.14D.20

⑵（2020浙江,17）已知平面單位向量小?滿足|2eie|W&，設(shè)a=8+e2,b=3e*2,向量a.b的夾角

為〃，則cos?。的最小值是.

方法二….特值'特例法….

特值、特例法是在題設(shè)普遍條件都成立的情況下，用特殊值（取得越簡單越好）進行探求,從而清

晰、快捷地得到正確的答案,即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，從而“小題小做”或“小題

巧做

當題R已知條件中含有某些不確定的量時，可將題R中變億的不定量選取一些符合條件的特殊

值（或特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，特殊圖形，圖形特殊位置,特殊點，特殊方程,特殊模型等）進行處

理,從而得出探求的結(jié)論.這樣可大大地簡化推理、論證的過程.

【例2】（1）（2020山東?？季?8）若a>b>c>\^則（）

A.log?Z?>log/,c>log<<7D.log<Z?>log/,?>log<,c

C.log<Z?>log?/?>k）gt?D.Iog/Z7>log（/?>log<4c

A

BDC

⑵如圖，在A48C中Q是BC的中點,￡尸是A。上的兩個三等分點，瓦？?CA=4^F?存=-1廁品?

CE=.

[對點訓練2]（1）（2020浙江高考壓軸卷,8）已知a,beR,且。池則（）

A瀉B.sin?>sinh

◎<（丁

（2）在平面直角坐標系中，設(shè)A及C是曲線上三個不同的點，且分別為AC.CAAB的中

X-1

點，則過OEF三點的圓一定經(jīng)過定點.

方法三…等價轉(zhuǎn)化法…

在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化法解決問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式去進行.可以在數(shù)與數(shù)、形與形之間進行轉(zhuǎn)

換;可以在宏觀上.進行等價轉(zhuǎn)換;也可以在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉(zhuǎn)化.但都需要保持

命題的真假不變.等價轉(zhuǎn)化法的轉(zhuǎn)化原則是將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將復雜的問題轉(zhuǎn)化

為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式，從

分式到整式.

【例3】⑴函數(shù)%有且只有一個零點的充分不必要條件是（）

A.a<0B.0<a4

C.*lD.czWO或a>\

（2）已知JU）與函數(shù)產(chǎn)-asinx關(guān)于點（扣）對稱,g。）與函數(shù)產(chǎn)^關(guān)于直線產(chǎn)不對稱，若對任意Xi￡

（0,1],存在心￡已2],使g（，u）gWM）成立,則實數(shù)a的取值范圍是（）

/1"

Am8

\一91

siin.

c.（-oo,—D.r—,+8）

\coslJLcosl/

【對點訓練3］（1）在四面體P-A8c中,A48C為等邊三角形，邊長為3,P4=3,P8=4,PC=5廁四面

體P-A8C的體積為（）

A.3B.2V3

C.V1TD.V10

⑵（2020福建福州模擬,16）已知函數(shù)於）=or-lnx-l,g（x）吟用max{〃2,〃}表示mji中的最大值，設(shè)

磯x）=max伏x）,g（x））.若在（。,+8）上恒成立廁實數(shù)a的取值范圍為.

方法四一數(shù)形結(jié)合法.…

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意

義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問題的思路,使問題

得以解決的思考方法.每個幾何圖形中蘊含著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又通過圖形的直

觀性作出反映和描述，數(shù)與形之間可以相互轉(zhuǎn)化，將問題化難為易,化抽象為具體.數(shù)形結(jié)合的思想

方法通過借數(shù)解形、以形助數(shù)，能使某些較復雜的數(shù)學問題迎刃而解.

【例4】（1）（2020山東?？季?6）已知點A為曲線產(chǎn)x+">0）上的動點,8為圓。-2）2+），2=1上的動

點，則|A8|的最小值是（）

A3B.4C.3V2D.4V2

（2）（2020山東,5）某中學的學生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學生喜歡足球或游泳,60%的學

生喜歡足球,82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的

比例是（）

A.62%B.56%C.46%D.42%

（2）（2020山東,5）某中學的學生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學生喜歡足球或游泳,60%的學

生喜歡足球,82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的

比例是（）

A.62%B.56%C.46%D.42%

【對點訓練4］（1）已知函數(shù)/U六<%若存在實數(shù)。力,c,滿足<a）力（份"c）,其中

c>b>a,則S+切（c）的取值范圍是（）

A.（24,36）B.（48,54）

C.（24,27）D.（48,+s）

（2）（多選）（2020山東濟南一模,12）已知函數(shù)./（x）=（sinx+cosx）|sinx-cos川,下列說法正確的是（）

A./U）是周期函數(shù)

B.yU）在區(qū)間［卷［］上是增函數(shù)

C.若師I）|+1/（x2）I=2,則X1+X2二*&￡Z）

D.函數(shù)g（x）=/U）+l在區(qū)間［0,2汨上有且僅有1個零點

方法五…構(gòu)造法一

利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數(shù)學

問題得到簡捷的解決構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的,從曾經(jīng)遇到過的類似

問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學模型，使問題得到快速解決.

【例5】（1）（2020全國〃，理11）若2九2'<3"?3事，則（）

A.ln（y-.r+1）>（）B.ln（y-x+1）<（）

C.ln|x-y|>0D.in|x->?|<0

（2）（2020山東煙臺模擬,16）設(shè)定義域為R的函數(shù)/U）滿足則不等式e*7U）勺Qi-1）的解

集為.

【對點訓練5】（DQ020天津和平區(qū)一模,7）函數(shù)人用是定義在R上的奇函數(shù)，對任意兩個正數(shù)

J2（X|〈也）,都有記4=25/（0.22）Q=y（l）,c=-log53（logi5）,貝I」a,b,c大小關(guān)系為（）

X1X23

\.c>b>aB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

⑵（2020浙江,9）已知。力￡R且〃厚0,對于任意工20均有（40。/）（牛2〃/）20,則（）

A.a<0B.〃>0C.b<0D.Z?>0

方法六….排除法（針對選擇題）.…

數(shù)學選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真,舍棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確結(jié)論.排

除法（又叫篩選法）就是通過觀察分析或推理運算各項提供的信息或通過特例，對于錯誤的選項逐

一剔除，從而獲得正確的結(jié)論.

【例6】（1）（2020全國〃，文5）己知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中，與b垂直的是

（）

A.a+2bB.2a+b

C.a-2bD.2a-b

（2）（2020浙江高考壓軸卷,7）函數(shù)7U）=嚀?（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）

【對點訓練6］（1）（多選）（2020山東聯(lián)考,9）在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.）=x+：

B.y=2x+2x

Cwsinx*x￡（0《）

DJ=K-2Y+3

（2）（2020浙江,4）函數(shù)y=xcos"sin］在區(qū)間［-幾兀］上的圖象可能是（）

方法七…估算法….

選擇題提供了正確的選擇支解答又無需過程.因此，有些題目,不必進行準確的計算，只需對其數(shù)

值特點和取值界限作出適當?shù)墓烙?，便能作出正確的判斷,這就是估算法.估算法往往可以減少運

算量，但是加強了思維的層次.

【例7】（2019全國/,文4,理4）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足

底的長度之比是容（與10.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美

人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是牛.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,

且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【對點訓練7】已知正數(shù).%），滿足2A”，＜4,則空的取值范圍是（）

C.(-8,?(5,+OO)

D.(-OO,1]U[5,+OO)

專題方法歸納

L解選擇題、填空題的基本方法比較多，但大部分選擇題、填空題的解法是直接法，在解題時要

根據(jù)題意靈活運用上述一種或兒種方法“巧解”,在“小題小做”“小題巧做”上做文章，切忌盲目地

采用直接法.

2.由于選擇題供選選項多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強，稍不留心就會誤入“陷阱”，應(yīng)該從

正反兩個方向肯定、否定、篩選、驗證，既謹慎選擇，又大膽跳躍.

3.解填空題不要求求解過程，從而結(jié)論是判斷正確的唯一標準，因此解填空題時要注意以下幾個

方面：

(1)要認真審題，明確要求，思維嚴謹、周密,計算要準確；

(2)要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論；

(3)要重視對所求結(jié)果的檢驗.

4.作為平時訓練,解完一道題后，還應(yīng)考慮一下能不能用其他方法進行“巧算”，并注意及時總結(jié)，這

樣才能有效地提高解題能力.

第2講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想,滲透到中學數(shù)學的各個領(lǐng)域，是歷年高考考查的重點和熱點.一般通過函數(shù)與導

數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列及解析幾何等知識運用的交匯處,思想方法和相關(guān)能力的結(jié)合處進行考查.

思想方法詮釋

1.函數(shù)的思想:是用運動和變叱的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系,是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識,

建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.

2.方程的思想:就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程,通過解

方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方程思想是動中求靜，研

究運動中的等量關(guān)系.

3.函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系：

函數(shù)思想與?方程思想密切相關(guān)，對于函數(shù)y=/U),當)=0時，轉(zhuǎn)化為方程yu)=o,也可以把函數(shù)

丁寸幻看作二元方程y-J(x)=0.

函數(shù)與方程的問題可相互轉(zhuǎn)化.求方程火x)=o的解就是求函數(shù))=/")的零點.求方程凡丫)二g(x)的

解的問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=/*)-g(x)與x軸的交點問題.

思想分類應(yīng)用

應(yīng)用二.…函數(shù)思想與方程思想的轉(zhuǎn)換…

【例1】設(shè)函數(shù)於六―⑶=渡+心團力三區(qū)"⑴港)，成0的圖象與產(chǎn)g(x)的圖象有且僅有兩個

不同的公共點4孫川)石8,)*則下列判斷正確的是()

A.當。<0時Ml+X2<0jl+丫2>0

B.當。<0時ji+刈>0,yi+.V2<0

C.當。>0時可+i2<0ji+y2Vo

D.當a>0時/+x2>0ji+y2>0

思維升華求兩個函數(shù)人用力幻圖象的交點問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）=/U）-ga）的零點問題.而函

數(shù)尸（X）的零點問題也可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

【對點訓練1】已知函數(shù)凡幻的定義域為R,且有2/U）W-l）=hW'J.A-V2）=.

應(yīng)用二.…函.數(shù)與方程思想在解三角形.中.的應(yīng)用一

A

X

B

【例2】為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求/ACB=60°,BC的長度大于1m,且

AC比AB長;m,為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為（）

C.（1+V3）mD.（2+V3）m

思維升華函數(shù)思想的實質(zhì)是使用函數(shù)方法解決數(shù)學問題（不一定只是函數(shù)問題），構(gòu)造函數(shù)解題是

函數(shù)思想的一種主要體現(xiàn).方程思想的本質(zhì)是根據(jù)已知得出方程（組），通過解方程（組）解決問題.

【對點訓練2］己知a,b,c分別為A/WC的內(nèi)角A,B,C的對邊,S為△ABC的面積,sin（8+O=年

（1）證明力=2。;

⑵若/尸2,且ABC為銳角三角形，求S的取值范圍.

應(yīng)用三?…函數(shù)與方程思想在比較大小或丕等式中的應(yīng)用一

【例3】⑴（2020全國/,理12）若2"+log2a=4〃+210g也則（)

A.?>2/?B.a<2b

C.a>lrD.a<b2

（2）（2020安徽合肥一中模擬，理12）已知關(guān)于x的不等式aai-xlnx-1W0恒成立，則實數(shù)〃的取

值范圍是（）

A.[OJ1B.（3,0]

C.（-oo,l]D.（-8周

思維升華L在解決不等式問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象

和性質(zhì)解決問題.

2.函數(shù)/（X）>0或/（X）<0恒成立，一般可轉(zhuǎn)化為TWmin>0或TWmax<0.已知恒成立求參數(shù)取值范圍

可先分離參數(shù)，再利用函數(shù)最值求解.

【對點訓練3】（1）（2020全國以文10）設(shè)。=1限2,/尸1。町344則（）

A..a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

⑵若x6（0,+8）,*-、x4nx+a恒成立，則a的最大值為（）

A.lB.-C.OD.-e

e

應(yīng)用四….函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用一

【例4】（2020湖南長郡中學四模，文4）設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為工,若Si3二手廁

4

COS2t?5+COS2rt?+COS2679=（）

3q

A.lB.-C.-D.2

22

思維升華在解決數(shù)列問題時，應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識，解題往往以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)

為紐帶，建立起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁,揭示它們內(nèi)在的聯(lián)系，從而有效快速解決數(shù)列問題.

【對點訓練4]已知在數(shù)列｛〃〃｝中，前〃項和為S”,且S尸唱品則區(qū)的最大值為（）

3^n-1

A.-3B.-lC.3D.1

應(yīng)用五?…函數(shù)與方程思想在猱軍史的應(yīng)用一

[例5]（2020河北滄州一模，理12）2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快

速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所

以目前沒有特異治療方法,防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早撼染人員最多,防控壓力最大，武

漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法

明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落

一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)

護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶

設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為〃(0<p<l)且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能

確定為“感染高危戶”的概率為y(P),當〃=小時次必最大，則A?=()

A業(yè)B.漁C.iD.的

3323

思維升華關(guān)于概率的應(yīng)用題，首先應(yīng)用概率的相關(guān)知識得到兩個量的等量關(guān)系，然后利用函數(shù)模

型研究函數(shù)的最值、極值問題，重在考查考生的“數(shù)學建模''的核心素養(yǎng)和知識的遷移能力等.

【對點訓練5】(2018全國1,理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付

用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取2()

件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都

為p(0<p<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.

(1)記2()件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為4〃),求人〃)的最大值點po；

(2)現(xiàn)對?箱產(chǎn)品檢驗了2(H1結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的〃。作為〃的值.已知每件產(chǎn)

品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費

用.

①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EW;

②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

應(yīng)用方法歸納

函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：

(1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等

問題；

(2)在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),

達到化難為易、化繁為簡的目的.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，在高考試題中,數(shù)形結(jié)合思想主要用

于解選擇題和填空題，有直觀、簡單、快捷等特點;而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，圖形

只是輔助手段，最終要用“數(shù)”寫出完整的解答過程.

思想方法詮釋

以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)

借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)形之間借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴密性來闡明形

的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的

數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”,使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維

為形象思維,有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)

思想分類應(yīng)用

應(yīng)用二…利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的雯點_

［例1］(2020天津,9)己知函數(shù)段)={1：］；喏函數(shù)g(x)=//)-|云^劫伙七咫恰有4個零點，則

k的取值范圍是()

A.(-x,-1)U(2V2,+oo)

B.(-8,-加(0,2或)

C.(-oo,0)U(0,2V2)

D.(-8,0)U(2&,+8)

思維升華討論方程的解(或函數(shù)的零點)的個數(shù)一般可構(gòu)造兩個函數(shù)，轉(zhuǎn)化為討論兩曲線(或曲線

與直線等)的交點個數(shù)，其基本步驟是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟

悉時,需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù))，再在同一平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象,

圖象的交點個數(shù)即為方程解(或函數(shù)零點)的個數(shù).

【對點訓練1】(2020安徽安慶二模，理⑵函數(shù)段)二|lnR-辦恰有兩個零點x*2,且則M

所在區(qū)間為()

A(0,專)BQ》

c83嗚1)

應(yīng)用二…利用數(shù)形結(jié)合思想求參數(shù)的范圍或解丕笠式…

［例2］(2020湖南永州二模，理9)已知函數(shù)凡r)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時於)=2-|x+2|.

若對任意的［［2］漢葉0次x)成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,2)U(-00,-6)

C.(-2,0)D.(-2,0)U(6,+OO)

思維升華在解含有參數(shù)的不等式時，由于涉及參數(shù),往往需要討論，導致演算過程煩瑣冗長.如果題

設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系，那么利用數(shù)形結(jié)合的方法，問題將會簡練地得到解決.

【對點訓練2］(2020北京⑹已知函數(shù)於)=2'H1,則不等式於)>0的解集是()

A.(-IJ)B.(S,?1)U(1,+8)

C.(0,l)D.(-oo,0)U(l,+oo)

應(yīng)用三.…數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中.的應(yīng)用....

【例3】(2020山東棗莊二模,8)已知點P(〃"?)是函數(shù)尸圖象上的動點，則|4〃?+3〃-21|的

最小值是()

A.25B.21C.20D.4

思維升華1.如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征，那么就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想

方法來解題，即用幾何法求解，比較常見的有：

(1產(chǎn)表示兩點(〃力),(〃[,〃)連線的斜率；

a-m

(2)J(a-m)24-(力蟲產(chǎn)表示兩點(。力),(〃?,〃)[或(上幻,(〃,機)]之間的距離.

2.解析幾何中的一些范圍及最值問題，常結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，使問題得到簡便快捷地解決.

【對點訓練3】已知拋物線。：)，2=44的焦點為n過點〃且斜率為1的直線與拋物線。交于

兩點，若在以線段4〃為直徑的圓上存在兩點M,N,在直線/:x+y+a=O上存在一點。，使得N

MQV=90°,則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[-13,3]B.l-3,1]

C.[-3,13]D.[-13,13]

■l應(yīng)用方法歸納

方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面：

(1)解方程或解不等式；

(2)含參數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、

區(qū)間上恒成立等知識的應(yīng)用；

(3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等；

(4)構(gòu)造方程或不等式求解問題.

第3講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想

一、分類討論思想

分類討論思想是解決高中數(shù)學問題的?種重要思想方法,是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之\

尤其在解決含參數(shù)問題中發(fā)揮著重要作用，大大提高了學生的解題能力與速度.運用這種方法的

關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，并快速找準突破點.充分利用分類討論思想將復雜問題分解成若干題

目涉及的知識角度進行求解.解題時要注意,按主元分類的結(jié)果應(yīng)求并集，按參數(shù)分類的結(jié)果要分

類給出.

思想方法詮釋

1.分類討論的思想含義

分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時,就需要對研究對象按某個標準分類，然后

對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的結(jié)果.實質(zhì)上，分類討論

是，，化整為零，各個擊破，再積零為整，，的數(shù)學策略.

2.分類討論的原則

(1)不重不漏;(2)標準要統(tǒng)一層次要分明;⑶能不分類的要盡量避免,決不無原則地討論.

3.分類討論的常見類型

(1)由數(shù)學概念而引起的分類討論;(2)由數(shù)學運算要求而引起的分類討論;(3)由性質(zhì)、定理、公

式的限制而引起的分類討論;(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論;(5)由參數(shù)的變化而引起的

分類討論;(6)由實際意義引起的討論.

思想分類應(yīng)用

應(yīng)用二…曲數(shù)學的概念.、定理.、…公式引起的分類討論....

【例1】(i)(2020安徽合肥二模，文10)記為橢圓cA>-=i的兩個焦點，若。上存在點M

滿足西?領(lǐng)-o,則實數(shù)，〃的取值范圍是()

A.(0,,U[2,+8)B,L，l)U[2,+8)

C.(O,1]U(1,2JD.[1,1)U(1,2]

(2)設(shè)等比數(shù)列｛?。墓葹橄?，前〃項和S〃〉0(〃=123,…)，則q的取值范圍是.

思維升華1.在中學數(shù)學中，一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式，等

比數(shù)列的求和公式等在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立，應(yīng)根據(jù)題

目條件確定是否進行分類討論.

2.有些分類討論的問題是由運算的需要引發(fā)的.比如除以一個數(shù)時，這個數(shù)能否為零的討論;解方

程及不等式時，兩邊同乘一個數(shù),這個數(shù)是零、是正數(shù)還是美數(shù)的討論;二次方程運算中對兩根大

小的討論;差值比較中的差的正負的討論;有關(guān)去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等.

【對點訓練1】⑴ZW0”是“函數(shù)於)=|(補1)川在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)(2U2U廣東茂名一模，理⑵已知函數(shù);U尸曹;::-JK),若函數(shù)凡。有四個零點，則

。的取值范圍是()

A.(-oo,0)B.(e,+co)

C.(4,+oo)D.(4,e2)

應(yīng)用二….由參數(shù)引起的分類討論….

[例2]設(shè)函數(shù)/)=lna+a)+f.若段)存在極值，求°的取值范圍，并證明所有極值之和大于Inf.

思維升華含有參數(shù)的分類討位問題主要包括：(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的

求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.

【對點訓練2】(2020山東濰坊臨的模擬一,22)已知函數(shù),/(x)=""nx-尸嚀(加￡R).

(1)討論人好的單調(diào)性；

⑵略

應(yīng)用三.…由圖形位置或形狀引.起的分類討論一

【例3】設(shè)為橢圓的兩個焦點，點P為橢圓上一點.已知P,B,B是一個直角三角

94

形的三個頂點，且IPKI>IPBI廁曾的值為.

思維升華圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論,求圓錐曲線的方程時，常按焦點

的位置不同來分類討論.

【對點訓練3】設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為若曲線C上存在點P滿足|PK|；尸公|；

仍尸2匚4；3；2,則曲線C的離心率等于.

應(yīng)用方法歸納

L簡化分類討論的策略:⑴消去參數(shù);(2)整體換元;(3)變更主元;(4)考慮反面;⑸整體變形;⑹數(shù)形

結(jié)合;(7)縮小范圍等.

2.分類討論遵循的原則:不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次,不越級討論.

二、轉(zhuǎn)化化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)

化，進而得到解決的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將難解的問題

通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

思想方法詮釋

1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時,采用某種手段將問題通過變換使之

轉(zhuǎn)化，進而得到解決的一種思想方法.

2.轉(zhuǎn)化與化歸的原則

(1)熟悉化原則;(2)簡單化原則;(3)直觀化原則;(4)正難則反原則;(5)等價性原則.

3.常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法

(I)直接轉(zhuǎn)化法;(2)換元法;(3)數(shù)形結(jié)合法;(4)構(gòu)造法;(5)坐標法;(6)類比法;(7)特殊化方法;(8)等價

問題法;(9)補集法;(10)參數(shù)法.

思想分類應(yīng)用

應(yīng)用二.…特殊與二般化一…

【例1】(14盤與其中e為自然常數(shù))的大小關(guān)系是()

1636

162536362516

C.tvC〈包D￡<WV直

251636361625

(2)(2020河北武邑中學三模,16)已知實數(shù)滿足嚶=其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，那

ba-1

么m-c、)2的最小值為.

思維升華1.當問題難以入手時，應(yīng)先對特殊情形進行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系,

再推廣到一般情形，以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡，這就是特殊化的化歸策

略.

2.數(shù)學題目有的具有一般性，有的具有特殊性,解題時，有時需要把一般問題化歸為特殊問題，有時

需要把特殊問題化歸為一般問題.

【對點訓練1】(2020湖南長郡中學四模,11)若0<x<l,則嚕，號，號的大小關(guān)系是()

3exex

Ax2+l、ln3+l、x+1

nx2+lx+1In3+1

B?才>—>—

?In3+1x+1x2+l

C.---->——>—j-

3exex

In3+1x2+lx+1

D—>才>F

應(yīng)用二.…命題等價轉(zhuǎn)化….

【例2】（2020上海考前壓軸卷,11）已知a,b,2c是平面內(nèi)三個單位向量，若aJ_b，則

|a+4c|+213a+2b-c|的最小值是.

思維升華本例題充分體現(xiàn)了命題等價轉(zhuǎn)化的重要性，首先將條件“三個向量都是單位向量及aJ.

b”,等價轉(zhuǎn)化為“2c=e及a=（l,0）,b=（0,l）”,這樣就達到了變陌生為熟悉的目的洪次將“|a+2e|”等

價轉(zhuǎn)化為“|2a+e『,為求最值創(chuàng)造了有利條件同時也簡化了運算;然后符“兩向量模的和的最值”等

價轉(zhuǎn)化為“兩根式和的最值”，最后根據(jù)兩根式和的幾何意義，將問題等價轉(zhuǎn)化為兩點的距離.

【對點訓練2]⑴已知在（。,1]上單調(diào)遞減的函數(shù)八r）=r-2a+l,且對任意的汨/2￡[0J+1],總有

貝汨）-貝必）|W2,則實數(shù)t的取值范圍為（）

A.（-V2,V2]B.[I,V21

C.[2,3]D.[l,2]

⑵（2020河北武邑中學三模,5）若數(shù)列｛?。那啊椇蜑镾”,且0=1。2=2,（￡+1）（工+2+1）=6計1+

1了,則S〃=（）

A.UB.2-

2

C.2"-lD.2nl+1

應(yīng)用三….常量與變量的轉(zhuǎn)化…

[例3]已知函數(shù)凡1）=八3+3公>1,式1）力工）?依-5,其中/⑶是J（x）的導函數(shù).對滿足-1WaW1的一

切a的值，都有g(shù)（x）<0,則實數(shù)x的取值范圍為.

思維升華在處理多變量的數(shù)學問題中,在常量（或參數(shù)）在某一范圍取值的前提下求變量工的范圍

時，經(jīng)常進行常量與變量之間的轉(zhuǎn)化，即可以選取其中的參數(shù)，將其看做是變量，而把變量看做是常

量,從而達到簡化運算的目的.

【對點訓練3]設(shè)危）是定義在R上的增函數(shù)，若川3-碧勺（2-〃）對任意aG[-1,1]恒成立，則x

的取值范圍為.

應(yīng)用四?…函數(shù)院方程「丕等式之間的轉(zhuǎn)化一

【例4】已知不等式外，/+2方對于工￡[1,2],）02,3]恒成立,則a的取值范圍是（）

A.[l,+a>）B.[-l,4）

C.[-h+oo）D.[-l,6]

思維升華函數(shù)、方程與不等式三者之問存在著密不可分的聯(lián)系，解決方程、不等式的問題需要

函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)

化可以將問題化繁為簡，常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;將不等式證明問題轉(zhuǎn)

化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交

點問題等.

【對點訓練4】（1）（2020山東荷澤一模,8）己知大于1的三個實數(shù)〃力,c滿足（lga）2-21gHgb+lg

Mgc=（）,則a,b,c的大小關(guān)系不可能是（）

A..a=b=cB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

⑵已知函數(shù)兀c)=3e叫若存在實數(shù)使得對任意的x￡[l,叫m￡Z,且心L都有

/U+i)W3ex,求"?的最大值.

應(yīng)用五.…正難則反的轉(zhuǎn)化....

【例5]若對于任意y[1,2],函數(shù)g(x)=x3+(￡+2)F2x在區(qū)間億3)上總不為單調(diào)函數(shù),則實數(shù)加

的取值范圍是.

思維升華否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可.一般地,

題目若出現(xiàn)多種成立的情形廁不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單.因此，間接法多用于含

有“至多,，”至少,，及否定性命題情形的問題中.

【對點訓練5】安排甲、乙、丙、丁4人參加3個運動項目,每人只參加一個項目，每個項目都

有人參加.若甲、乙2人不能參加同一個項目,則不同的安排方案的種數(shù)為.(用數(shù)字

作答)

應(yīng)用方法歸納

1.在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式，它可以在數(shù)與數(shù)、形

與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換.

2.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用

(I)在三角函數(shù)和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)，角度的轉(zhuǎn)化，函

數(shù)的轉(zhuǎn)化，通過正弦、余弦定理實現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

(2)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言

與三角函數(shù)、平面兒何、解析兒何語言進行轉(zhuǎn)化.

(3)在解決數(shù)列問題時,常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.

（4）在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時，常將